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文档简介
2.5.1向量在平面几何中的应用平面几何中的向量方法
向量的概念和运算,都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算,这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。例1.如图,已知平行四边形ABCD中,E、F在对角线BD上,并且BE=FD,求证AECF是平行四边形。
证明:由已知设即边AE、FC平行且相等,AECF是平行四边形(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:简述:形到向量向量的运算向量和数到形练1.求证平行四边形对角线互相平分.
证明:如图,已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M,设则
根据平面向量基本定理知,这两个分解式是相同的,所以解得
所以点M是AC、BD的中点,即两条对角线互相平分.练2.已知非零向量,和满足则△ABC为()(A)等边三角形(B)等腰非直角三角形(C)非等腰三角形(D)等腰直角三角形练习1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知:平行四边形ABCD。求证:解:设,则
分析:因为平行四边形对边平行且相等,故设其它线段对应向量用它们表示。∴3.若O为△ABC所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为_____.【解析】由已知∴△ABC为等腰三角形.答案:等腰三角形练习1.已知正方形ABCD,P为对角线AC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,连接DP、EF,求证DP⊥EF。
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