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抽象函数专题讲解一、直线型例1:函数f(x)的定义域为R,且对任意x、yR,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.(1)证明:f(x)是奇函数;(2)证明:f(x)在R上是减函数;(3)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值;变式:已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2.求f(x)在区间[-2,1]上的最大值和最小值;二、指数函数型例2:已知定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对于任意的a,bR,有f(a+b)=f(a)×f(b)(1)证明:f(0)=1;(2)证明:f(x)在R上是增函数;(3)证明:对任意的xR,恒有f(x)>0(4)若f(x)f(2x—x2)>1,求x的取值范围。变式:设函数y=的定义域是R,满足条件:存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2),且对任意x和y有f(x+y)=f(x)f(y)成立,(1)求f(0);(2)对任意值x,判断f(x)值的正负三、对数函数型例3:函数f(x)对于x>0有意义,且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是减函数;(1)证明:f(1)=0;(2)若f(x)+f(x-3)≥2成立,求x的取值范围。变式:设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1;(1)求f(1);(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。四、对数函数型例4:已知函数f(x)对任意x、y均有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1,f(x)[0,1);(1)判断f(x)的奇偶性;(2)判断f(x)在[
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