第 4 章 连续系统的振动(II)

第4章

连续系统的振动（II)李映辉西南交通大学2015.092023年2月1日《振动力学》22023年2月1日中国力学学会学术大会‘2005’22023年2月1日2声明本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。不可用于任何商业目的。本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利益，作者在此致歉。本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作2023年2月1日《振动力学》3教学内容连续系统的振动2023年2月1日《振动力学》3连续系统故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法传递矩阵法Galerkin法《振动力学》4连续系统的振动4.4连续系统故有特性的近似解法前几节皆未涉及变截面杆和梁的问题，这是由于变截面杆、梁除了个别简单情况外往往不易找到精确解。

在工程实际问题中，常会遇到大量质量和刚度不均匀分布的连续系统。工程上用近似方法来解决这些问题。

介绍瑞雷法、李兹法、传递矩阵法和伽辽金法。2023年2月1日《振动力学》52023年2月1日《振动力学》5教学内容连续系统的振动2023年2月1日《振动力学》5连续系统故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法传递矩阵法Galerkin法2023年2月1日《振动力学》6连续系统的振动4.4.1瑞雷法瑞雷法主要用来估算系统的基频。

由机械能守恒定律，对任一连续系统，如能近似地给出一阶振型函数（需满足端点条件）。通过计算系统的动能和势能，即可估算出系统的基频。以欧拉-伯努利梁横向振动为例。设振型函数为Y(x),称为试算函数2023年2月1日《振动力学》7连续系统的振动它必须满足端点条件，则动能势能在静平衡位置，系统具有最大动能2023年2月1日《振动力学》8连续系统的振动在偏离静平衡位置最远处，系统具有最大弹性势能由得(4.139)表明：如试算函数恰为某一真是振型函数时，则可计算出该阶固有频率ω的精确解。要知道各阶振型函数是不可能的，而常仅能给出一阶近似振型函数。2023年2月1日《振动力学》9连续系统的振动为使试算函数Y(x)更接近真实一阶振型函数,最好除满足位移（位移）边界条件外，还需满足力边界条件,才能使估算出的固有频率有比较好的近似值。【例4.8】图4.30为一端固定，一端有刚度为k的弹性支撑的等直梁，求该梁的基频。【解】设试算函数为它只满足位移边界条件，不能满足力边界条件2023年2月1日《振动力学》10连续系统的振动系统最大势能系统最大动能由得2023年2月1日《振动力学》11连续系统的振动可见，系统固有频率比悬臂梁固有频率高。式中,k=l3/3EI为弹性支撑刚度和梁刚度的比值。2023年2月1日《振动力学》12连续系统的振动【例4.9】x=0处固定，x=l处自由的锥形轴,如图4.31，在外界干扰去掉后，轴发生了扭振，其单位长度转动惯量为扭转刚度为试瑞雷法估算其固有频率。《振动力学》13连续系统的振动【解】设θ(x,t)=φ(x)sin(ωt+φ)

为轴的角位移，试算函数为φ(x)=sin(πx/2l)轴的最大动能轴的最大势能由得2023年2月1日《振动力学》142023年2月1日《振动力学》14教学内容连续系统的振动2023年2月1日《振动力学》14连续系统故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法传递矩阵法Galerkin法2023年2月1日《振动力学》15连续系统的振动4.4.2李兹法瑞雷法是求系统基频的有效方法，缺点是不能估算高阶固有频率及振型。

李兹法对瑞雷法作了改进，除能求出更精确的基频外，还能求出高阶固有频率及振型。李兹法思路：把连续系统离散化为有限自由度系统，由机械能守恒定律计算。以欧拉-伯努利梁为例。取n个广义坐标qi(t)，设n个2023年2月1日《振动力学》16连续系统的振动振型函数yi(x)皆满足位移边界条件，则动能其中，弹性势能其中，2023年2月1日《振动力学》17连续系统的振动由拉格朗日方程得其矩阵形式为：将无限自由度系统变为有限个自由度系统（有限元思想）。

设2023年2月1日《振动力学》18连续系统的振动代入(4.140)，得振型方程由(4.141)可计算系统固有频率及振型。注意：欲求系统的二阶固有频率,n至少为2。为了减少误差,用李兹法计算某阶固有频率时,选取的振型函数的项数,应比需求固有频率阶数至少多一倍。2023年2月1日《振动力学》19连续系统的振动【例4.10】图4.32所示变截面梁具有单位厚度，截面变化为A(x)=2bx/l=A0x/l，A0为根部截面积，用瑞雷法及李兹法求其基频，比较两者结果。【解】1.瑞雷法由A(x)=2bx/l=A0x/l求出I(x)=(2bx/l)3/12=I0x3/l3，式中I0为根部截面积对中心主轴的惯性矩。设试算振型函数为则2023年2月1日《振动力学》20连续系统的振动满足力和位移边界条件，即将振型函数代入(4.139)中，得2023年2月1日《振动力学》21连续系统的振动2.李兹法设试算振型函数为

因求系统基频，故选取n=2，则

由(4.141)求出mij和kij如下：2023年2月1日《振动力学》22连续系统的振动将mij和kij代入(4.141)得频率方程《振动力学》23连续系统的振动解出基频精确解用瑞雷法误差为3%，用李兹法误差为0.08%。将ω1代入(a)中任一式得得一阶主振型近似值2023年2月1日《振动力学》242023年2月1日《振动力学》24教学内容连续系统的振动2023年2月1日《振动力学》24连续系统故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法传递矩阵法Galerkin法2023年2月1日《振动力学》25连续系统的振动4.4.3传递矩阵法传递矩阵法适合于计算链状结构的固有频率及振型。该法可推广用于求系统的响应。以等直杆扭转振动和横向振动为例说明其在连续系统中应用。2023年2月1日《振动力学》26连续系统的振动轴的扭转振动一轴系以圆频率ω作扭转振动，不计阻尼。由(4.31)知由扭矩公式，得式中，GIt是i段轴的抗扭刚度,。A与B为待定常数，由i-1点右边的状态矢量来决定。2023年2月1日《振动力学》27连续系统的振动当x=0时，(4.142)、(4.143)为故有A、B代入(4.142)、(4.143)，得i轴段在x处的传递关系将x=l代入，得扭转角θiL和扭振矩MtiL2023年2月1日《振动力学》28连续系统的振动写成矩阵形式故i轴段传递矩阵为也是轴扭转振动的场传递矩阵。2023年2月1日《振动力学》29连续系统的振动2.梁的横向振动梁以圆频率ω作横向振动，不计阻尼。取i段等直梁如图4.34，建立其传递矩阵。等直梁自由振动方程(4.50)解（4.55）也可表为式中2023年2月1日《振动力学》30连续系统的振动由(4.145)得转角θ、弯矩M和剪力Q

式中，EI为梁i段的抗弯刚度，A、B、C、D为待定常数,由i-1点右边的状态矢量决定。当x=0时，由(4.145)和(4.146)得由以上四式得到《振动力学》31连续系统的振动代入(4.145)、(4.146)得i段在x处的传递关系：将x=l代入上四式，即得位移yiL、转角θiL、弯矩MiL和剪力QiL，其矩阵形式2023年2月1日《振动力学》32连续系统的振动即为直梁的场传递矩阵由此可计算分布质量系统的固有频率与振型。2023年2月1日《振动力学》332023年2月1日《振动力学》33教学内容连续系统的振动2023年2月1日《振动力学》33连续系统故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法传递矩阵法Galerkin法2023年2月1日《振动力学》34连续系统的振动4.4.4伽辽金法伽辽金法基于能量变分法对梁横向振动，有将梁的自由振动解代入(4.148)得2023年2月1日《振动力学》35连续系统的振动选函数族Yj(x),j=1,2,…,n,同时满足几何和力边界条件。设近似解Aj为待定系数，相当于独立的广义坐标，对(4.151)变分得

将(4.151)、(4.152)代入(4.150)，有36连续系统的振动整理得式中由δAi任意性得式(4.154)为Ai的线性代数方程组。可见，伽辽金法将无限多个自由度系统离散化为