2023年新版近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)在每题列出四个备选项中只有一种是符合题目规定，请将其代码填写在题后括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A＝B＝R(实数集)，假如A到B映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B（）A、满射而非单射 B、单射而非满射C、一一映射 D、既非单射也非满射2、设集合A中具有5个元素，集合B中具有2个元素，那么，A和B积集合A×B中具有（）个元素。A、2 B、5C、7 D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G所有有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一C、不一定唯一D、相似(两方程解同样)4、当G为有限群，子群H所含元个数和任一左陪集aH所含元个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n阶有限群G子群H阶必需是n（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题空格中填上对旳答案。错填、不填均无分。1、设集合；，则有---------。2、若有元素e∈R使每a∈A，所有有ae=ea=a，则e称为环R--------。3、环乘法一般不互换。假如环R乘法互换，则称R是一种------。4、偶数环是---------子环。5、一种集合A若干个--变换乘法作成群叫做A一种--------。6、每一种有限群所有有和一种置换群--------。7、全体不等于0有理数对于一般乘法来说作成一种群，则这个群单位元是---，元a逆元是-------。8、设和是环理想且，假如是最大理想，那么---------。9、一种除环中心是一种-------。三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，鉴定和奇偶性，并把和写成对换乘积。证明：任何方阵所有可唯一地表到达一种对称矩阵和一种反对称矩阵之和。3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为何？证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）设是群。证明：假如对任意，有，则是互换群。2、假定R是一种有两个以上元环，F是一种包括R域，那么F包括R一种商域。近世代数模拟试题二单项选择题1、设G有6个元素循环群，a是生成元，则G子集（）是子群。A、B、C、D、2、下面代数系统（G，*）中，（）不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（）A、B、C、D、5、任意一种具有2个或以上元半群，它（）。A、不也许是群B、不一定是群C、一定是群D、是互换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题空格中填上对旳答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一种子群所有同一种----------同构。2、一种有单位元无零因子-----称为整环。3、已知群中元素阶等于50，则阶等于------。4、a阶若是一种有限整数n，那么G和-------同构。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。7、叫做域一种代数元，假如存在-----使得。8、是代数系统元素，对任何均成立，则称为---------。9、有限群另一定义：一种有乘法有限非空集合作成一种群，假如满足对于乘法封闭；结合律成立、---------。10、一种环R对于加法来作成一种循环群，则P是----------。三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上置换群，H是G子群，H={I,(12)}，写出H所有陪集。设E是所有偶数做成集合，“”是数乘法，则“”是E中运算，（E，）是一种代数系统，问（E，）是不是群，为何？a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若<G，*>是群，则对于任意a、b∈G，必有惟一x∈G使得a*x＝b。2、设m是一种正整数，运用m定义整数集Z上二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群任何子群一定不是（）。A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是互换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数元素个数一定等于（）。A、偶数B、奇数C、4倍数D、2正整多次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以和(123)互换所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)

C、(1)，(123)D、S3中所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题空格中填上对旳答案。错填、不填均无分。1、群单位元是--------，每个元素逆元素是--------。2、假如是和间一一映射，是一种元，则----------。3、区间[1，2]上运算单位元是-------。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。5、环Z8零因子有-----------------------。6、一种子群H右、左陪集个数----------。7、从同构见解，每个群只能同构于她/它自己---------。8、无零因子环R中所有非零元共同加法阶数称为R-----------。9、设群中元素阶为，假如，那么和存在整除关系为--------。三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）1、用2种颜色珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不一样样项链？S1，S2是A子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。1．求和；确定置换和奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一种除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。M为含幺半群，证明b=a-1充足必需条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)在每题列出四个备选项中只有一种是符合题目规定，请将其代码填写在题后括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中具有5个元素，集合B中具有2个元素，那么，A和B积集合A×B中具有（）个元素。A.2 B.5C.7 D.102.设A＝B＝R(实数集)，假如A到B映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B（）A.满射而非单射 B.单射而非满射C.一一映射 D.既非单射也非满射3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以和(123)互换所有元素有（）A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123) D.S3中所有元素4.设Z15是以15为模剩余类加群，那么，Z15子群共有（）个。A.2 B.4C.6 D.85.下列集合有关所给运算不作成环是（）A.整系数多项式全体Z［x］有关多项式加法和乘法B.有理数域Q上n级矩阵全体Mn(Q)有关矩阵加法和乘法C.整数集Z有关数加法和新给定乘法“”：m，n∈Z，mn＝0D.整数集Z有关数加法和新给定乘法“”：m，n∈Z，mn＝1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题空格中填上对旳答案。错填、不填均无分。6.设“～”是集合A一种关系，假如“～”满足___________，则称“～”是A一种等价关系。7.设(G，·)是一种群，那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中可逆元，并且(ab)－1＝___________。8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表到达若干个没有公共数字循环置换之积)。9.假如G是一种具有15个元素群，那么，根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素a阶只也许是___________。10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3一种不变子群，则商群G/H中元素(12)H＝___________。11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模剩余类环，则Z6中所有零因子是___________。12.设R是一种无零因子环，其特性n是一种有限数，那么，n是___________。13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成主理想，则(x)＝________________________。14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中所有单位是______________________。15.有理数域Q上代数元+在Q上极小多项式是___________。三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）16.设Z为整数加群，Zm为以m为模剩余类加群，是Z到Zm一种映射，其中 ：k→［k］，k∈Z，验证：是Z到Zm一种同态满射，并求同态核Ker。17.求以6为模剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}所有子环，并阐明这些子环所有是Z6理想。18.试阐明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间关系，并举例阐明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设G＝{a，b，c}，G代数运算“”由右边运算表给出，证明：(G，)作成一种群。abcaabcbbcaccab20.设已知R有关矩阵加法和乘法作成一种环。证明：I是R一种子环，但不是理想。21.设(R，＋，·)是一种环，假如(R，＋)是一种循环群，证明：R是一种互换环。近世代数模拟试题一参照答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、；2、单位元；3、互换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）1、解：把和写成不相杂轮换乘积：可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换乘积：2、解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必需所有等于0，即：，，因此，表达法唯一。3、答：（，）不是群，由于中有两个不一样样单位元素0和m。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G中任意元x，y，由于，因此（对每个x，从可得）。2、证明在F里故意义，作F子集显然是R一种商域证毕。近世代数模拟试题二参照答案一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、互换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不所有等于零元；8、右单位元；9、消去律成立；10、互换环；三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）1、解：H3个右陪集为：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}H3个左陪集为：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、答：（E，）不是群，由于（E，）中无单位元。3、解措施一、辗转相除法。列如下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.因此p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群<G，*>幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。因此，x＝a－1*b是a*x＝b解。若x∈G也是a*x＝b解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。因此，x＝a－1*b是a*x＝b惟一解。2、轻易证明这样关系是Z上一种等价关系，把这样定义等价类集合记为Zm，每个整数a所在等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或也可记为，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：[0]和[1]。近世代数模拟试题三参照答案一、单项选择题1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每题空格中填上对旳答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特性；9、；三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有一般措施，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。2、证由上题子环充足必需条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：由于S1，S2是A子环，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因此a-b,ab∈S1∩S2，因此S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很轻易找到反例：3、解：1．，；2．两个所有是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定是R一种理想而不是零理想，那么a，由理想定义，因此R任意元这就是说=R，证毕。2、证必需性：将b代入即可得。充足性：运用结合律作如下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，因此b=a-1。近世代数试卷一、鉴定题（下列命题你认为对旳在题后括号内打“√”，错打“×”；每题1分，共10分）1、设和所有是非空集合，那么。（）2、设、、所有是非空集合，则到每个映射所有叫作二元运算。（）3、只要是到一一映射，那么必有唯一逆映射。（）4、假如循环群中生成元阶是无限，则和整数加群同构。（）5、假如群子群是循环群，那么也是循环群。（）6、群子群是不变子群充要条件为。（）7、假如环阶，那么单位元。（）8、若环满足左消去律，那么肯定没有右零因子。（）9、中满足条件多项式叫做元在域上极小多项式。（）10、若域特性是无限大，那么具有一种和同构子域，这里是整数环，是由素数生成主理想。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一种对旳答案，并将其号码写在题干背面括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每题1分，共10分）1、设和所有是非空集合，而是到一种映射，那么（）①集合中两两所有不相似；②次序不能调换；③中不一样样元对应象必不相似；④一种元象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（）①在整数集上，；②在有理数集上，；③在正实数集上，；④在集合上，。3、设是整数集上二元运算，其中（即取和中最大者），那么在中（）①不适合互换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元所有有逆元。4、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定常数。那么群中单位元和元逆元分别是（）①0和；②1和0；③和；④和。5、设和所有是群中元素且，那么（）①；②；③；④。6、设是群子群，且有左陪集分类。假如6，那么阶（）①6；②24；③10；④12。7、设是一种群同态映射，那么下列错误命题是（）①同态核是不变子群；②不变子群逆象是不变子群；③子群象是子群；④不变子群象是不变子群。8、设是环同态满射，，那么下列错误结论为（）①若是零元，则是零元；②若是单位元，则是单位元；③若不是零因子，则不是零因子；④若是不互换，则不互换。9、下列对旳命题是（）①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。10、若是域有限扩域，是有限扩域，那么（）①；②；③；④。三、填空题（将对旳内容填在各题干预备横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1、设集合；，则有。2、假如是和间一一映射，是一种元，则。3、设集合有一种分类，其中和是两个类，假如，那么。4、设群中元素阶为，假如，那么和存在整除关系为。5、凯莱定理说：任一种子群所有同一种同构。6、给出一种5-循环置换，那么。7、若是有单位元环由生成主理想，那么中元素可以表达为。8、若是一种有单位元互换环，是一种理想，那么是一种域当且仅当是。9、整环一种元叫做一种素元，假如。10、若域一种扩域叫做一种代数扩域，假如。四、改错题（请在下列命题中你认为错误地方划线，并将对旳内容写在预备横线上面。指出错误1分，改正错误2分。每题3分，共15分）1、假如一种集合代数运算同步适合消去律和分派律，那么在里，元次序可以掉换。2、有限群另一定义：一种有乘法有限非空集合作成一种群，假如满足对于乘法封闭；结合律成立、互换律成立。3、设和是环理想且，假如是最大理想，那么。4、唯一分解环两个元和不一定会有最大公因子，若和所有是和最大公因子，那么必有。5、叫做域一种代数元，假如存在所有不等于零元使得。五、计算题（共15分，每题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换构成群，试写出乘法表，并且求出单位元及和所有子群。2、设是模6剩余类环，且。假如、，计算、和和它们次数。六、证明题（每题10分，共40分）1、设和是一种群两个元且，又设阶，阶，并且，证明：阶。2、设为实数集，，令，将所有这样变换构成一种集合，试证明：对于变换一般乘法，作成一种群。3、设和为环两个理想，试证和所有是理想。4、设是有限可互换环且具有单位元1，证明：中非零元不是可逆元就是零因子。近世代数试卷参照解答一、鉴定题12345678910××√√×√√√××二、单项选择题12345678910②④③④①②④③①④三、填空题1、。2、。3、。4、。5、变换群。6、。7、。8、一种最大理想。9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、E每一种元所有是F上一种代数元。四、改错题1、假如一种集合代数运算同步适合消去律和分派律，那么在里，元次序可以掉换。结合律和互换律2、有限群另一定义：一种有乘法有限非空集合作成一种群，假如满足对于乘法封闭；结合律成立、互换律成立。消去律成立3、设和是环理想且，假如是最大理想，那么。S=I或S=R4、唯一分解环两个元和不一定会有最大公因子，若和所有是和最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一种单位因子5、叫做域一种代数元，假如存在所有不等于零元使得。不所有等于零元测验题填空题（42分）1、设集合和分别有代数运算和，且，则当时，也满足结合律；当时，也满足互换律。2、对群中任意元素=；3、设群G中元素a阶是n，n|m则=；4、设是任意一种循环群，若，则和同构；若，则和