科学院-361高等数学2005真题

中国2005年招收攻读入学考试试题考生（505 nnn nn nn 解析 n2n n2n n2n ni1n2n i1n2n i1n2n(n1) n(n1)2(n22n) i1n2ni 2(n2n)limn(n1)limn(n1)n2(n2 n2(n2 所以 222nnn nn nn 222 求不定积分 lnx (1解析：原式=lnxd(1)lnx dxlnx a设yb

bx

1xa

1 x(1 1(a0,b0)y

x 解析：lnyxlnaalnbblnxx(lnalnb)alnbalnxblnxblna y'lnalnbba aaxbaxy'(lnalnb ) xa xb 求过点M

(22,1)，既与直线

:x1y1z

xyz10解析：直线L0的方向向量为(4,8,5)，平面0的法向量为 所求平面的法向量为 5，即(3,1, 所以所求平面的方程为3(x2y24(z1)化简得3xy4z4yytany 解析：令uy，则yuxuxuxu'utan xu'tan cosudusin 得通解为sinyCx,(C为常数x判断级数nnn

na(aanan解析：nan

n

已知函数f(x)和g(x)在点x=0的某邻域内连续，且当x→0时，f(x)与g(x)是两个等xf(t)sint的无穷小，求极限 xtg(t)0解析：

xf(t)sint

f(x)sinx00 xtg(t) 00

xg z求u=f(x+y+z)的二阶偏导数x2和y zu

f'2

uf'

2f'4xf

2f'4yzfD≤D解析;(|x|y)dxdy1dx1x(xy)dy0dx1x(xy)dy D

解析：ln(1+x+x+x+x (x1)ln(1-x)ln(1- 15nln(1-x) n

(1x1n x(1xn1 nf(x)n

x(1xln(x2 2f二、（本题满分10分） 求

dxkf(x)dx

ln(x2x2f ukx2kf 1ln(14k ln(1k

dx

du [ k k （10）Ic

ydxxdy，其中c为x2yx1)2y1)21xy1解析：P(x,y) x2PQ x2y (x2y2所以原式

Q(x,y) x2y2 ax ,x8x1 x（8x1 x x

x=1处连续，确定a,解析：由题目可知

ax f(1)68x8xx因为

0，所以lim(axb)0abxx8x12x8xx828x于12x8xx828x

a7,b（12）计算定积分3|x22x3|dx 解析：3|x22x3|dx1(x22x3)dx3(x22x3)dx n六、（本题满分12分）求幂级数ln(1n

1 解析：

ln(11nRlimannnx1时，原级数均收敛，所以收敛域为1七、（8）f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，f(1)22fx)dx0使得f()0]解析：f(1)212f(x)dx21f(f(),[0,] 八（本题满分12分）求初值问题y2yyxex,y 0,y y2yy特征方程为2210，1（二重根）齐次方程的通解为y(CCx)ex 原方程的一个特解为x14x所以原方程的通解为y ex(CCx)e 利用初值条件得CC 所以所求得特解为yx1ex1xe x3t22t ey 6t2,

。tdy

ey

1ey (1eysint)(6tt0时，y （本题满分10分）某专卖店销售两种同类产品。甲产品成本价为每件50本价为每件60元。根据经验，当甲产品售价为每件x元，乙产品售价为每件y元时，每天可卖出甲产品1006x5y件，乙产品1105x5y件。问专卖店应如何确定售价xy，才能使其每天获利最大？f(xyx50)(1006x5yy60)(1105x5化简得f(xy)6x25y2100x160y10xy由fx0,fy0x130,y 积为V1、表面积为S的雪堆，溶化速度为

aSa是一个常数。假定在溶化期间雪堆的形状保持为zhh(t)。问一个高度为h0

x2,h

23x2 23 解析：Vzdxdy(h

)dxdy

)dh该雪堆所