《数列》复习对照表

《数列》复习对照表概念：按一定顺序排列着的一列数叫做数列特征：数列的数是按一定次序排列的同一个数在数列中可以重复出现.分类据数列项的大小：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.据项数的多少：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.表示：1列举法；2通向公式法；3图想法。函数与数列：函数数列(特殊的函数)定义域R或R的子集N*或它的有限子集{1，2，…，n}解析式y=f(x)an=f(n)图象点的集合一些离散的点的集合等差数列与等比数列等差数列1.定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示).an-an-1=d(n≥2，n∈N*)2.通项公式基本公式an=a1+(n-1)d.函数特征an=pn+q，一条直线上等距离的离散的点，首项是系数与常数项之和，公差是一次项系数公式证明（1）累加法。个累加得即an=a1+(n-1)d（2）不完全归纳法。a2=a1+d.a3=a2+d=a1+2d;a4=a3+d=a1+3d;.........则an=a1+(n-1)d推广：an=am+(n-m)d3.公差（比）求法①d=an-an-1；②；③例题精析已知{an}是等差数列，a5=10，a12=31，求a，an.解法一：设{an}的首项为a1，公差为d，则所以=a1+16d=52，an=a1+(n-1)d=3n-5.解法二因为a12=a5+7d,所以d=3.所以得=a12+5d=52,an=a12+(n-12)d=3n-5.解法三∵a12是与的等比中项，∴∴==52。4.性质概念：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.a,A,b成等差数列.（或2A=a+b）在等差数列{an}中，m+n=p+qam+an=ap+aq.例题精析已知成等差数列，求证：，，也成等差数列.证明：因为，，成等差数列，所以，化简得2ac=b(a+c)，所以有.成等差数列.3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.解法一：设四个数依次为a-d，a，a＋d，，依题意有(a-d)＋＝16,①a＋(a＋d)＝12,②由②式得d＝12-2a.③将③式代入①式整理得a2-13a＋36＝0.解得a1＝4，a2＝9.代入③式得d1＝4，d2＝-6.从而所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.解法二：设四个数依次为x，y，12-y，16-x，依题意有由①式得x＝3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y＋12)＝(12-y)2.整理得y2-13y＋36＝0,解得y1＝4，y2＝9,代入③式得x1＝0，x2＝15.从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.师点评：本题若采用其他设求知量的方法列方程，解题过程会是怎么样的呢？请同学们课外探究一下，并在本题上述设求知量的方法的基础上，思考四个数成等差数列的常见设法，以及四个数成等比数列的常见设法.5.前n项和前n项和：与之间的转化：;公式(Ⅰ)Sn=na1+d.(Ⅱ)（倒序相加法）证明：因为Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+…+a2+a1，m+n=p+q，则am+an=ap+aan=a1+(n-1)d.得即Sn=na1+d.6.公式应用已知等差数列的前项和为，前项和为，求前项和．（分组组合法）解：由题设,∴7.函数特征是没有常数项的二次函数：公差二次项系数的二倍，首项为系数与常数项之和等比数列1.定义一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数就叫做等比数列的公差.(通常用字母“q”表示).=q(n≥2，n∈N*)2.通项公式基本公式an=a1+(n-1)d.函数特征0<<1:递减数列q>1:递增数列，一条曲线上的离散的点公式证明（1）累乘法（同累加法）（2）不完全归纳法a2=a1a3=a=a1*==a1a=a=a1*==a1......................an=a1qn-1.推广an=amqn-m.3.公比求法（①；②）例题精析在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.解法一：设{an}的首项为a1，公比为，则得所以解法二∵解法三.∵a5是a2与a8的等比中项，∴542=a8×(-2).∴a8=4.性质概念：如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项.a、G、b成等比数列G2=ab.（）在等吧比数列{an}中，m+n=p+qam*an=ap*aq.例题精析已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，求证：,,也成等比数列.证明：由题设：b2=ac,得∴,,也成等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.解法一：设四个数依次为a-d，a，a＋d，，依题意有(a-d)＋＝16,①a＋(a＋d)＝12,②由②式得d＝12-2a.③将③式代入①式整理得a2-13a＋36＝0.解得a1＝4，a2＝9.代入③式得d1＝4，d2＝-6.从而所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.解法二：设四个数依次为x，y，12-y，16-x，依题意有由①式得x＝3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y＋12)＝(12-y)2.整理得y2-13y＋36＝0,解得y1＝4，y2＝9,代入③式得x1＝0，x2＝15.从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.师点评：本题若采用其他设求知量的方法列方程，解题过程会是怎么样的呢？请同学们课外探究一下，并在本题上述设求知量的方法的基础上，思考四个数成等差数列的常见设法，以及四个数成等比数列的常见设法.5.前n项和前n项和：与之间的转化：;公式（错位相减法)证明如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如如果q＝1，Sn=na1.果q≠1，则有6.公式应用已知，求数列的前项和。（错位相减法）解：由。得，当时，；当时，即7.函数