中考数学考点汇总及考题 方程与不等式系列1 方程

中考数学3年（2020-2022）考点及考题汇总系列专辑方程与不等式系列方程一、考点分析本知识点涉及一次方程（组）及应用、一元二次方程及应用、分式方程及应用，为泰安市近5年中考必考内容，考查方程的解法，建立方程模型解决实际问题，题目设计与现实问题结合，考查二次方程和分式方程，一次方程组往往为古代数学问题的形式出现.二、常考点1.一元二次方程的解法配方法：当二次项的系数为1时，等号两边同时加一次项系数一半的平方．公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)，其中b2－4ac≥0．因式分解法：利用因式分解把一元二次方程化成两个一次式乘积等于0的形式，得到两个一元一次方程，进而求出一元二次方程的解．2.根的判别式Δ＝b2－4ac若Δ＝b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；若Δ＝b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根；若Δ＝b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．3.根与系数的关系（Δ＞0）如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a)．4.分式方程的解法(1)去分母，方程两边同乘最简公分母，化为整式方程；(2)解所得的整式方程；(3)检验，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解：否则，这个解不是原分式方程的解．5.方程的应用一审：审清题意；二设：设未知数；三找：找等量关系；四列：列方程(组)；五解：解方程(组)；六验：检验解是否符合题意（特别是分式方程）；七答：作答

三、真题呈现1.（2020泰安）方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝16，,5x＋3y＝72))的解是________________.2.（2021泰安）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞14 B．k＜14 C．k＞﹣14且k≠0 D．k＜13.（2021泰安）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为4.（2022泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽．每株脚钱三文足,无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是（）A B.C. D.5.（2020泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化.2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．(1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？(2)第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒(进价不变)，A种 茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元(不考虑其他因素)，求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？6.（2021泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？7.（2022泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．

四、巩固练习1.（2022滨州）一元二次方程的根的情况为（）A.无实数根 B.有两个不等的实数根C.有两个相等的实数根 D.不能判定2.（2022东营）一元二次方程的解是（）A. B.C. D.3.（2022济南）代数式与代数式的值相等，则x＝______．4.（2022东营）关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．5.（2022枣庄）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金两．6.（2022东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？7.（2022菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元?（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?8.（2022济南）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．

答案解析真题呈现1.解析eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝12,y＝4))2.C根据题意得k≠0且△＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0．3.根据乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50和题目中所设的未知数，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．由题意可得，，4.设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，5.解：(1)设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元．根据题意，得eq\f(4000,x)＋10＝eq\f(8400,1.4x).解得x＝200.经检验：x＝200是原方程的根．∴1.4x＝1.4×200＝280(元).∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．(2)设第二次A种茶叶购进m盒，则B种茶叶购进(100－m)盒．打折前A种茶叶的利润为eq\f(m,2)×100＝50m.B种茶叶的利润为eq\f(100－m,2)×120＝6000－60m.打折后A种茶叶的利润为eq\f(m,2)×10＝5m.由题意得：50m＋6000－60m＋5m＝5800.解方程，得：m＝40∴100－m＝100－40＝60(盒).∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．6.解：（1）设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：，解得：x＝30，经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，∴当前参加生产的工人有30人；（2）每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05（万剂），设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，解得：y＝35，35+4＝39（天），∴该厂共需要39天才能完成任务．7.解：设第一次购进A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，根据题意，得解，得A种茶每盒100元，B种茶每盒150元．巩固练习1.（2022滨州）解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，∴方程无实数根．2.（2022东营）【答案】D利用配方法解方程即可．3.（2022济南）【答案】7解：∵代数式与代数式的值相等，∴，去分母，去括号号，解得，检验：当时，，∴分式方程的解为．4.（2022东营）【答案】k＜2且k≠1解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0，解得：k＜2且k≠1．5.（2022枣庄）答案解：设每头牛x两，每只羊y两，根据题意，可得，∴7x+7y＝18，∴x+y＝，∴1头牛和1只羊共值金两，6.（2022东营）（1）解：设乙种水果的进价是x元/千克，由题意得：，解得：，经检验，是分式方程的解且符合题意，则，答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；（2）解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，由题意得：，∵－1＜0，∴y随a的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴，解得：，∴当时，y取最大值，此时，，答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．7.（2022菏泽）（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元根据题意得．解得x＝80．经检验x＝80是原分式方程的解．∴1.5x＝120（元）．∴篮球的进价为120元，排球的进价为80元答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．（2）