数学分析简明教程第二版第二章课后答案

第二章函数§1函数概念1．证明下列不等式：(1)；(2)；(3)．证明（1）由，得到，即，在该式中用与互换，得到，由此即得，．（2）当时，不等式分别为，显然成立．假设当时，不等式成立，即，则当时，有有数学归纳法原理，原不等式成立．（3）．2．求证．证明由不等式，两边加上后分别提取公因式得，，即．3．求证；．证明若，则由于，故有，，，若，则由于，故亦有，因此两等式均成立．4．已知三角形的两条边分别为和，它们之间的夹角为，试求此三角形的面积，并求其定义域．解，定义域为开区间．5．在半径为的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域．解设内接圆柱高为，则地面半径为，因而体积，定义域为开区间．6．某公共汽车路线全长为，票价规定如下：乘坐以下（包括）者收费1元；超过但在以下（包括）者收费2元；其余收费2元5角.试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形．解设路程为，票价为，则函数图形见右图．7．一脉冲发生器产生一个三角波．若记它随时间的变化规律为，且三个角分别有对应关系，，，求，并作出函数的图形．解函数图形如右图所示．8．判别下列函数的奇偶性：（1）（2）（3）；；；（4）．解（1）定义域为，由于，有，且有，即得是偶函数．，由于（2）定义域为，有，且有，因此，是奇函数．，由于（3）定义域为，有，有，且有，且有，即是偶函数．（4）定义域为，由于因此，是奇函数．9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期：（1）（2）；；（3）（4）；．解（1）不是．若为周期函数，设周期为，则，有，即，移项并使用三角公式化简得，，由的任意性知道这是不可能的，故不是周期函数．（2）是．周期为和的最小公倍数．（3）是．周期是．（4）定义域是使的一切的取值，即，且，由于，必有，因此是周期函数，周期为．10．证明在有界．，都有证明实际上，，由定义，在有界．11．用肯定语气叙述函数无界，并证明在无界．解叙述：若，使得，则称函数在无界．，要使，只须，取，则有，所以在无界．12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数．证明设是定义于偶函数，是定义于奇函数．则由于以下事实，，，知两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数．13．设为定义在内的任何函数，证明，故可分解成奇函数和偶函数之和．有意义．证明由于的定义域为令，，则是偶函数，是奇函数，且有．14．用肯定语气叙述：在上(1)不是奇函数；不是单调上升函数；无零点；(2)(3)(4)无上界．解（1），使得，则在不是奇函数；（2），虽然，但，则在不是单调上升函数；（3），均有，则在无零点；（4），使得，则在无上界．§2复合函数与反函数1．设，求证．证明定义域为的一切实数，因此，有．2．求下列函数的反函数及其定义域：(1)(2)；；(3)解（1）变形为，解得，由于成立，因此函数，的反函数为．．（2）变形得，，解出，即，因此原来函数的反函数为（3）当时，，当时，，而当时，．所以反函数为定义域为3．设．，为实轴上的单调函数，求证也是实轴上的单调函数．证明设，为实轴上的单调增函数，即，因此，且有，即也是单调增函数．同理可证：当数，而，为实轴上的单调减函数时，也是单调增函数；当为增函为减函数或为减函数，而为增函数时，均为减函数．因此，，为实轴上的单调函数时，也是实轴上的单调函数．4．设，求复合函数，．解有复合函数的定义，立即可得5．设，求．解，归纳法假设，则有，依归纳法原理，知．6．设，试求．解，，归纳法假设，则当时，有所以，7．设，求，，．解定义域的一切实数，要求且，因此，且；要求且，，因此，，且；要求，且，因此且．§3初等函数1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：(1)；(2)；(3)(5)；(4)(6)；；．解（1）定义域，值域，是偶函数，无界非周期函数；（2）定义域，值域，既非奇函数也非偶函数，是周期为1的有界周期函数；（1）题图（2）题图（3）定义域（4）定义域，值域，是偶函数，无界非周期函数；，值域，既非奇函数也非偶函数，是有界非周期函数；（3）题图（5）定义域（6）定义域由于（4）题图，值域，是偶函数，是周期为的有界周期函数；，是偶函数．，所以，并注意到，得到函数的值域，因而是有界函数．因为，所以函数是周期为的周期函数．2．若已知函数的图形，作函数，，的图形，并说明的图形与的图形的关系．解由于，故其图形是将函数的图形在轴上方部分的不动，在轴下方的部分绕轴旋转后即得；的图形是将函数的图形是将函数的图形绕轴旋转后得到的；的图形在坐标平面内绕坐标原点旋转后得到的．3．若已知函数，的图形，试作函数的图形，并说明的图