山西省太原市杏花岭区第二中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

山西省太原市杏花岭区第二中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜，f（x）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在(，)上单调递减 B．f（x）在(0，)上单调递减 C．f（x）在(0，)上单调递增 D．f（x）在(，)上单调递增参考答案：A【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+），∵f（x）是奇函数，，∴φ+＝0，得φ＝﹣，则f（x）＝sinωx，由sinωx＝得sinωx＝1，∵直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T＝，0即＝，得ω＝4，即f（x）＝sin4x，由2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递增区间为[﹣，]，k＝1时，递增区间为[，]由2kπ+≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递减区间为[，]，当k＝1时，函数的递减区间为[，]，2.若直线y=a分别与直线y=2x-3，曲线y=ex-x（x≥0）交于点A，B，则|AB|的最小值为（）A. B. C.e D.参考答案：B【分析】设A（x1，a），B（x2，a），建立方程关系用x1表示x2，则|AB|＝x1﹣x2，构造函数求函数的导数，研究函数的最值即可．【详解】作出两个曲线的图象如图，设A（x1，a），B（x2，a），则x1＞x2，则2x1﹣3＝e，即x1（e+3），则|AB|＝（e+3）（﹣3+e3），设f（x）（ex﹣3x+3），x≥0，函数的导数f′（x）（﹣3+ex），由f′（x）＞0得x＞ln3，f（x）为增函数，由f′（x）＜0得0≤x＜ln3，f（x）减函数，即当x＝ln3时，f（x）取得最小值，最小值为f（ln3）（3+3﹣3ln3）＝3ln3，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，设出坐标，利用两点间的距离公式，构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．3.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(

)A．

B．16

C．

D．参考答案：D略4.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C5.对于函数，下列结论正确的一个是A.有极小值，且极小值点

B.有极大值，且极大值点

C.有极小值，且极小值点

D.有极大值，且极大值点

参考答案：C略6.已知抛物线的焦点F，直线l与C交于A，B两点，且，则直线l的斜率可能为（

）A．

B．

C.1

D．参考答案：A设A、B两点坐标分别为，由题意，设直线AB的方程为，代入抛物线方程得：，因为直线与抛物线有两个交点，所以，，，把代入即可解得，故选A.

7.已知函数的定义域为R，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列{an}满足，且，则下列结论成立的是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：D8.已知平面，若直线，则∥是的

（

）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C9.若（其中且）的展开式中的系数相等，则=A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：B10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，若，则实数a的取值范围是（

）A.(－∞,－2)∪(3,+∞) B.(－3,2)C.(－2,3) D.(－∞,－3)∪(2,+∞)参考答案：C【分析】画出函数图像得到函数单调递增，利用函数的单调性得到，计算得到答案.【详解】是奇函数，当时，设则，，故即，函数的图像如图所示：结合图像可知是上的增函数由，得解得，故选：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，判断函数的单调性是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上．则C的方程为．参考答案：（x﹣2）2+y2=10考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：根据题意可知线段AB为圆C的一条弦，根据垂径定理得到AB的垂直平分线过圆心C，所以由A和B的坐标表示出直线AB的方程，然后根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1由直线AB的斜率求出AB垂直平分线的斜率，又根据中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率写出AB的垂直平分线的方程，又因为圆心在x轴上，所以把求出AB的垂直平分线与x轴的交点坐标即为圆心C的坐标，然后根据两点间的距离公式求出线段AC的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：由A（5，1），B（1，3），得到直线AB的方程为：y﹣3=（x﹣1），即x+2y﹣7=0，则直线AB的斜率为﹣，所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，又设线段AB的中点为D，则D的坐标为（，）即（3，2），所以线段AB的垂直平分线的方程为：y﹣2=2（x﹣3）即2x﹣y﹣4=0，令y=0，解得x=2，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点即圆心C的坐标为（2，0），而圆的半径r=|AC|==，综上，圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=10．故答案为：（x﹣2）2+y2=10点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，掌握垂径定理的灵活运用，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．12.若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则ab的值为________．参考答案：略13.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为

．参考答案：【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为如下四棱锥：P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面四边形由直角梯形ABED，直角△DCE，AB∥DE，AB⊥BC，AB=1，DE=2，BE=EC=1，PA=2．【解答】解：如图所示，该几何体为如下四棱锥：P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面四边形由直角梯形ABED，直角△DCE，AB∥DE，AB⊥BC，AB=1，DE=2，BE=EC=1，PA=2．∴S底面ABCD=+=．V==．故答案为：．【点评】本题考查了四棱锥的三视图、体积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.如图，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=

参考答案：因为，所以∠AEB=，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以,所以．15.已知函数，，则的单调递增区间为

．参考答案：（或），根据正弦函数的单调性可得，解得得，又的单调递增区间为，故答案为或.

16.已知矩阵为单位向量，且，的值

参考答案：17._______;

参考答案：

==．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．参考答案：【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈可得2x+∈，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．19.（本小题满分16分）椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆右准线与轴交于.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若,直线上有且仅有一点使.

求以为直径的圆的方程；（Ⅲ）设椭圆左、右焦点分别为，过点作不与轴垂直的直线与椭圆交于两个不同的点（在之间）若有，求此时直线的方程.参考答案：(1)

（4分）(2)即以OM为直径的圆和直线相切。可求得圆心为半径为所以，解得t=4（负舍）则以OM为直径的圆的方程为

（9分）（3）由题：∥，则有相似比可求得设∴，∴解得又A，B在椭圆上，带入椭圆方程，有解得∴求得直线方程为

（15分）略20.如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆Γ经定点B（1，0），直线l是圆Γ在点B处的切线，过A（﹣1，0）作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．（1）求证：|EA|+|EB|为定值；（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设AE切圆于M，直线x=4与x轴的交点为N，则EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|====4；（2）确定E，F均在椭圆=1上，设直线EF的方程为x=my+1（m≠0），联立，E，B，F，Q在同一条直线上，|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等价于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2，利用韦达定理，即可证明结论．【解答】证明：（1）设AE切圆于M，直线x=4与x轴的交点为N，则EM=EB，∴|EA|+|EB|=|AM|====4为定值；（2）同理|FA|+|FB|=4，∴E，F均在椭圆=1上，设直线EF的方程为x=my+1（m≠0），令x=4，yQ=，直线与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣∵E，B，F，Q在同一条直线上，∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等价于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2，∴2y1y2=（y1+y2）?，代入y1+y2=﹣，y1y2=﹣成立，∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．21.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点，交于点.（1）求证：；（2）若四点共圆，且，求.参考答案：(1)见解析；(2).试题分析：（1）要证，只要证即可，由弦切角和圆周角关系可得，由角平分线性质得，又同弧上的圆周角相等，所以，即可证得；（2）由四点共圆及（1）得，设，在等腰三角形中，列出方程，解之即可.试题解析：（1）∵的平分线与圆交于点∴，，∵，∴，∴，∴.考点：1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质.22.已知函数，.（为自然对数的底数）（1）设；①若函数在处的切线过点，求的值；②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围.（2）设函数，且，求证：当时，.参考答案：（Ⅰ）⑴由题意，得，所以函数在处的切线斜率，又，所以函数在处