相关性相关性建模

222相关性建模Pearson相关系数Pearson相关系数是用来描述随机变量间相关性的最常用方法之一[67]。随机变量X.和X.之间的Pearson相关系数笠餐)可表示为：(XX)C0V(Xi'Xj)(2-10)1J(*)(X.)式中：cov(Xj,Xj)表示随机变量X.和Xj之间的协方差；(XJ和(X.)分别表示随机变量X.和X.的标准差。如果已知随机变量X.和Xj的N组样本数据，那么它们之间的Pearson相关系数可以表示为?以疽.):NnxxxijnPXiJXnXj(2-11)N?(Xi'Xj)打旦JXin式中：X•-=(Xn)/N和X.=_Xjn)/N分别表示NNnxxxijnPXiJXnXj(2-11)Spearman秩相关系数Pearson相关系数通常只能反映随机变量间的线性关系，当随机变量满足正态性分布，其也能描述随机变量间的非线性关系E。但是当任一随机变量服从非正态分布时，Pearson相关系数不能较准确地描述随机变量间的相关性叼-68]，此时就需要引出Spearman秩相关系数(k,,X.)。Spearman秩相关系数能够能较好地描述非正态分布随机变量间的相关性，该系数不是测量随机变量间真实值的相关性，而是首先将随机变量的样本由低到高排列，然后计算其各自的秩次并根据式(2-12)计算s(Xi,Xj):cov(R,R.)、'("»-(唤’(2-12式中：R和Rj分别表示随机变量乂.和Xj的样本所对应的秩次；cov(R,Rj)表示

秩次、和Rj之间的协方差;的取值范围为［-1,1］:当1（R）和（Rj）分别表示秩次秩次、和Rj之间的协方差;的取值范围为［-1,1］:当1且"j越小，负相关性越强;当0“・1时，表示随机变量％和Xj且"j越小，负相关性越强;当0“・1时，表示随机变量％和Xj间存在正相关性，且“越大，正相关性越强;当随机变量个数大于两个时,可采用秩相关系数矩阵P当随机变量个数大于两个时,可采用秩相关系数矩阵P来表征随机变量间的相关性［69］：s,21s,1211JI)s,1Ms,2M(2-13)s,21s,1211JI)s,1Ms,2M(2-13)s,M2HI光照强度和负荷1（为方便表述，以下统称为随机变量）间往往存在着一定的相关性。本文采用的不确定性模型中，存在两类非正态分布的随机变量（风速服从两参数Weibull分布、光照强度服从Beta分布），因此，本文采用Spearman秩相关系数（矩阵）来表征随机变量间的相关性。s,M1风速、242计及相关性的配电网概率潮流本章采用基于LHSMCS法来计算计及相关性的配电网概率潮流，并用该方法检验机会约束条件。拉丁超立方采样（LHS是一种多维分层抽样法，由McKay等人于1979年提出，其本质郭79］是通过产生分布更加均匀的样本来提高精度。该采样方法具有样本记忆功能，’可避免抽取已经出现的样本，且能够使得变量分布的尾部参与抽样。在抽取少量样本的情况下，该方法可以极大地提高计算精度。该方法主要包括两大步骤：（1）采样，获得随机变量的均匀分布且具有代表性的样本；（2）排

序，用于处理随机变量间的相关性。2.421采样设有M个待采样的随机变量X］,X2，|HXm，其中Xm的累计概率密度函数为YmFm(Xm),m1,21,M。采样过程具体为：(1)首先将区间［0,1］分为NlHS个宽度为1/NlHS的等间距区间［±±^1，NlhsnlHsH，NlhsH，Nlhs，其中nlhs为LHS采样数；n1,2,(2)然后在每个子区间里选取一个最后利用反变换得到米样值n0.5yymn，mnnxFml一),mM,nN,其中mnnlHslhsF「为七的反变换。采样过程示意图如图2-4所示。用上述采样过程对所有随机变量进行采样，可得到一个MNlHs维的初始样本矩阵S0,其中S的每一行表示一个随机变量的NlHs个米样值，每一列则可称为一个样本。lhs图2的NlHs个米样值，每一列则可称为一个样本。lhs图2-4米样过程示意图Fig.2-4Schematicdiagramofsampling若多个随机变量间具有相关性，则产生的样本矩阵也应具有相同的相关性,这就需要对So中的样本进行重新排序。目前，文献中采用的排序方法主要有遗传算法［8顷、模拟退火算法［82］、Cholesky分解排序法⑻〕、单键优化法祝和Gram-Schmidt正交化方法［85］等。其中，Cholesky分解排序法具有计算量小、精度高的优点，应用最为广泛，因此本文采用Cholesky分解排序法来实现排序过程。设随机变量间的实际Spearman秩相关系数矩阵为p，贝9基于Cholesky分解法对初始样本矩阵S0中的样本进行排序的过程如下典顷:步骤1）随机生成一个mNlhs的顺序矩阵L,并按照式（2-12）和式（2-13）计算L的Spearman秩相关系数矩阵P。其中L的每一行由整数1「），NlhS随机排列组成。一.一…一.步骤2）对PL作Cholesky分解，如式（2-32）所示，其中Q为下三角阵。（2-32）然后通过式（2-33）来消除由于随机排列而产生的相关性。此时，矩阵G的实际Spearman秩相关系数矩阵是一个单位阵。G=Q1L（2-33）步骤3）对Pobj作Cholesky分解，如式（2-34）所示，其中P为下三角阵；然后通过式（2-35）使得Gu的Spearman秩相关系数矩阵与当近似相等。P=ppT（2-34）bjGu=PG二PQ-1L（2-35）步骤4）更新初始样本矩阵So中的元素得到新的样本矩阵Su，使得其每行元素的排列顺序与Gu中对应行的元素顺序相同。经过上述操作后，S的Spearman秩相关系数矩阵就与蚀近似相等，即产生了采样规模为Nlhs的随机变量的相关性样本矩阵S。进一步可将S中的风速♦♦和光照强度分别转化为风电出力和光伏出力。242.3计及相关性的配电网概率潮流obj输入配电网参数，输入随机变量（风速、光照强度和负荷）的分布函数以及变量间的相关系数矩阵4用2.4.2.1节描述的采样方法对风速、光照强度和负荷进行采样，得到初始样

本矩阵Soobj+生成一个的MNlhs顺序矩阵L,并计算L的相关系数矩阵l+对l作Cholesky分解：LQQt1对。bj作Cholesky分解：砌PPTLGupQ1+更新初始样本矩阵中S0的元素得到新的样本矩阵SU，使得其每行元素的排列顺序与Gu中对应行的元素顺序相同V初始化MCS计数器：K=11V把采样矩阵Su的第K列中的风速和光照强度转化为WTG和PVG的出力，并代入配电网潮流方程，求出该运行工况下的潮流分布I更新MCS计数器：K=K+1No耳Yes统计潮流的数字特性和概率分布，并检验机会约束条件

（输出结果）图2-5基于LHS-MCS法的计及相关性的概率潮流计算方法流程图Fig.2-5FlowchartofLHS-MCSprobabilisticpowerflowmethodconsideringcorrelations基于LHSMCS法的计及相关性的配电网概率潮流的总体思路是：首先用2.421