双曲线及其标准方程教案

双曲线及其标准方程--教学目标：知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。.教学重点:双曲线的定义.教学难点：双曲线方程的推导.教学过程：（一）复习回顾定义平面内与两个定点£、£的距离之和等于常数2。（2。＞|用矶）的点的轨迹表达式\MFl\+\MF2\=2a{2a>|耳尼|)准程标、〃4+4=1（。＞力＞。）a2h2+二=1(a>b>0)a2b2图形rM(x.y)一^\ F^-c.O)o Fa(c.O>)y】hFi(小),xJ隹占/Vo八'、耳(-c,0),乙(c,0)6(0,—C)，K(O,C)a,b,c的关系c2=a2-b2（二）双曲线的定义：.问题：若把椭圆定义中”距离之和“改为“距离之差”，那么动点的轨迹是什么？它的方程是怎么样的呢？.双曲线的定义：平面内与两定点石，行的距离的差的绝对值是常数（小于|行名|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点耳,居叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距..简单演示（使用几何画板）..\\MFi\-\MF2\\=2a（*）注意：①（*）式中是差的绝对值，在0<2。<|耳马|条件下：|M/=j|-|g|=2a时为双曲线的一支（含工的一支）；|知6|一|〃耳|=2。时为双曲线的另一支（含”的一支）.②当2a=|式号|时,\\MFl\-\MF21|=2a表示两条射线.③当2a"鸟I时，\\MFt\-\MF2\\=2a不表示任何图形.（三）.双曲线标准方程的推导：现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答,主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导.标准方程的推导：（1）.建系设点:取过焦点片'鸟的直线为X轴，线段斗鸟的垂直平分线为y轴（如图所示）建立直角坐标系，设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c（C>°）,那么/F2的坐标分别是耳（-G°），59,0）又设点M与Fl、F2的距离的差的绝对值为2a.（2）点的集合：由定义可知，双曲线就是集合：P=（M||MFJ|-|MF,||=2a}={M|MFJ-|MF2|=±2ai（3）代数方程IMF,|=V（x+c）2+y2|MF]|=J（x-c/+y2，，・，.J（x+c）~+y~—J（x-c）~+ —i2ci（4）化简方程：将这个方程移项，使式子两边平衡，再两边平方得：（x+c）2+y2=4a2±4aju-c）2+y2+（x-c）2+y2,移项整理两边平方可得：（c2-a2）x~-a~y~=a2（c2-a2）（我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化，使其简洁易记）由双曲线定义，2c>2a即c〉n,所以2c—2a>0设。2_。2=^仍〉0）,代入上式得：”/一。、2=""2.即〃hz ，这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程.两种标准方程的比较（引导学生归纳）：JV=]了■一官一（”>°力>°）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是：耳（—c,0）,8（c,。）这里c?=4+〃2二*=1,Mb2（。>°力>°）表示焦点在y轴上的双曲线，焦点是：G（0,—c）,K（°，c）,这里02=/+/.（只需将⑴方程的x,y互换即可得到）强调指出：（1）双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上（这从建立直角坐标系可以看出来）.（2）双曲线标准方程中，a>O,h>Of但。不一定大于b-.（3）如果*项的系数是正的，那么焦点在x轴上：如果丁项的系数是正的，那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.（4）双曲线标准方程中公屋的关系是c?=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b\（四）.例题分析:练习：写出下列双曲线的焦点坐标:例1.已知双曲线的焦点为Fl(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到Fl、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.2 2⑴土-匕=112 2⑴土-匕=11692 2⑵工-匕9162 2⑶匕-三1691(4)二X2916一z—=1(。>0,Z?>0)解：根据双曲线的焦点在X轴上，设它的标准方程为：kb-2a=6,c=5,:.a=3,c=5t,-,b'=5?-3?所以所求双曲线的标准方程为：9为：9 16（五）小结焦点F(±c,O)F(O,±c)产(土c,0)F(O,±c)看分母大小看系数正负a,b,c的关系a>b>0a>0,b>0c2=a2-b2c2=a2+b2（六）作业:课本匕08习题8.3第1,2,4思考题：当OV6V18O时，方程x2cos6+y2sin6