04含参数的极值点偏移问题

TOC\o"1-5"\h\z含参数极值点偏移问题III■一■一一■一一一■一一一■一〜■■■■_■■■一■■■■■■■■—_一■■一_一一一■一■一■一一一_一■■一一■一一■一一一■一一一■一一一■一T适用区域!人教版!课时时长（分钟）!120!适用学科I高中数学I适用年级I高三IJ,1!J教学目标|掌握含参数极值点偏移问题IIIIIr1教学重点，掌握含参数极值点偏移问题!II4T教学难点I掌握含参数极值点偏移问题I■一、极值点偏移对于可导函数y=/（x）,在区间（。,幻上只有一个极大（小）值点Xo,方程f（x）=0的解分别为羽,工2，<xL<x2<b,r4-r（1）若/（X1）</（2x0-X2）,则当二v（>）x°,即函数y=/（x）在区间3，七）上乙极（小）大值点％右（左）偏：（2）若f（xj>f（2x°—易），则七%>（<）%，即函数y=/W在区间（如丛）上极（小）大值点X。右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数y=/（x）,在区间（。,幻上只有一个极大（小）值点七，则函数f（x）的单调递增（减）区间为（。,&）,单调递减（增）区间为（x。,幻，由于a<xY<x2<b，有x{<xQ,且2x°-土<x。，又/（xj<f（2xQ-x2）,故.q<（>）2x0-x2,所以七旦<（>）%,即函数极（小）大值点X。右（左）偏；（2）证明略.

二、对点详析，利器显锋芒含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元.q,丛的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决：或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.★例1.己知函数f{x)=x-aex有两个不同的零点x^x2,求证：x{+x2>2.★例2.已知函数f(x)=lnx—or,。为常数，若函数f(x)有两个零点勺毛，证明:★例3.己知&,易是函数/(%)=ex-ax的两个零点，且凡vx2.求证：凡+土>2：求证：X^X2<1.★例4.已知函数f(x)=x-ea\a>0),若存在入1，工201〈易)，使f(&)=/(易)=0，求证：^-<ae.x.【招式演练】★设函数/(x)=e'-ax+a(aeR)的图像与x轴交于,0),B(x2,0)(x1〈土)两点,证明：f'(V^T)vO；求证：玉寻VXi+X"★设函数f(x)=ahix-bx2,其图像在点P(2J(2))处切线的斜率为一3.当a=2时，令g(x)=f(x)-kx,设也*0<丛)是方程g(x)=0的两个根,必是上毛的等差中项，求证：g'(Xo)<0(g'⑴为函数g(x)的导函数).★设函数/(x)=crx~--2ahiax{a>0),函数ff(x)为f(x)的导函数，旦A(NJ(x】)),B(七,/W))是/(X)的图像上不同的两点，满足/(xj+/(x2)=o,线段中点的横坐标为X。，证明：。氏0>1・★己知函数/(x)=a---hix(<agR).x若0=2,求函数/(x)在(l,b)上的零点个数；若f(x)有两零点(%!<x2)，求证：2<X]+W<3e"T-l.★巳知函数f(x)=k?+(i_a)x-alnx.(I)讨论f(X)的单调性；(II)设a>0,证明：当O〈x〈a时，f(a+x)<f(a-x)；X+X(III)设七法2是f(x)的两个零点，证明f'(兰一)>0•★己知函数/(x)=4111V-—rnx1(/w>0).(I)若//?=!,求函数/'(x)的单调递增区间；若函数g(x)=f(x)-(/??-4)x,对于曲线y=g(x)上的两个不同的点M(X],g3)),N(土,g(w))，记直线MN的斜率为k，若k=g，(X。),证明：xk+x2>2xq.★己知函数/(x)=ln(x+l),g(x)^x2-x.(I)求过点(一1,0)旦与曲线y=f(x)相切的直线方程：设/i(x)=qf(x)+g(x),其中。为非零实数，y=h{x)有两个极值点玉％，且<x.,求a的取值范闱：在(1【)的条件下，求证：2/?(x2)-x1>0.★已知函数/(x)=liiv.证明：当工>1时，工+1-_>0：若函数^(x)=f{x)+x-ax2有两个零点A',x2(^<x2,0>0),证明:解析★例1.己知函数f(x)=x-aev有两个不同的零点x^x2,求证：xL+x2>2.t解析】思路1：函数/CO的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与专题三(不合参数的极值点偏移问题〉例题完全等价，专题三例题的四种方法全都可以用；思路2：也可以利用参数白这个媒介去构造出新的函教•解答如下：因为函数/(x)有两个零点%也,所以jy*，改-W均⑵由(1)+(2)得：毛+玉=心朴+#)>要证明习十沔>2,只要证明々(/1十承)>2,由Q)—(2)得；荷一习=a(/一。如)，即。=4^，易白火-工②+]即证：3-叱)一>26石-与)>2,e1-e2e12—1不妨设X]>x2,记t=x{-x2>贝i]f>0,/>1,4+12(d—1)因此只要证明：/•-——>2or——\一>0,e1-ld+1再次换元令ef=x>l,r=hix,即证hix-—一>0,xe(1,+s)x+1构造新函数F(i)=ln.t-为二9,F(l)=0x+114(x-\}2求导F'(x)==一>0,得尸(x)在(1,+s)上递增，X(1+1)-X(X+1)-所以F(x)>0,因此原不等式易+土>2获证.★例2.己知函数f（X）=hlX-CVi,。为常数，若函数,3）有两个零点上易，证明:xLx2>e2.[解析]法_：消参转化成无参数问题：f（x）=0<^lnx=oxOliix=ae^>\由是方程/«=0的两根，也是方程kx=勇心的两根，则血斗In改是方程工=&'的两根>设％=血毛,花=血叱，京工）=由一、则家利）=£（叱），从而而此>/oln;q+ln改>2。珂+牝>2,此问题等价转化成为专题三例题'下略一法二：利用参数〃作为媒介，换元后构造新函数：不妨设X]>x2,•.•InxL-ax{=05hix2-ax2=0,/.hi+hix2=a（x{+x2）.Inxk-hix2=。（耳_易）,:.―=a.欲证明xx.>e2,即证hix.+hi>2.TOC\o"1-5"\h\zX—M.A_2•/lux】+lnx,=+x「），..•即证。>,..x+匚・.・原命题等价于证明ln“—mL>,即证：q>2（"少,令f=&,Q〉i）,A-毛xk+x2x2xk+x2x2构造&（，）=11“-四二4」〉1,此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略./+1法三：直接换元构造新函数：111X.Ill111丛M丛，八。=—=—-<=>—==,设aVA\,r=^,（f>1）,TOC\o"1-5"\h\zX]x2InX]&-&rllIntx.liir+liix.则乙=叫,一=/<=>—=1,-111X]111X]L”I.1hiZ[hi/thit反解出：InX.=,lnx、=hitxx=lnf+ln兀=ln，+=,1r-1"11t-1t-1故工内>e2<=>In+\nx2〉2O>2,转化成法二，下同，略./—1

★例3.已知耳,x?是函数/(X)=ex-ax的两个零点，且耳<x2.(1)求证：羽+多>2；(2)求证:xrx2<1.【解析】(1)问题可以转化为：y=—与卜=一有两个立点』由图知，Ovjqviv也

ea且<气即，巧=—

a4点K。_仑—e'L=Qg—而)>a且<气即，巧=—

a4点K。_仑—e'L=Qg—而)>a=/-及+i2也即sx,A>令£=勺—西顶ke(Q+x)◎%—1x1—x[设诙)*+1)*—如贝板&)=庭_/+1:加”斗.软骸)在(。,也单调递增，即gO)>g'(0)=。-:.g<fy在(0,网单调递照艮Pg(r)>g(O)=(b故原不等式得证.(2)要证：冲G<1,即证：仁二一<1,等价于航.亦<(—£!)、CTX2-X{TOC\o"1-5"\h\z八七丐11也即-,<—-一，等价于<—-一,令t=x.-Xi>0(亦-g"任-”(*f-l)-(X.-Aj-'tel1e：1L等价于t1.<-(r>0),也等价于一<-(f>0),等价于即证：t.e2-el+l<0(#-1)-t2el-\t令h(t)=te2-e1+l(r>0),则h'(t)=e2+-t-e2-e1=e2(l+--e2),22fL|tL又令秋/)=1+——e2(t>0),得(p(t)e2<0,(p(t)在(0,+s)单调递减,\o"CurrentDocument"222倾f)〈侦0)=0,从而h9(t)<0,h(t)在(0,+s)单调递减，/•h(t)</?(0)=0,即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数。，得到一个关于玉,W的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.★例4.己知函数f（x）=x-etL\a＞0）,若存在凡,工2（气＜易），使f（xj=/（易）=0，求证：—＜ae.x2【解析】函教/W的零点等价于方程的实根，令威X）=重,（XA0）,XX求导可知jg（x）在（。矽上里调睡增，在（。出）上里调理;原或或蜘=s＜^）=-e（i）下证：当。日寸，方程有两个实根一exx当xe（0y）B七义（、）是减函数广.•欢1）=0涪但）=1顽1）心＜爪矽€.•.当xE（0,或g（x）为增函数，菖（1）=Qg（@）-:g（y）＜a＜欢e）,e二当注（0"）时，。=给有一解,记为耳.X当XE（E+CD）时，£（*）为减函数，从（4）=一23勺11仁a先证：义（4"）＜口，即证：7令取8）=alnQ（a＞。），a2求导由相。）的单调性可得:A（曰）酣=人（【）=一[＞一!，故不等式々111曰＞一!即证,&&22也即原不等式或4）〈曰成立.a.••当xe（^-H»）时'«=—W—解，记为他.X再证：—＜ae.x2...X]_OT]_OT]x2ax2liix2而0v&ve＜七，hix2＞1.&axAae=一-＜一=ae.i止毕.Mhim1

【招式演练】★设函数/(x)=ex-ax+a(aeR)的图像与x轴交于A(xk,0),Bg0)(.q<・％)两点,（1）证明：（扁g）v0；(2)求证：xYx2<xL+x2.IW1（l）法一:因为]+a=两式相减得“二土£2[e*-ax2+a=0t玛一再记土m=s（"°），则，（宇•）*呼-丑菁=$[2sTS-广）]，ZIZ/A?ZtS设g（s）=2s-（W-eT）,则m）=2-（b+e-，）<0,所以g（s）是单调减函数,<0.则有g（s）<g（o）=o,而£>0,所以r（丑方冬）<0.又f\x）=cx-a是单调增函氮且色尹>尽，所以尸（辰;）<0.法二：x=ln”是/⑴的极小值点，易证X]<\na<x.,设F(x)=/(lna+x)-/(lna-x)=a(ex-e'x-2x),(x>0),Fr(x)=a(ex+e'x-2)>0F(x)在(Q*o)单调递增，因此F(x)>F(0)=0,即x>0W/(lna+A)>/(lna-x),易证xx<]na<x2,所以2\na-x?>Ina,因此f(x})=f(x2)=f(]na+(x2-\na))>f(]na~(x2-lna))=f(2\na-x2),因为/（x）在（-oojna）单调递减，所以Xl<2]na-Xz^^^<\na.TOC\o"1-5"\h\zLXr又/U）=ex-。是单调递增函数，所以广（卮）<r（m。）=0.teXl=a(x.-1)(2)证明：由《，易知丛>也>1且。〉g,e^=a(x2-l)°nTelA._vx.-1z,cizalna-ln/7,从而——=广*=一，令a=xl-\,p=x,-l,则ea^=—=>=1,Kx2-l-pa-p由于X/、ex】+M<=>初vl,下面只要证明：必<10/7<L,(0<1<“)，--a结合对数函数y=lnx的图像可知，只需证：(a,lna),(L,lnL)两点连线的斜率要比aa(q,liia),(fi,In/?)两点连线的斜率小即可,】!1hia-hiZ7ma-ln—】又因为R==1,即证：<10——a+21na>0(0<a<1),臣1aaa令g(a)=L-Q+21n。〉0,(0<1),则g\ct)=+—<0,aa-aa~・•・g(a)在(0,1)上单调递减，..・g(Q)>g(l)=0,:.原不等式％易<&+土成立.★设函数f(x)=ahix-bx2,其图像在点F(2J(2))处切线的斜率为-3.当a=2时，令g(x)=/(x)-Aa-,设<x2)是方程g(x)=0的两个根，孔是3,易的等差中项，求证：g'(*o)v0(g'(x)为函数g(x)的导函数)•【解析】由函数了(力图像在点必(2质2))处切线的斜率为一3得力=1,所以氛闵=211]1*-¥-坂的两个零点气,改，贝巾2岫不炕"2111—JGj—/oCj=0,相减得：2(lnjq-血沔)一(峙一也与一忒为一气)=0,'.'工]六沔，.4兰冬四-3+"故&=乏-2…里--翌mXl-X2为邑+工2邑一也2(^-1)=w_[竺而-1D成=_2-匀习一行血+习祈—西丑+]叫TOC\o"1-5"\h\z令f=送,烷(。」)‘^)=^£z^-lnr=2-—-InGx+1r+14.1(t-Vi12则^)=-—J—=-^-^<0,憩)在(0,1)±单调i弱成，故秘下)>秘。=0,又<0,所(/+1)t<2?+1)而一习以E0j)<O,证毕一★设函数/(X)=crx---2ahiax(a>0),函数f\x)为f(x)的导函数，且xA。J(x】)),B(土,/(%))是/(x)的图像上不同的两点，满足/(xj+/(x2)=0,线段AB中点的横坐标为玉)，证明：ox°>l.y_i_v1?1【解析】7^0>10^-^>-0^>——丛，又依题意fXx)=(a——)2>0,2aax

2得/(x)在定义域上单调递增，所以要证以。>1,只需证—/(%.)=/(^)a2即/(—丛)+/(丛)＜。①a不妨设，注意到/(上)=0,由函数单调性知，有耳<上,丛>上，aci"a构造函数心=尼-中任)，则F3=s-怎F=-舞若当x>-时，F\x)<0,即F(x)单调递减，当x>-时，F(x)<F(-)=0,从而不等式aaa①式成立，故原不等式成立.★己知函数/(%)=6Z---111x(agR).(1)若。=2,求函数/(x)在(Le)上的零点个数;(2)若/(*)有两零点x’x?(志<冯)，求证：2VX]+格<3，i一1.【解析】(1)由题设，故在(1,。2)上单调递减，X所以/⑴在(1,e2)上至多只有一个零点.又/(1)/(e2)=-4<0,故f⑴在(1,e2)上只有一个零点.e(2)①证：先证与+互>2・法f利用通法证明/(】)=。-土-lnx的极值点x=l向左偏移，即1<的兰.法二t直接换元法化单变元：依题设，有a=l+lnx=—+lnx2,于是土邑=血五.宁毛X2'X}X2X]!12|2(Inf)id—=6t>\>则lni=,故X]=・于是,x\+xi=xi(t+\)=，xi+jt-2=玉f叫Zin/lintInf记函数亦aO—E，4L因g'(x)=°浮>0,故亦)在(1,+8)上单调递增.2x2x于是，Q1时，g(r)>g(lM.又出>0,所以，x}+x2>l.②再证X[+恐<3卯一1・因为沪0U*人(x>w-l-xln心)，故Xi，x2也是/(*)的两零点,Bh\x)=a-l-hw=0,得x=3,且xveaAJil(x)>0^x>e",h\x)<0利用通法证明h(x)=ax-l-xhx的极值点x=e"向右偏移，所以竺垒<即a,+x2<2/t,由耳+为>2即竺也>1得，22]+(历+易)<^^~+(弓+》2)=3(可+易)〈2.2。3=3丁-'=习+易〈女3_1.222【点评】1.方程的变形方向：①孔V是函数/(X)的两个零点，1是该函数的极值点.②％,土是函数/?(*)的两个零点，矿T是该函数的极值点.2滩点气+易<3矿-1的证明依赖利用xl+x2>2放缩.★己知函数f(x)=+(1-a)x-alnx.J(I)讨论f(x)的单调性；(II)设aAO,证明：当Ovxva时，f(a+x)<f(a-x)；X+X设七乂2是f(X)的两个零点，证明f'(一)>0.2【答案】(I)f(x)在(O,a)上单调递减，在(a,+口)上单调递增；(II)当0vx〈a时，f(a+x)<f(a-x)；(III)证明过程见解析【解析】试题分析：<I)求导，并判断导数的符号，分别讨论义的取值』确定函数的单调区间.(0)构造函数8闵=仙♦x)-仙・xb利用导歉求幽数啪当。vx<a时的最大值小于零即可.X.+X,X.+X,(III)由(11)得，伽-叩顼小>七)5却=。『从而％于是由(I)知.试题解析成I)间的定义域为im，求导数'/•曰■a(x)=x-t-1-a--=K乂-a(x+l)(x-a|若a如，则此时啊在(小F上单调递输若彳>求导数'/•曰■a(x)=x-t-1-a--=K乂-a(x+l)(x-a|(II)令g(x)=f(a+x)"(a-x),则1,1g(x)=-(a+x)~+(1-a)(a+x)・aln(a+x)・[^(a・x)~+(1-a)(a.x)-aln(a・x)]=2x-aln(a+x)+aln(a-x)・求导数，得g(x)=2-—。.a+xa-xa'x，当时0vxva,g(x)v0，•••g(x)在(0间上是减函数・而g(0)=。，••・g(x)<g(0)=0,故当0vxva时，f(a+x)<f(a-x)(III)由(I)可知，当aw。时，函数y=f(x)至多有一个零点,故aAO,从而f(x)的最小值为f(a),且f(a)vO,

不妨设0vX]〈X2，贝l]O<X!<a<x2,••.0<a-x1<a,由(II)得f(2a-X])=f(a+a-X])<fg)=0,X+Xn从而x°>2a.X],于是_>a,2V+X由(I)知，f(2_2)>0.2点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在(【)中通过求导,并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间.(II)通过构造函数g(x)=f(a+x)-f(a-x),把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数g(x)当0<x<a时的最大值小于零即nJ.(Ill)要充分利用(【)(]【)问的结论.★己知函数/(x)=4111V-iinx2(/w>0).(I)若〃7=1,求函数/'(x)的单调递增区间；(II)若函数^(x)=/(x)-(/n-4)x,对于曲线y=g(x)上的两个不同的点N(邑,g(土))，记直线A/N的斜率为k,若A=g'(xo),证明：xk+x2>2x°・【答案】(1)(0,2)(2)见解析【解析】试题分析"1)先确定函数定义域〈Q+切，再求导函数，进而求定义区间上导函数的零点2,最后列表分析导函数符号：当o<X<2时，确定单调增区间为(0,2).〈2)极点偏移问题，关键构造函数；先转化所证不等式号希为g(五尹因为g冲)一5■(查苔)=4（岫一1nxj）g4（岫一1nxj）g(5电一些毛+工]2^-1七四+1，所以转化研=山-半洛(。1)单调性，易得在(Lz)上单调递增，即得结论.试题解析"I）依题意，fr（x）=--x=^-XXX令广（工）>0,即2—»0,解得0<x<2j故函数/（》）的单调递增区间为（。2）.（II〉依题意，g（x）=/（对一（jh-4）x=41nx-一wd?+（4-时尤,2£（而）一艮（叱）=4（1吗一岫J一；用（£一过）+（4-时（而一沔）=4（岫一屿）一:血（沔+改）3—五）+（4—功）（沔一与"£由题设得e）K）一心）=弘岫一峡）_顷"易）+（4-少X]—X-,Xj—X-y2,[&+丛）8x+X.-又g———-=-m・——+4-/«,2JxL+x^2.•*）』宇卜些土H=JhLf）一主国\2）I】-x2X]+x2x2-xLx2+X]2—-13不妨设0vx】〈土，t=M贝以>1,则In旦一xi旦+1%22—-13不妨设0vx】〈土，t=M贝以>1,则In旦一xi旦+1%2（/-l）=Inr_--——-t+l令力（°=11".了）（r>i），则/*）=：「*>o,所以机。在（1,+s）上单调递增,故In—-无迫+1Xi又由g'（x）=£-〃5+（4-〃7）知g'（x）在（0,+8）上单调递减,A所以虹担＞%,即凡+易＞2必.★已知函数/(x)=ln(x+l),1SW-x^-x（I）求过点（-1,0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程;（II）设/?（x）=#（x）+g（x）,其中一为非零实数,y=h（x）有两个极值点x^x2,且\＜x2,求a的取值范闱；（III）a（II）的条件下,求证：2/?（易）—玉＞0.★已知函数/(x)=ln(x+l),1SW-x^-x【答案】（1）x-ey+l=0（2）见解析一_【解析】试题分析；（1）设切点为（而,处），先根据导数几何意义得切线斜率等于切点处导数值上=一I，与+1再根据切点与点（-LO）连线的斜率等于切线斜率，列方程，解得气=仑-1,最后根据点斜式与切线方程，（2）由题意得导函数在定义区间上有两个不等的零点，即方程盘+（。-1）=0在（-1+8）上有两个不同的实根，即解得a的取值范围;＜3）由为二改二后，化简不等式2五（改）一气＞0得2（L十易）1b（沔十1）—习＞0,构造函数r[x）=2（l十x）ln（x十1）—x,x?利用导数研究函数单调性:K、）在（。,1）上单调递增，确定r3）＞K°）二0，即证得结论•试题解析，（I）尸⑴二上x+1设切点为（布,处），则切线的斜率为k=-1—互+1点（％为）在/（x）=h（x+l）±,j0=ln（j^+l）...如(.\。+1)=1,解得扁=。—1x°+lx°+l・.・切线的斜率为上，..・切线方程为x—c+l=Oeh(x)=af(x)+g(x)=aln^x+l)+—x~-xxa1^+(。一1)h(x)=+x-l=,x>-l'7x+1x+1当a-l>0时，即时，〃（x）20,/?（x）在（—1,+s）上单调递增；当0V<<1时，由/?'（*）=0得，X[=-Jl-（i,x,=Jl-a,故/?（x）在-“）上单调递增，在（-JT二万,JT二万）上单调递减，在（JTH,+o。）上单调递增；当。<0时，由/?'（工）=0得，-。，/?（工）在（-J1-",J1-"）上单调递减，在上单调递增.当0V<<1时，/?（工）有两个极值点，即X]=-Jl—a,x2=>jl-a，即a的范围是（0,1）（III）由（II〉知jq+Xj=0,jqxj=。一1,由0得，—1<0^0<Xj<1由2威改）—而>。4»2页改）+羽>0+>0沔=Jl-々,'.a=1—,即证明2（1—巴'）】"习+1）+X—改>0即证明2（1+羽）地（羽+1）—改>0构造函数/(x)=