03-最佳一致逼近

§2最佳一致逼近、最佳一致逼近的概念定义3.10设函数f3)是区间W,。］上的连续函数，对于任意给定的£>0,如果存在多项式p⑴，使不等式max］f(%)-p(%)vsavxvb成立，则称多项式p(x)在区间［a,b］上一致逼近(或均匀逼近)于函数f(%)。那么，对于在区间［a,b］上的连续函数f(%)，是否存在多项式p(x)一致逼近于f(%)呢？这个问题有许多人研究过。德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)在1885年曾给出下述著名定理。维尔斯特拉斯定理若f(%)是区间［a,b］上的连续函数，则对于任意s>0，总存在多项式p(%)，使对一切aWxWb有|f(%)—p(%)|Vs证明从略。维尔斯特拉斯定理表明，连续函数f(%)可以用多项式p(%)逼近到任意精确程度，但维尔斯特拉斯定理只在理论上肯定了闭区间上的连续函数可以用多项式以任意精确度来逼近，并没有给出确定逼近得最快的多项式的方法。事实上，如果精确度要求较高，则用来逼近的多项式的次数一般也很高，这就增加了计算工作量。因而，在实际计算时，我们总量希望在一定的精确度要求下，逼近多项式的次数越低越好。

切比雪夫从这样的观点去研究一致逼近问题，他不让逼近多项式的次数乃趋于无穷大，而是先把乃加以固定。对于给定的W,。］上的连续函数f(x)，他提出在次数不超过n的多项式的集合pn中去寻找一个多项式P；(x)，使它在［a,。］上“最佳地逼近”f(x)。这里最佳逼近的意思是指p*(x)对f⑴的偏差。和其它任一p(x)epn对f(%)的偏差max］f(x)-p(x)|a<x<b比较时是最小的，也就是说maxf(x)—p*(x)a<x<b(3.18)maxf(x)-p*(x)=min^maxf(x)-P(x)a<x<bnp(x)e?孔a<x<b这就是通常所谓的最佳一致逼近问题，也称为切比雪夫逼近问题。若这样的p*(x)存在，则称p*(x和其它任一p(x)epn对f(%)的偏差max］f(x)-p(x)|a<x<b比较时是最小的，也就是说(3.18)现在要问：最佳逼近多项式p^(x)是否存在？是否唯一？如何构造？我们不妨设n次多项式p(%)=a+axHFaxn显然maxf(x)-p(x)a<x<b应与p(x)的系数a0,a「…，an有关。若记中(a,a,,a)=maf(x)-p(x)01n,a<x<b则中应是n+1个系数a。,a「…，a〃的正值连续函数。

我们称多元函数9(a0,a1,…，a^)的最小值min9(a,a,…,a)=minmax]f(x)-p(x)(3.19)ak°1na^。<x<b(k=0,1,2,…，n)为f(x)与p(x)在［a,b(3.19)对照公式(3.18)可知，寻求f(x)在［a,b］上的n次最佳一致逼近多项式p*(x)的问题就归结为求多元函数9(a0,a「…，an)的最小值问题。可以证明，存在唯一的(a0,a*,...,a?能使9(a0,a*,...,a*)=minmax|f(x)-p(x)成立也即存在唯一的p*(x)=a*+a*xHFa*x*n01n{max满足关系式If(x)-p(x)1maxf(x)-p*(x)=mina<x<ba<x<b这就说明，对T［a,b］上的任意连续函数f(x)，其n次最佳逼近多项式p*(x)是存在且唯一的，(因证明较繁，这里我们不予讨论)。下面我们主要介绍p{maxIf(x)-p(x)1二、最佳一致逼近多项式的求法定理3.2p*(x)是［a,b］上连续函数f(x)的n次最佳一致逼近多项式的充分必要条件是p*(x)在区间［a,b］上至少有n+2个点na<x<x<•••<x<b使得f(xk)-p*(x「=(-1)k・b•四(k=1,2,...,n+2)

其中日是f(x)与p*(x)在WM］上的偏差，即n(3.20)^=maxf(x)一p*(x)xe[a,b]b为“1”或“-1”。(3.20)因证明较复杂，这里从略。点集阵,x2，…，xn+2｝称为切比雪夫交错点组。其中每一个xk(k=1,2,…，n+2)称为交错点。定理3.2表明，若用最佳一致逼近多项式pn(x)来近似代替fx)，则误差R(x)=f(x)-p*(x)在［a,b］上的分布是十分均匀的。n定理3.2常称为切比雪夫定理，由此定理还可推得下面两个有用的推论。推论1设f⑴eC［a,b］则f⑴在p.中的最佳一致逼近多项式，就是f(x)在［a,b］上的某个n次拉格朗日插值多项式证明设p*(x)是f(x)在［a,b］上的n次最佳一致逼近多项式，根据切比雪夫定理可知，连续函数f(x)-p*(x)在区间［a,b］上至少有n+2nn+1个根，即存在n+1个点~kep*"f邕)，'、一〜〜所以，p*(x)实际上就是以~，气，n01格朗日插多项式。个点使其交替变号，这就是说，方程f(x)-p*(x)=0在［a,b］上至少有n［a,bn+1个根，即存在n+1个点~kep*"f邕)，'、一〜〜所以，p*(x)实际上就是以~，气，n01格朗日插多项式。,xn为插值节点的f(x)的n次拉推论1表明:如果能适当选择插值节点，求出使偏差maxf(x)-p(x)|xe［a,b］为最小的n次拉格朗日插值多项式，那么就能求得f(x)的n次最佳一致逼近多项式p：(x)。推论2如果函数f(x)在区间W,。］上有n+1阶导数，且f(n+1)(x)在［i,b］上恒为止(或负),那么区间［i,b］的端点a和b都属于f(x)-p：(x)的交错点组。证明(反证法)设a(或b)不属于f(x)-p^(x)的交错点组，那么函数R(x)=f(x)-p：(x)在开区间(a,b)内至少有n+1个点a<弓<E2<<E<b，使其取得最大值和最小值，则由取得极值的必要条件，必有R(&k)=。，(k=1,2,…，n+1)反复用罗尔定理可知，在(a,b)由至少存在一点&，使R(n+1)(&)=0但是R(n+1)(x)=f(n+1)(x)-p*(n+1)(x)=f(n+1)(x)，从而有f(n+1)(&)=0,&日a,b］这与f(n+1)(x)在［a,b］上恒为止(或负)的已知条件矛盾。切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特性，并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法。但通常，在讨论连续函数的多项式逼近中，要为某一连续函数求取最佳一致逼近多项式往往是十分困难的。下面我们仅介绍比较简单的线性最佳一致逼近多项式的求法以及切比雪夫多项在求最佳一致逼近时的应用线性最佳一致逼近多项式p；(x)的求法设函数f(x)在WM］上有二阶导数，且f"(x)在WM］上不变号(即恒为止或负)，则可按下面方法求f(x)在［久。］上的线性最佳一致逼近多项式P*(x)。设p*(x)=a*+a*x,则根据切出雪大定理,在「〃b］上至少存在101，/，，工［a,"」三个点：a<x<x<x<b，使(3.21)f(x)一p*(x)=(-1)kp-maxf(x)一p*(x)k1krxe[a,b]其中。=±1，k=1,2,3。(3.21)由于f”(x)在［a,b］上不变号，根据推论2可知，区间［a,b］的两个端点a,b都属于f(x)―P;(x)的交错点组，即有x=a,x=bTOC\o"1-5"\h\z则另一交错点x必位于⑷。］的内部，且它是f(x)-p*(x)的极值点，21所以\o"CurrentDocument"f(x)—p'*(x)=0,而p'*(x)=a*112，121从而f(x)=p'*(x)=a*(即等于p*(x)在点x处的斜率a;)。又因为f〃(x)2121121在［a,b］上不变号，所以一阶导数f'(x)在［a,b］上严格单调，因此它只能取a*一次，这就证明了f(x)—p;(x)在［a,b］内除了点x2外不能再有其它极值点，也即f(x)-p*(x)在(％A)内有，且只有一个极值点，它就是交错点x2。于是由(3.21)式得：f(a)—(a*+a*a)=f(b)—(a*+a*b)0101"01012f(a)—(a*+a*a)=(a*+a*x)—f(x)解此方程组得

(3.22)(3.23)a*=寸(b-f(a)f,3)0b-a2a*=f(a)+f气)-a*工o2i2把a0,a*代入P*(x)的表示式，即求得f(x)在［a,b］上线性最佳一致逼近多项式p*(x)为"01012(3.22)(3.23)(3.24)p*(X)=f(+f(X2)+f(b)-f(a)(3.24)i2线性最佳一致逼近的几何意义是:直线》=p*(x)与弦mn平行，且过线段MQ的中点Q，其方程为f(a)+f(X2)]+见图3-3图3-3图3-3(f”(x)<0)故x1=4，x3【例3・2】求函数f⑴二痍在4，1上的线性最佳一致逼近多项式p*(f”(x)<0)故x1=4，x310i工1i一…【解】显然f〃(x)在4，1上不变号，

1,由(3.22)式得刑-&42a*==—11-1/43/f(x)=二及(3.22)式得1_2士3，所以916再由(3.23)式得(132(116))48TOC\o"1-5"\h\z+—+"243(4故函数,、217p*(x)=x+1348所以16))48这就是函数/(x)=・据在区间［1/4,1］上的线性最佳一致逼近多项式。切比雪夫多项式在函数逼近中的应用在§1中我们已经讨论了切比雪夫多项式的极值性质，也即在区间［-1,1］上，所有最高次项系数为1的一切n次多项式中，n次切比雪夫多项项Tn(x)与1/2n-1的乘积与零的偏差最小，且其偏差为1/2(〃-1)。利用这个极值性质，切比雪夫多面式就成为［-1,1］上逼近其它函数f(x)的重要工具。卜面分两种情况讨论(1)若f(x)是n次多项式，则它的n-1次最佳一致逼近多项式p^(x)能精确求出。【例3.3】已知f(x)=4x3+3x2+2x+1,求其在［-1,1］上的二次最佳一致逼近多项式P*(x)。2【解】令g(x)=f(x)—p2(x)34它是首项系数为1的3次多项式，要它在［-1,1〕上的最大值最小，由切比雪夫多项式的极值性质知，在［-1,1］上，p3中与零偏差最小的首项系数为1的三次多项式是22T3(x)，所以zxf(x)-p*(x)1Tf\g3(x)=―=2T3(x)其中T(x)=4x3-3xp*(x)=f(x)-T(x)=(4x3+3x2+2x+1)-(4x3-3x)=3x2+5x+1就是f3)在［-1,1］上的二次最佳一致逼近多项式。其中(2)若f(x)不是多项式，也可利用切比雪夫多项式的极值性质，求出f(x)的近似最佳一致逼近多项式。常用的有“切比雪夫插值法”和“缩减幂级数法”两种近似方法。我们将简单地介绍用切比雪夫多项式来降低逼近多项式的次数。我们常要在一定区间上求一个函数在一定误差范围内的逼近多项式，自然，我们希望此逼近多项式的次数越低越好。由于^"也可用切比雪夫多项式｛T(x)｝表示，即n1=T,x=T,1z、X2=2(To+以1x3=4(37+T),1x4=_(3T+4T2+T4),1x5=(10T+5T+T),16035若把普通n次多项式P(x)=a+ax+a.x2+•••+axn中的n012n所有xk(k=0,1,2,...,n)用上述切比雪夫多项式去代替，则pn(x)可改写为p(x)=b+bT(x)+bT(x)++bT(x)n01122nn在满足误差要求的情况下，可利用切比雪夫多项式的极值性质，把pn(x)的高次幂的项缩减下来，使它成为m(mWn-1)次多项式，这个m次多项式可以作为在已给精度下的f(x)在［-1,1］上的近似的最佳一致逼近多项式。下面通过简单的例子来说明这种方法。【例3.4】设在区间［-1,1］上，要计算f(x)=«，欲找一个近似多项式p(x)近似代替奕使误差£<0.01。【解】先对f(x)=ex在x=0处作泰勒展开，有1x2x3x4x5ex=1+x+—+—++—+…2!3!4!5!若取前六项之和

111111+工+X2+_工3+—工4++工52624120作为的的近似，这时截断误差夫5(x)满足1一1一e6![(x)一e&-[(x)6!17201720e<0.0038<0.01即误差确实满足所提要求，但注意p5(x)是一个5次多项式。若利用*｝和｛Tk(x)｝的关系式，p5(x)也可表示为z,81217131711“p(x)=T+T+T+T+T+T564019214823843192419205这里，我们看到Tk的足标k越小，Tk的系数就越小，由于在回<1上|Tk(x)|<1，(k=0,1,2,…)，故可以略去次数七3)项，而这就意味着逼近多项式的次数降低，这正是我们希望达到的。此题中，若略去其最后的两项，则所增添的误差为11<0.0058+1921920从而在X<1<0.0058y(x)=y(x)=T+T+T19214823843近似代替ex的总误差不超过0.0038+0.0058=0.0096<0.01亦即用y(x