2020年江苏卷数学高考试题(含答案)

梦想不会辜负每一个努力的人梦想不会辜负每一个努力的人(2)椭圆E的右准线为x=4.设P(x,0),Q(4,y),则OP二(x,0),QP二(x-4,-y),所以OP-QP的最小值为-4.(3)因为椭圆E:乂+兰=1的左、右焦点分别为F,F，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF±FF,所以OP-QP的最小值为-4.(3)因为椭圆E:乂+兰=1的左、右焦点分别为F,F，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF±FF,43122123则F(-1,0),F(1,0),A(1R.122所以直线AB:3x-4y+3=0.设M(x,y)，因为S二3S，所以点M到直线AB距离等于点O到直线AB距离的3倍.21由此得|3x-4y+31=3%13x0-4x0+31,TOC\o"1-5"\h\z55贝U3x-4y+12=0或3x-4y-6=0.x-4y+12=0,由vx2y2得7x2+24x+32=0，此方程无解;〔433x-4y-6=0,x2y2得7x2-12x-4=0，所以x=2或x=--——^―=17127〔43127代入直线l:3x-4y-6=0，对应分另U得y=0或y=212因此点M的坐标为(2,0)或(--—).7719．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.

解：(1)由条件f(x)>h(x)>g(x)，得x2+2x>kx+b>-x2+2x,取x=0,得0>b>0，所以b=0.由x2+2x>kx，得x2+(2-k)x>0，此式对一切xg(-a,+8)恒成立,所以(2-k)2<0，则k=2，此时2x>-x2+2x恒成立,所以h(x)=2x.(2)h(x)-g(x)=k(x-1-lnx),xg(0,+8).令u(x)=x-1-Inx,则u'(x)=1-令u'(x)=0，得x=1.x0门0门-41(1,+«)0亠极小值min所以u(x).=u(1)=0.则x-1>Inx恒成立,min所以当且仅当k>0时，f(x)>g(x)恒成立.另一方面，f(x)>h(x)恒成立，即x2-x+1>kx-k恒成立,也即x2-(1+k)x+1+k>0恒成立.1+k因为k>0，对称轴为x=—>0，所以(1+k)2-4(1+k)<0，解得-1<k<3.因此，k的取值范围是0<k<3.①当1<t<'、込时，由g(x)<h(x)，得4x2-8<4(t3一t)x一3t4+2t2，整理得/、3t4—2t2—8x2-(t3-t)x+<0.(*)4令A=(t3一t)2-(3t4一2t2—8),则A=t6-5t4+3t2+8.［己申(t)=16—5t4+3t2+8(1<t<92),则申'(t)=6t5一20t3+6t=2t(3t2一1)(t2一3)<0恒成立，所以申(t)在［1八2上是减函数，则屮(込)<屮(t)<屮(1)，即2<9(t)<7.所以不等式(*)有解，设解为X<x<x,12因此n一m<x一x21当0<t<1时，f(一1)-h(-l)=3t4+4t3-2t2-4t-1.设^v(t)=3t4+4t3—2t2—4t—1,v'(t)=12t3+12t2—4t—4=4(t+1)(3t2—1),令v'(t)=0，得t=亘.3r当tG(0,，3)时，V(t)<0,v(t)是减函数；3当tG(工3,1)时，v'(t)>0，v(t)是增函数.3v(0)=—1，v(1)=0，则当0<t<1时，v(t)<0.(或证：v(t)=(t+1)2(3t+1)(t—1)<0.)则f(—1)-h(—1)<0，因此—1笑(m，n).因为[m,n]cz[-,所以n—m<<2+1<y7.当-込<t<0时，因为f(x),g(x)均为偶函数，因此n-m<r7也成立.综上所述，n-m<*7.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：(1)因为等差数列｛a｝是“hl”数列，则S-S八a,即a=Xa,+1nn+1n+1n+1也即⑺-1)a=0,此式对一切正整数n均成立.n+1若尢工1，则a=0恒成立，故a-a=0，而a-a=-1,n+13221这与｛a｝是等差数列矛盾.n所以X=1.(此时，任意首项为1的等差数列都是“1〜1”数列)(2)因为数列｛a｝(ngN*)是“叵〜2”数列，n3所以p'S—=a，即yS—=S—S.n+1n3n+1n+1n3n+1n

因为a>0，所以S>S>因为a>0，所以S>S>0,nn+1n则nn即(b—1)2=-(bl-1)(b>1).n3nn所以数列｛S｝是公比为4的等比数列.n[1(n=1),因为S=a=1，所以S=4n-1.则a=<11nn[3x4n-2(n>2).（3）设各项非负的数列｛a｝（ngN*）为“尢~3”数列,n则S3则S3-S:=Xa3，即n+1nn+1—3厂=九吕~~S~.nn+1n>S>>S>0，则nnn因为a>0，而a=1，所以Sn1n+1则c—1=X3C3—1(c>1)，即(c-1)3=X3(C3-1)(c>1).(*)nnnnnn若X<0或X=1,则（*）只有一解为c=1，即符合条件的数列｛a｝只有一个.nn（此数列为1，0，0，0，…）若X>1，则（*）化为（c—1）（c2+c+1）=0，nnX3-1n因为c>1，所以c2+=2c+1>0，则（*）只有一解为c=1，nnX3-1nn即符合条件的数列｛a｝只有一个.（此数列为1,0，0，0,…）n若0<X<1，则c2+c+1=0的两根分别在（0,1）与（1,+g）内，nX3-1n则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1,另一个大于1（记此解为t）.所以S=S或S=13S.n+1nn+1n由于数列｛S｝从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列｛S｝有无数多个，则对应的nn｛a｝有无数多个.n综上所述，能存在三个各项非负的数列｛a｝为“X~3”数列，X的取值范围是0<X<1.n数学II（附加题）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分10分）a1平面上点4（2,-1）在矩阵M=1对应的变换作用下得到点B（3,-4）._一1b_（1）求实数a,b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵M-1.B．［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）nn在极坐标系中，已知点A（P1,）在直线l:PcosO=2上，点B（p）在圆C:p=4sin0上（其中P>0,13260<0<2冗）.（1）求P1，P2的值；（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标.C．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）设xeR，解不等式21x+11+1x1<4.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=<5,BD=2,O为BD的中点，AO丄平面BCD,AO=2,E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；1（2）若点F在BC上，满足BF=-BC,设二面角F—DE—C的大小为0,求sin0的值.423．（本小题满分10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为乙，恰有2个黑球的概率为乙，恰有1

个黑球的概率为qn．（1）求P］，qx和p2，q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和X*的数学期望E（£）（用n表示）.数学11（附加题）参考答案21．【选做题】A.［选修4-2：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分解得a=b=21解得a=b=2123b—1—4a解：（1）因为所以2a—1=3,-2—b=—4,所以M=2—1det(M)=2x2—1x(-1)=5丰0，所以M可逆,从而M—从而M—1=25151525B.［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.JiJiJi.解：（1）由PCOS-=2，得P=4；P=4sin-=2，又（0,0）（即（0,—））也在圆C上,131266因此P2=2或0.fPcos0=2,（2）由\得4sin0cos0=2，所以sin20=1.［p=4sin0,因为p>0，0<0<2冗，所以0=4，p=2q2.所以公共点的极坐标为（2迈,J.4C.［选修4-5：不等式选讲］本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．2解：当x>0时，原不等式可化为2x+2+x<4，解得0<x<3；当—1<x<0时，原不等式可化为2x+2—x<4，解得—1<x<0；当x<—1时，原不等式可化为—2x—2—x<4，解得—2<x<—1.

2综上，原不等式的解集为｛xl-2<x<3｝-22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．满分10分．解：（1）连结OC,因为CB=CD,O为BD中点，所以CO丄BD.又AO丄平面BCD,所以AO丄OB,AO丄OC.以矗荒亦｝为基底，建立空间直角坐标系O-xyz.因为BD=2,CB=CD=+5，AO=2,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2).因为E为AC的中点，所以E(0,1,1).则AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1),所以Icos<AB,DE〉l=IAB•DE1_11所以Icos<AB,DE〉l=IaBI-1DEI_V5启_15因此，直线AB与DE所成角的余弦值为山.15（2）因为点F在BC上，BF_-BC,BC=（-1,2,0）.4所以BF_：BC_（-丄,0）.42又DB_(2,0,0),故DF故DF_DB+BF_(4,2，0)设n_（x,y,z）为平面DEF的一个法向量,1111DE-n_0,—»1DE-n_0,—»1即VDF-n_0,J1TOC\o"1-5"\h\z11171n—x+—y_0,〔4121取x1_2，得y_-7,z_5，所以n_(2,-7,5).111设“_(x,y,z)为平面DEC的一个法向量，又DC=(1，2,0),2222DE-n_0,Ix+y+z_0,—-2即V2220取x_2，得y_-1,z_-1,DC•n_0,Ix+2y_0,22222所以役_(2,-1,—D.

故IcosO1=丨n•n丨=I4+故IcosO1=InI•InI<78心61312所以sin。八1—市=詈.q1C1C1q1C1C12C1C1333C1C1C1C1=-1•-3•p+-2•i•qC1C11C1C11+0•(1—p1q)127p+q=31912723．【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．C1C11解：⑴P1=C1•C=333TOC\o"1-5"\h\zC1C1C1C1C1ClC1C1门、q=-2・3・p+(—2・2+1・1)・q+—3・2・(1—p—q)2C1C11C1C1C1C11C1C111333333331216=—一q+=-.91327(2)当n>2时，C1C1C1C1p=―1•pnC1C1n—133C1C1+—2•1•qC1C1n—133n—12+9qn—1，TOC\o"1-5"\h\zC1C1C1C1C1C1C1C1q=v•3•p+(v•2+1•1)•q+3•2•(1—p—q)nC1C1n—1C1C1C1C1n—1C1C1n—1n—1333333312—=—9qn—1+3，②2x①+②，得2p+qnn4；—1+9纟n—1+3=3(2^n—1+瓷—1)+从而2p+q-1=3(2p+q一1)，又