习题 数列的概念与 简单表示 课时作业

§数列的概念与简单表示法(二)课时目标1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．2．数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值．3．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．一、选择题1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数项D．不能确定答案A2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2答案B3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，则此数列第4项是()A．1\f(1,2)\f(3,4)\f(5,8)答案B4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于()\f(25,9)\f(25,16)\f(61,16)\f(31,15)答案C解析a1a2a3＝32，a1aa1a2a3a4a5＝52则a3＝eq\f(32,22)＝eq\f(9,4)，a5＝eq\f(52,42)＝eq\f(25,16).故a3＋a5＝eq\f(61,16).5．已知数列{an}满足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤an<\f(1,2)))，,2an－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤an<1)).))若a1＝eq\f(6,7)，则a2010的值为()\f(6,7)\f(5,7)\f(3,7)\f(1,7)答案C解析计算得a2＝eq\f(5,7)，a3＝eq\f(3,7)，a4＝eq\f(6,7)，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又知2010除以3能整除，所以a2010＝a3＝eq\f(3,7).6．已知an＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是()A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a10，a30答案C解析∵an＝eq\f(n－\r(99)＋\r(99)－\r(98),n－\r(99))＝eq\f(\r(99)－\r(98),n－\r(99))＋1∴点(n，an)在函数y＝eq\f(\r(99)－\r(98),x－\r(99))＋1的图象上，在直角坐标系中作出函数y＝eq\f(\r(99)－\r(98),x－\r(99))＋1的图象，由图象易知当x∈(0，eq\r(99))时，函数单调递减．∴a9<a8<a7<…<a1<1，当x∈(eq\r(99)，＋∞)时，函数单调递减，∴a10>a11>…>a30>1.所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.二、填空题7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.答案3·21－n8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N*)，则使an>100的n的最小值是________．答案129．若数列{an}满足：a1＝1，且eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋2,n)(n∈N*)，则当n≥2时，an＝________.答案eq\f(nn＋1,2)解析∵a1＝1，且eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋2,n)(n∈N*)．∴eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)…eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an,an－1)＝eq\f(3,1)·eq\f(4,2)·eq\f(5,3)·…eq\f(n,n－2)·eq\f(n＋1,n－1)，即an＝eq\f(nn＋1,2).10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．答案－3解析an≤an＋1⇔n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ≥－(2n＋1)，n∈N*⇔λ≥－3.三、解答题11．在数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＝1－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)．(1)求证：an＋3＝an；(2)求a2011.(1)证明an＋3＝1－eq\f(1,an＋2)＝1－eq\f(1,1－\f(1,an＋1))＝1－eq\f(1,1－\f(1,1－\f(1,an)))＝1－eq\f(1,1－\f(an,an－1))＝1－eq\f(1,\f(an－1－an,an－1))＝1－eq\f(1,\f(－1,an－1))＝1－(1－an)＝an.∴an＋3＝an.(2)解由(1)知数列{an}的周期T＝3，a1＝eq\f(1,2)，a2＝－1，a3＝2.又∵a2011＝a3×670＋1＝a1＝eq\f(1,2)，∴a2011＝eq\f(1,2).12．已知an＝eq\f(9nn＋1,10n)(n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．解因为an＋1－an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＋1·(n＋2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n·(n＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＋1·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n＋2－\f(10,9)n＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＋1·eq\f(8－n,9)，则当n≤7时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＋1·eq\f(8－n,9)>0，当n＝8时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＋1·eq\f(8－n,9)＝0，当n≥9时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＋1·eq\f(8－n,9)<0，所以a1<a2<a3<…<a7<a8＝a9>a10>a11>a12>…，故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝eq\f(99,108).能力提升13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，n∈N*，则通项公式an＝________.答案－eq\f(1,n)解析∵an＋1－an＝eq\f(1,nn＋1)，∴a2－a1＝eq\f(1,1×2)；a3－a2＝eq\f(1,2×3)；a4－a3＝eq\f(1,3×4)；……an－an－1＝eq\f(1,n－1n)；以上各式累加得，an－a1＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n－1n)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝1－eq\f(1,n).∴an＋1＝1－eq\f(1,n)，∴an＝－eq\f(1,n).14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．答案eq\f(1,n)解析∵(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋anan＋1＝0，∴[(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0，∵an>0，∴an＋an＋1>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0.方法一eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1).∴eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·eq\f(a5,a4)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·eq\f(3,4)·eq\f(4,5)·…·eq\f(n－1,n)，∴eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n)a1＝eq\f(1,n).方法二(n＋1)an＋1－nan＝0，∴nan＝(n－1)an－1＝…＝1×a1＝1，∴nan＝1，an＝eq\f(1,n).函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列