习题 导数的乘法与除法法则 课时作业 Word版含解析

导数的乘法与除法法则课时作业一、选择题1.函数y＝eq\f(cosx,1－x)的导数是()A.eq\f(－sinx＋xsinx,1－x2) B.eq\f(xsinx－sinx－cosx,1－x2)C.eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2) D.eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x)解析：y′＝(eq\f(cosx,1－x))′＝eq\f(－sinx1－x－cosx·－1,1－x2)＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2).答案：C2.已知f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1＋x)，则f′(x)等于()A.eq\f(1,1＋x) B.－eq\f(1,1＋x)C.eq\f(1,1＋x2) D.－eq\f(1,1＋x2)解析：令eq\f(1,x)＝t，则f(t)＝eq\f(\f(1,t),1＋\f(1,t))＝eq\f(1,1＋t)，∴f(x)＝eq\f(1,1＋x)，f′(x)＝(eq\f(1,1＋x))′＝－eq\f(1,1＋x2).答案：D3.函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为()A.ab B.－a(a－b)C.0 D.a－b解析：y′＝[(x－a)(x－b)]′＝(x－a)′(x－b)＋(x－a)(x－b)′＝x－b＋x－a＝2x－a－b当x＝a时，y′＝a－b.答案：D4．曲线y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在点M(eq\f(π,4)，0)处的切线的斜率为()A.－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.－eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),2)解析：y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,1＋sin2x)，把x＝eq\f(π,4)代入得导数值为eq\f(1,2).答案：B5.若质点的运动方程是s＝tsint，则质点在t＝2时的瞬时速度为________．解析：s′＝(tsint)′＝sint＋tcost，∴s′(2)＝sin2＋2cos2.答案：sin2＋2cos26.已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝__________.解析：f(x)＝(x2－4)(x－a)＝x3－ax2－4x＋4a∴f′(x)＝3x2－2ax－4，又f′(－1)＝0，即3×(－1)2－2a×∴a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7.已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：∵y＝eq\f(4,ex＋1)，∴y′＝eq\f(－4ex,ex＋12).令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1，∴y′＝eq\f(－t＋4,t2)＝eq\f(4,t2)－eq\f(4,t).再令eq\f(1,t)＝m，则0<m<1，∴y′＝4m2－4m＝4(m－eq\f(1,2))2－1,m∈(0,1)．容易求得－1≤y′<0.∴－1≤tanα<0，得eq\f(3,4)π≤α<π.答案：[eq\f(3π,4)，π)三、解答题8.求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx＋2cosx；(2)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(3)y＝eq\f(lgx,x).解：(1)y′＝(x2sinx)′＋(2cosx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＋2(cosx)′＝2xsinx＋x2cosx－2sinx.(2)法一：y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).法二：y＝eq\f(ex＋1,ex－1)＝eq\f(ex－1＋2,ex－1)＝1＋eq\f(2,ex－1)，y′＝－eq\f(2ex,ex－12).(3)y′＝(eq\f(lgx,x))′＝eq\f(lgx′x－lgx·x′,x2)＝eq\f(\f(1,xln10)·x－lgx,x2)＝eq\f(1－ln10·lgx,x2·ln10).9.已知函数f(x)＝eq\f(ax－6,x2＋b)的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.求函数y＝f(x)的解析式．解：由函数f(x)的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f即f(－1)＝－2，由切点为M点得f′(－1)＝－eq\f(1,2).∵f′(x)＝eq\f(ax2＋b－2xax－6,x2＋b2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－a－6,1＋b)＝－2，,\f(a1＋b－2a＋6,1＋b2)＝－\f(1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1