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第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式计算:sin43°cos13°+sin47°cos103°=________.答案:121剖析:原式=sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°=2.已知cosθ-π=3,θ∈π,π,则cosθ=________.452答案:-210剖析:因为θ∈πππ3ππ4,所以sinθ-42,π,所以θ-4∈4,4=5,cosθ=cosππππ32422=cosθ-4·cos4-sinθ-4sin4=5×2-5×2=-10.计算:cos10°+3sin10°=________.1-cos80°答案:2cos10°+3sin10°2cos(10°-60°)2cos50°剖析:===2.1-cos80°22sin40°2sin40°4.当函数y=sinx-3cosx(0≤x<2π)获取最大值时,x=________.答案:56π剖析:y=sinx-3cosx=2sinπ,由0≤x<2π,x-3ππ5ππ5得-3≤x-3<3π,∴当x-3=2,即x=6π时函数获取最大值.π+sinα=47π=________.5.已知cosα-653,则sinα+6答案:-45剖析:∵cosπ4α-6+sinα=3,5334134∴2cosα+2sinα=53,32cosα+2sinα=53,3sinπ43,∴sinπ46+α=56+α=5,∴sin7π4α+π=-sin+α=-.6656.已知tan(α+β)=2,tanβ-π=1,那么tanα+π=________.答案:3544422ππ剖析:因为α+4+β-4=α+β,
ππθ-4+4ππ所以α+4=(α+β)-β-4,所以tanππα+=tan[(α+β)-β-]44πtan(α+β)-tanβ-34=π=22.1+tan(α+β)tanβ-4π7.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,0≤x<2,则f(x)的最大值为________.答案:2剖析:f(x)=(1+3tanx)cosx=cosx+3sinx=2cosx-π,3π∴当x=3时,f(x)获取最大值为2.8.(2013无·锡期末)设函数f(x)=cos(3x+φ)(0<φ<π).若f(x)+f(x)′是奇函数,则φ=________.π答案:6剖析:f′(x)=-3sin(3x+φ),f(x)+f′(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)=-2sin3xπ是奇函数,+φ-6ππ所以φ-6=kπ,k∈Z,即φ=kπ+6,k∈Z.又0<φ<π,π所以k=0,φ=6.π已知函数f(x)=2sin3x-6,x∈R.求f5π的值;4(2)设α、β∈0,π,f3α+π=10,f(3β+2π)=6,求cos(α+β)的值.22135解:(1)由题设,知f5π=2sin5ππ=2sinπ4=2.412-610π(2)由题设,知13=f3α+2=2sinα,6π5=f(3β+2π)=2sinβ+2=2cosβ,53即sinα=13,cosβ=5.又α,β∈π124,∴cosα=,sinβ=,0,21351234×5=16∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-51365.13510.已知向量a=(m,sin2x),b=(cos2x,n),x∈R,f(x)=a·b,若函数f(x)的图象经π过点(0,1)和4,1.(1)求m、n的值;π(2)求f(x)的最小正周期,并求f(x)在x∈0,4上的最小值;(3)若fα=1,α∈0,π时,求tanα+π的值.2544π解:(1)f(x)=mcos2x+nsin2x,因为f(0)=1,所以m=1.又f=1,所以n=1.故m=1,n=1.(2)f(x)=cos2x+sin2x=2sin2x+π,所以f(x)的最小正周期为π.4πππ3ππ因为x∈0,4,所以2x+4∈4,4,所以当x=0或x=4时,f(x)取最小值1.α11(3)因为f2=5,所以cosα+sinα=5,π2π即sinα+4=10.又α∈0,4,ππππ72故α+4∈4,2,所以cosα+4=10,所以tanπ=2=1α+4727.π11.已知函数f(x)=2cosωx+6(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.求ω的值;π56516(2)设α、β∈0,2,f5α+3π=-5,f5β-6π=17,求cos(α+β)的值.2π1解:(1)T==10π,所以ω=5.ω5π=2cos15ππ63(2)f5α+5α+=2cos=-2sinα=-,所以sinα=353π+6α+255.5β-5π=2cos15β-5π+π=2cos
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