高中数学第三章不等式32均值不等式名师讲义

学必求其心得，业必贵于专精3.2均值不等式预习课本P69~71，思虑并完成以下问题均值不等式的形式是什么?需具备哪些条件？（2）在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面？一般依照怎样的思路来求解实责问题中的最值问题？错误!1．均值定理＋若是a，b∈R，那么错误!≥错误!.当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论平时称为均值不等式．a＋b对任意两个正实数a,b,数称为a，b的算术平均值(平均数），数错误!称为a，b的几2何平均值（平均数）．均值定理可表达为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．a＋b[点睛］(1)“a＝”是≥错误!的等号成立的条件．若≠，则错误!≠错误!，即b2ab错误!＞错误!。（2）均值不等式错误!≥错误!与a2＋b2≥2成立的条件不同样，前者＞0，＞0,后者aababR，b∈R.2．利用均值不等式求最值1）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．［小试身手］1．判断以下命题可否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”)(1）对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2错误!均成立（）-1-学必求其心得，业必贵于专精（2）若a≠0，则a＋错误!≥2错误!＝4()（3）若a〉0，〉0，则≤错误!2(）bab解析：（1）错误．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2错误!成立．（2)错误．只有当〉0时，依照均值不等式，才有不等式＋错误!≥2错误!＝4成立．aa正确．因为错误!≤错误!，因此ab≤错误!2。答案：（1)×（2)×(3）√2．已知f（x）＝x＋错误!－2（x＞0），则f(x）有（）A．最大值为0B．最小值为0C．最小值为－2D．最小值为2答案：B3．对于任意实数a，b，以下不等式必然成立的是(）A．a＋b≥2aba＋bB.2≥错误!C．a2＋b2≥2abD.错误!＋错误!≥2答案：C4．已知0＜x＜1,则函数y＝x(1－x)的最大值是________．1答案:4利用均值不等式比较大小[典例］2，则m，n之间的大小关系是()(1)已知m＝a＋错误!（a>2)，n＝22－b（b≠0)A．>B．<mnmnC．m＝nD．不确定若a〉b〉1，P＝错误!,Q＝错误!(lga＋lgb）,R＝lg错误!，则P，Q，R的大小关系是________．[解析］（1）因为a>2,因此a－2〉0，又因为m＝a＋错误!＝(a－2)＋错误!＋2，因此m≥2错误!＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，因此2－b2〈2，n＝22－b2〈4,综上可知m〉n。2）因为a>b〉1，因此lga〉lgb>0，因此Q＝错误!(lga＋lgb)〉错误!＝P；＝错误!(lg＋lgb）＝lg错误!＋lg错误!＝lg错误!<lg错误!＝.QaR因此P<Q〈R.[答案]（1)A（2）P<Q<R-2-学必求其心得，业必贵于专精利用均值不等式比较实数大小的注意事项1)利用均值不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积），同时要注意结合函数的性质（单调性）．（2）利用均值不等式时，必然要注意条件可否满足a>0，b〉0。［活学活用]已知a，b，c都是非负实数，试比较错误!＋错误!＋错误!与错误!(a＋b＋c)的大小．22222解：因为a＋b≥2ab,因此2（a＋b）≥(a＋b），因此a2＋b2≥错误!（a＋b），同理错误!≥错误!（b＋c)，错误!≥错误!(c＋a），因此错误!＋错误!＋错误!≥错误由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，即ab＝100，且a＞0，b＞0,因此由均值不等式可得a＋b≥2错误!＝2错误!＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20。(2）∵x＞0，y＞0，2x＋3y＝6,12∴xy＝6(2x·3y）≤错误!·错误!2＝错误!·错误!＝错误!，即x＝错误!，y＝1时，xy取到最大值错误!.（3）∵错误!＋错误!＝1，∴x＋y＝（x＋y)·错误!1＋错误!＋错误!＋9＝错误!＋错误!＋10，又∵x＞0，y＞0,y∴x＋错误!＋10≥2错误!＋10＝16,当且仅当错误!＝错误!，即y＝3x时，等号成立．由错误!得错误!即当x＝4，y＝12时，x＋y获取最小值16。(1)应用均值不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等．在详尽的题目中，“正数”条件常常易从题设中获取解决，“相等”条件也易考据确定，而要获取“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要必然的灵便性和变形技巧．因此，“定值"条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的要点．（2）常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换;②拆项变换；③一致变元;④平方后利用基本不等式．(3）对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用．-4-学必求其心得，业必贵于专精[活学活用]1．已知a〉0，b>0，错误!＋错误!＝错误!，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(）A．8B．7C．6D．5解析：选C由已知,可得6错误!＝1，∴2a＋b＝6错误!·(2a＋b）＝6错误!≥6×(5＋4）54，当且仅当错误!＝错误!时等号成立,∴9m≤54，即m≤6，应选C。2．若x〉0,y>0,且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．解析:1＝x＋4y≥2错误!＝4错误!,xy≤错误!,当且仅当x＝4y＝错误!时等号成立．答案：错误!利用均值不等式解应用题[典例］某单位决定投资3200元建一库房(长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花销，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价元，求：(1）库房面积S的最大赞同值是多少？（2)为使S达到最大，而实质投资又不高出估量，那么正面铁栅应设计为多长？[解］(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x2×45y＋20xy＝3200,由均值不等式得3200≥2错误!＋20xy120错误!＋20xy，120S＋20S.因此S＋6错误!－160≤0，即(错误!－10）（错误!＋16）≤0，故错误!≤10，从而S≤100，因此S的最大赞同值是100平方米，（2）获取最大值的条件是40x＝90y且xy＝100,求得x＝15，即铁栅的长是15米．求实责问题中最值的解题4步骤(1）先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式．（2）把实责问题抽象成函数的最大值或最小值问题．-5-学必求其心得，业必贵于专精(3）在定义域内,求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．（4）正确写出答案．[活学活用]某公司购买一批机器投入生产，据市场解析，每台机器生产的产品可获取的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年）的关系为y＝－x2＋18x－25（x∈N＋），求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．解:每台机器运转x年的年平均利润为错误!＝18－错误!，而x〉0，故错误!≤18－2错误!8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大,最大值为8万元．故当每台机器运转5年时，年平均利润最大,最大值为8万元．层级一学业水平达标1．以下结论正确的选项是()A．当x>0且x≠1时,lgx＋错误!≥2B．当x>0时，错误!＋错误!≥2C．当x≥2时，x＋错误!的最小值为2D．当0〈x≤2时，x－错误!无最大值解析：选BA中，当0〈x<1时，lgx〈0,lgx＋错误!≥2不成立；由均值不等式知B1正确；C中，由对勾函数的单调性，知x＋x的最小值为错误!；D中，由函数f(x）＝x－错误!在区间(0,2]上单调递加，知x－错误!的最大值为错误!，应选B.2．以下各式中，对任何实数x都成立的一个式子是(）A．lg(x2＋1)≥lg(2x）B．x2＋1〉2xC.错误!≤1D．x＋错误!≥2解析:选C对于A，当≤0时，没心义，故A不恒成立；对于B,当x＝1时，x2＋1＝2，xx故B不成立;对于D，当x〈0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，∴错误!≤1成立．应选C.3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则以下各式中正确的一个是()1A.a＋错误!<1B.错误!＋错误!≥1C。错误!＋错误!<2D。错误!＋错误!≥2解析：选B因为ab≤错误!2≤错误!2＝4，因此错误!＋错误!≥2错误!≥2错误!＝1.4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(）A.错误!〉错误!B.错误!〈错误!-6-学必求其心得，业必贵于专精a＋dC。2＝错误!D。错误!≤错误!解析：选A因为a，，，d成等差数列,则＋＝＋，又因为a，,，d均大于0bcadbcbc且不相等，因此b＋c>2错误!,故错误!>错误!。5．若x>0,y>0，且错误!＋错误!＝1，则xy有（)A．最大值64B．最小值错误!C．最小值错误!D．最小值64解析：选D由题意xy＝错误!xy＝2y＋8x≥2错误!＝8错误!，∴错误!≥8，即xy有最小值64,等号成立的条件是x＝4,y＝16。6．若a〉0，b>0，且错误!＋错误!＝错误!，则a3＋b3的最小值为________．解析:∵a〉0，b〉0,∴错误!＝错误!＋错误!≥2错误!，即ab≥2,当且仅当a＝b＝错误!时取等号,∴a3＋b3≥2错误!≥2错误!＝4错误!，当且仅当a＝b＝错误!时取等号，则a3＋b3的最小值为42.答案:4错误!7．已知0<x〈1，则x(3－3x）获取最大值时x的值为________．解析:由x(3－3x）＝错误!×3x(3－3x)≤错误!×错误!2＝错误!，当且仅当3x＝3－3x，即x＝错误!时等号成立．答案:错误!8．若对任意x〉0，错误!≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析:因为x〉0，因此x＋错误!≥2。当且仅当x＝1时取等号,因此有错误!＝错误!≤错误!＝错误!，即错误!的最大值为错误!，故a≥错误!。答案：错误!9．（1）已知x<3，求f（x）＝错误!＋x的最大值；(2）已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求错误!＋错误!的最小值．解:（1)∵x〈3，∴x－3〈0，4∴f(x）＝x－3＋x＝错误!＋(x－3)＋3＝－错误!＋3≤－2错误!＋3＝－1,当且仅当错误!＝3－x，即x＝1时取等号，∴f（x）的最大值为－1.（2)∵x，y是正实数，-7-学必求其心得，业必贵于专精∴(x＋y)错误!＝4＋错误!≥4＋2错误!.3x当且仅当x＝y，即x＝2(错误!－1)，y＝2(3－错误!）时取“＝”号．又x＋y＝4,1∴x＋错误!≥1＋错误!，故错误!＋错误!的最小值为1＋错误!。＋c10．设a，b，c都是正数，试证明不等式：a＋错误!＋错误!≥6.证明：因为a>0,b〉0,c〉0，因此错误!＋错误!≥2,错误!＋错误!≥2，错误!＋错误!≥2，因此错误!＋错误!＋错误!≥6,ba当且仅当a＝b，错误!＝错误!,错误!＝错误!，即a＝b＝c时，等号成立．因此错误!＋错误!＋错误!≥6.层级二应试能力达标1．,∈R，则2＋2与2|ab｜的大小关系是()ababA．a2＋b2≥2｜ab｜B．a2＋b2＝2|ab｜C．a2＋b2≤2｜ab｜D．a2＋b2〉2|ab｜解析：选A∵2＋2|＝(|｜－｜2∴2＋2≥2||（当且仅当｜｜＝｜ab－2｜ab|）≥0,abaababb｜时，等号成立)．2．已知实数a，b，c满足条件a>b>c且a＋b＋c＝0，abc〉0，则错误!＋错误!＋错误!的值()A．必然是正数B．必然是负数C．可能是0D．正负不确定解析：选B因为a〉b〉c且a＋b＋c＝0，abc〉0,因此a〉0,b〈0，c〈0，且a＝－（b＋c)，因此错误!＋错误!＋错误!＝－错误!＋错误!＋错误!，因为b〈0，c<0，因此b＋c≤－2错误!，1因此－b＋c≤错误!，又错误!＋错误!≤－2错误!，因此－错误!＋错误!＋错误!≤错误!－2错误!＝－错误!〈0，应选B.3．已知x〉0,y〉0，x，a,b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列,则错误!的最小值-8-学必求其心得，业必贵于专精为（)A．0B．1C．2D．4解析：选D由题意，知错误!因此错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立．4．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A．6B．4错误!C．26D．8解析：选Bab∵a，b是实数，∴2＞0,2＞0，于是2a＋2b≥2错误!＝2错误!＝2错误!＝4错误!,当且仅当a＝＝错误!时获取最小值4b错误!。5．当x〉1时，不等式x＋错误!≥a恒成立，则实数a的最大值为________．解析:x＋错误!≥a恒成立?错误!min≥，ax>1,即x－1>0,x＋错误!＝x－1＋错误!＋1≥2错误!＋1＝3，当且仅当x－1＝错误!,即x＝2时，等号成立．a≤3,即a的最大值为3.答案：36．若正数，满足＋＝1，则错误!＋错误!的最小值为________．abab解析：由a＋b＝1，知错误!＋错误!＝错误!＝错误!，又ab≤错误!2＝错误!（当且仅当＝＝错误!时等号成立），∴9＋10≤错误!，∴错误!≥错误!。abab答案:错误!7．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经检查,该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件)与年促销花销(≥0)（单位：万元)满足x＝3－错误!（k为