反比函数图像上四种三角形的面积知识点分析人教版

反比函数图像上四种三角形的面积反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。一、三角形面积的四个结论结论1、过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。如图1所示，设P（a，b）是反比例函数y=（k≠0）图像上的一点，过点P作PA⊥x轴，垂足为A，三角形PAO的面积是S，则|k|=2S。结论2、过反比例函数图像上一点，向y轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。如图2所示，设P（a，b）是反比例函数y=（k≠0）图像上的一点，过点P作PB⊥y轴，垂足为B，三角形PBO的面积是S，则|k|=2S。结论3、正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴，垂足是C，三角形ABC的面积设为S，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。如图3所示。证明1：因为，正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，所以，，所以，x=±，当x=时，y=k1x=，所以，点A的坐标是（，），当x=-时，y=k1x=-，所以，点B的坐标是（-，-），所以，OC的长度是，三角形ABC的面积=三角形AOC的面积+三角形BOC的面积=×OC×AC+×OC×BD=××+××|-|=k+k=k。所以，与k1无关。证明2、根据结论1，知道三角形AOC的面积是k，三角形BOC的面积=×OC×BD××|-|=k，所以，三角形ABC的面积=k。结论4、正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴，过B点作BC⊥y轴，两线的交点是C，三角形ABC的面积设为S，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。如图4所示。因为，正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，所以，，所以，x=±，当x=时，y=k1x=，所以，点A的坐标是（，），当x=-时，y=k1x=-，所以，点B的坐标是（-，-），所以，OC的长度是，三角形ABC的面积=三角形AOE的面积+三角形BOD的面积+矩形ODCE的面积=×OE×AE+×OD×BD+OD×DC=××+×|-|×|-|+×|-|=k+k+k=2k。所以，与k1无关。二、结论的具体应用这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。例1、如图5，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则．（08年巴中市）分析：根据结论1，知道面积S与k之间有如下的关系：|k|=2S，S=3，所以，|k|=6，所以，k=6或者k=-6，因为图像分布在二、四象限，所以，k＜0，所以k=-6.解：-6.例2、两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象，如图6所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的图象上运动时，以下结论：△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．（08年湖北省咸宁市）分析：因为，点A、B都在反比例函数y=的图像上，根据结论1和结论2，知道;ODB与△OCA的面积相等,所以，①是正确的；如图7所示，连接OP，根据结论1知道，三角形POC的面积为k，是个常数，三角形OAC的面积是，所以，三角形PAO的面积是k-，是个常数，根据结论2知道，三角形POD的面积为k，是个常数，三角形OBD的面积是，所以，三角形PBO的面积是k-，是个常数，所以，四边形PBOA的面积等于三角形PAO的面积+三角形PBO的面积=k-+k-=k-1，是一个定值，所以②是正确的；设点P的坐标为（m，n），因为，点P在的图象上，反比例函数在第一象限内，因为，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，所以，点A的横坐标为m，所以，点A的纵坐标为，即点A的坐标为（m，）；因为，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，所以，点B的纵坐标为n，所以，点A的横坐标为，即点B的坐标为（，n），PA=PC-AC=n-=,PB=PD-BD=m-=，分数的分子是相同的，但是，分母不同，只有当m=n时，PA=PB才能成立，所以，即③是不正确的；当点A是PC的中点时，有PA=AC即=，所以，mn=2，即k=2，所以，点P的坐标为（m，），即点B的坐标为（，），所以，点B是PD的中点，所以，当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．即④是正确的；因此，一定正确的是①②④.解：正确的结论是①②④.如图8，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，，则k的值和Q点的坐标分别为_________________________.简析：根据结论1知道：因为k是大于0的，所以，k=2S=2×=3，即y=，设Q的坐标为（m，n），则mn=3，因为，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，所以，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，-2），所以，线段OA=4,因为，PC为△AOB的中位线，所以，点C是线段OA的中点，所以，OC=2,即点Q的横坐标为m=2，所以，n=，所以点Q的坐标为（2，