非线性弹性本构关系全量型增量型③弹塑性本构课件

①线弹性本构关系：虎克定律②非线性弹性本构关系：

全量型：

增量型：③弹塑性本构关系：

变形理论：简称为弹塑性小变形理论

增量理论：用增量形式描述材料处于塑性状态时的应力应变关系④损伤本构关系⑤其它本构理论：粘弹性与粘塑性本构关系、内时理论一、本构关系分类:typesofconstitutivelaws

各类本构关系的理论基础不同，表达形式多样，计算结果差别较大。尚无通用的混凝土本构模型。实际工程中应用广泛的还是源自试验、满足计算精度要求、形式简明和使用方便的非线弹性本构模型。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresNonlinearanalysisofconcretestructures①线弹性本构关系：虎克定律一、本构关系分类:types⑴用与工程结构相同的混凝土，通过棱柱体试件试验测定；⑵选定适合该结构的本构模型，其数学表达式中的参数由少量试验标定；⑶采用经过试验验证或工程经验证明可行的具体本构（数学）模型。混凝土材料施工工艺和质量控制不够精细，混凝土力学试验结果变异性和离散度较大。结构分析的本构关系应根据结构重要性、计算精度、试验条件等慎重地选择。

二、确定本构关系的三种方法：NonlinearanalysisofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve⑴用与工程结构相同的混凝土，通过棱柱体试件试验测定；

三、常用钢筋、混凝土本构关系有：

（1）混凝土的单轴受压和受拉应力-应变关系；

（2）混凝土多轴应力-应变关系；

（3）多种环境和受力条件下的混凝土应力-应变关系，包括反复加卸载，多次重复荷载（疲劳），快速（毫秒或微秒级）加载和变形，高温（＞l00oC）和低温＜0oC）状况下的加卸载，……；（4）与时间有关的混凝土受力性能，如徐变（松弛）、收缩、……；NonlinearanalysisofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve

（6）钢筋和混凝土界面的粘结应力-相对滑移（τ-s）关系，包括单调和反复荷载作用；（7）构件（截面）单调加载下的弯矩-曲率关系，在（地震）反复荷载下的弯矩-曲率恢复力模型；（8）二维和三维钢筋混凝土有限单元的各种本构关系，如分离式、组合式或整体式模型，以及钢筋和混凝土界面的联结单元模型等。

（5）钢材（筋）的应力-应变关系和反复应力作用的Bauschinger效应；

各种非线性本构关系的理论概念、数学表达式和计算参数取值等差别较大，计算结果也不相同。进行结构非线性分析时，应慎重选择混凝土本构模型，重要结构应进行理论的或试验的验证。三、常用钢筋、混凝土本构关系有：（1）混凝土的单轴受NonlinearAnalysisofConcreteStructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve3.1混凝土轴压应力-应变全曲线(Stress-straincurve

of

concreteincompression)Innonlinearanalysisofreinforcedconcretestructures,constitutivelawofmaterialisaveryimportantphysicalrelationship.testingstress-straincurveofconcretecolumnundercompressionNonlinearAnalysisofConcreteStress-straincurveofconcreteincompressionisdescribedwithnon-dimentionalcoordinatesas(将混凝土受压应力-应变全曲线用无量纲坐标表示)：Thecoordinateatpeakpoint(1,1)isplotedasleftcurve绘制峰点坐标为（1，1）的标准曲线如图Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.1混凝土受压应力-应变全曲线(Stress-straincurve

of

concreteincompression)Stress-straincurveofconcre下降段曲线可无限延长，收敛于横坐标轴，但不相交Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures下降段曲线可无限延长，收敛于横坐标轴，但不相交Chapter清华大学教授过镇海建议分段式曲线方程：上升段⑴式满足条件1、2、3、7，下降段⑵式满足条件3～7。⑴⑵将条件1和3中的三个边界条件代入⑴式，可解得：式中的独立参数a1可从式⑴知，当x=0时，dy/dx=a1，从各符号的定义可得：Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures清华大学教授过镇海建议分段式曲线方程：上升段⑴式满足条件1、式中：混凝土的初始切线弹性模量（N/mm2）。棱柱体抗压强度和峰值应变的比值，即峰值割线模量N/mm2αa=a1，规范称之为曲线上升段参数。物理意义：混凝土的初始切线模量与峰值割线模量之比E0/Ep上升段曲线方程为：上升段曲线方程，满足条件7，由条件2的不等式，可得αa值的范围：⑶Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures式中：混凝土的初始切线弹性模量（N/mm2）。棱柱体抗压强度上升段理论曲线随参数αa的变化：αa＞3，曲线局部y＞1，显然违背试验结果；1.1＜αa＜1.5，曲线的初始段（x＜0.3）内有拐点，单曲度不明显，在y≤0.5～0.6范围内接近一直线；αa＜1.1，上升段曲线上拐点inflexion明显，与混凝土材性不符。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures上升段理论曲线随参数αa的变化：αa＞3，1.1＜αa＜1.⑴⑵下降段曲线方程含三个参数，将条件3的两个边界条件代入，可解得：式中b0为独立参数，规范称其为下降段参数，即αd=b0将其代入⑵式，并简化可得：⑷Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures⑴⑵下降段曲线方程含三个参数，将条件3的两个边界条件代入，上式满足条件6、7。⑷上式满足条件6、7。⑷可解得拐点inflexion位置xD（＞1.0）此外，由数学条件4满足：同理，由数学条件5满足：可解得最大曲率点pointofthemaximumcurvature的位置xE＞xDChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures可解得拐点inflexion位置xD（＞1.0）此外，由数学下降段曲线上两个特征点D、E的位置随参数αd值而变化，按式计算结果如图，与试验数据一致Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures下降段曲线上两个特征点D、E的位置随参数αd值而变化，按式se0.5fc5~10次εceεcp初始弹性模量测定方法testingmethodofelasticmodulusChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresse0.5fc5~10次εceεcp初始弹性模量测定方对参数取αa和αd赋予不等的数值，可得变化的理论曲线。对不同强度等级的结构混凝土或约束混凝土，选用合适的参数值，可得到与试验结果相符的理论曲线。过镇海等建议的参数值见上表。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures对参数取αa和αd赋予不等的数值，可得变化的理论曲线。对混凝土受压应力-应变试验曲线的数学函数曲线有：多项式、指数式、三角函数、有理分式、分段式等Compressivestress-strainrelationofconcrete混凝土受压应力-应变试验曲线的数学函数曲线有：多项式、指数式对于曲线的上升段和下降段，有的用统一方程，有的则给出分段公式。其中比较简单、实用的曲线形式如图。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures对于曲线的上升段和下降段，有的用统一方程，有的则给出分段公式3.2.1用于非线性分析的曲线方程Curveequationfornonlinearanalysis混凝土结构设计规范建议的混凝土单轴受压应力-应变全曲线方程：式中的纵、横坐标改为：式中：fc＊—混凝土的单轴（即轴心）抗压强度（N/mm2），应根据结构分析方法和极限状态验算的需要，分别取为标准值fck、设计值fc或平均值fcm；

εc—

与fc＊相应的峰值压应变。⑶⑷3.2混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数CurveequationandparameterindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.2.1用于非线性分析的曲线方程Curveequatεc按下式计算：Ascendingcurveanddescendingcurve：Fordescendingcurveofstress-strain,whenstressreducedto0.5fc＊，thecompressivestrainissolvedfromfunction(4):

在应力-应变曲线的下降段上，当应力（残余强度）减至0.5fc＊时，所对应的压应变为εu。其值可由解得：分析或验算结构构件时，混凝土的单轴压应变不宜超过值εu。⑷3.2混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresεc按下式计算：Ascendingcurveandde

按上述公式计算随混凝土抗压强度而变化的各项参数值，经整理后如表将这些参数带入式⑶、⑷即得混凝土单轴（轴心）受压应力-应变全曲线。1.81.81.91.92.02.12.32.63.04.23.002.742.482.211.941.651.361.060.740.411.651.711.781.841.901.962.032.092.152.21203019801920185017901720164015601470137060555045403530252015混凝土单轴受压应力-应变曲线的参数值混凝土结构设计规范附录C明确指出，公式的适用条件是：C15～C80，质量密度（2200～2400）kg/m3，正常温、湿度环境和加载速度等。当结构或构件的受力状态或环境条件不符合此要求时，例如混凝土受有横向和纵向应变梯度、箍筋约束作用、重复加卸载、持续荷载或快速加载，高温作用、……等因素的影响时，应力-应变曲线方程的各参数值应适当修正。3.2混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures按上述公式计算随混凝土抗压强度而变化的各项参数值，经3.2.2compressivestress-straincurveofconcreteforultimatecapacityanalysisofbendingmember受弯构件、偏心受压构件和大偏心受拉构件，正截面混凝土将出现不均匀压应力。计算正截面极限承载力时，中国规范采用的混凝土受压应力-应变曲线方程为：上升段：下降段：取曲线方程可改写为3.2混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.2.2compressivestress-strai《规范》混凝土应力-应变曲线参数fcu≤C50C60C70C80n21.8331.6671.5e00.0020.002050.00210.00215eu0.00330.00320.00310.003上升段：下降段：Factorsofstress-straincurvesofcompressiveconcretefromChinesecode≯2.0≮0.002≯0.0033NonlinearAnalysisofConcreteStructures《规范》混凝土应力-应变曲线参数fcu≤C50C60C70CDifferenceoftwotypesofstress-straincurves：00.0020.0033

fcsee0ecu3.2混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresDifferenceoftwotypesofstr3.3.1.stress-straincurvebyHognestadChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受压应力-应变曲线othercompressivestress-straincurves3.3.1.stress-straincurvebyH3.3.2.CEB-FIPmodelcodesuggested——混凝土抗压强度平均值--为初始弹模Ec--为相应于峰值点的割线模量式中，

式中，Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受压应力-应变曲线othercompressivestress-straincurves3.3.2.CEB-FIPmodelcodesugg3.3.3SaenzfunctionandmodifyedfunctionSaenzfunctionModifyedElwiandMurrayfunction，由边界条件：：3.3其它受压应力-应变曲线方程Curveequationofothercompressivestress-strainrelationshipChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3.3Saenzfunctionandmodif3.3.4Simulationofstress-straincurvewithcubicpolynomialfunctionCoefficients

C0,C1,C2,C3

aresolvedbyboundarycondition用边界条件确定系数Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受压应力-应变曲线othercompressivestress-straincurves3.3.4Simulationofstress-str3.3.5箍筋约束混凝土受压应力-应变曲线Ductilityofconcreteiswellimprovedbyclosedstirrupsb‘’——widthofrestrainedconcrete； s——ratioofstirrupsareaandrestrainedconcreteareaSh——distancebetweentwostirrups

Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受压应力-应变曲线othercompressivestress-straincurves3.3.5箍筋约束混凝土受压应力-应变曲线DuctilitComparisonofdifferentstress-straincurves：（1）Hongnestad和我国规范建议的计算正截面极限承载力的关系，表达式简单，易于计算，适合工程计算；（2）CEB、Seanz和我国规范建议的用于非线性分析的关系，较符合试验结果，适于研究分析；（3）三次多项式模拟公式既简单，易于计算，又较精确，有广阔的应用前景。3.3其它受压应力-应变曲线othercompressivestress-straincurvesChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresComparisonofdifferentstress3.4混凝土损伤应力-应变关系damagestress-strainrelationofconcreteChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures损伤：混凝土材料内发生的不可恢复的微观或宏观减弱。用损伤因子D描述材料内部原始或受力过程中的受损程度。设：轴向力作用下，A—横截面积；AD—截面中有缺陷的面积；An=A-AD---截面中能承担应力的净面积;

D—材料损伤因子为:损伤因子未受损混凝土的弹性模量由未损伤材料的应力-应变关系：轴向力作用下的有效应力sn为：D=0(未受损)；D=1(完全破坏)轴向力作用下的平均(名义)应力为，有损混凝土整体弹性模量所以,3.4混凝土损伤应力-应变关系damagestress-Najar定义的损伤因子

混凝土受力状态NonlinearAnalysisofConcreteStructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNajar能量损伤理论认为，假设混凝土处于无损伤理想状态下，其应力—应变关系为直线OA，则混凝无损伤状态下所作的功为：基于能量的Najar损伤本构关系

而混凝土实际上是处于有损伤状态，其应力—应变曲线为OC，则在应变为时外力所作的功为Najar定义的损伤变量为：Najar定义的损伤因子混凝土受力状态NonlinearNajar定义的损伤因子

混凝土受力状态本文规范建议的混凝土单轴受压本构关系NonlinearAnalysisofConcreteStructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve基于能量的Najar损伤本构关系Najar定义的损伤因子混凝土受力状态本文规范建议的混凝单调荷载下的分段曲线混凝土受压损伤变量

混凝土受力状态规范建议的混凝土单轴受压本构关系NonlinearAnalysisofConcreteStructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve由Loland损伤本构关系模拟的有效应力如下图Loland损伤本构关系单调荷载下的分段曲线混凝土受压损伤变量混凝土受力状态规范①线弹性本构关系：虎克定律②非线性弹性本构关系：

全量型：

增量型：③弹塑性本构关系：

变形理论：简称为弹塑性小变形理论

增量理论：用增量形式描述材料处于塑性状态时的应力应变关系④损伤本构关系⑤其它本构理论：粘弹性与粘塑性本构关系、内时理论一、本构关系分类:typesofconstitutivelaws

各类本构关系的理论基础不同，表达形式多样，计算结果差别较大。尚无通用的混凝土本构模型。实际工程中应用广泛的还是源自试验、满足计算精度要求、形式简明和使用方便的非线弹性本构模型。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresNonlinearanalysisofconcretestructures①线弹性本构关系：虎克定律一、本构关系分类:types⑴用与工程结构相同的混凝土，通过棱柱体试件试验测定；⑵选定适合该结构的本构模型，其数学表达式中的参数由少量试验标定；⑶采用经过试验验证或工程经验证明可行的具体本构（数学）模型。混凝土材料施工工艺和质量控制不够精细，混凝土力学试验结果变异性和离散度较大。结构分析的本构关系应根据结构重要性、计算精度、试验条件等慎重地选择。

二、确定本构关系的三种方法：NonlinearanalysisofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve⑴用与工程结构相同的混凝土，通过棱柱体试件试验测定；

三、常用钢筋、混凝土本构关系有：

（1）混凝土的单轴受压和受拉应力-应变关系；

（2）混凝土多轴应力-应变关系；

（3）多种环境和受力条件下的混凝土应力-应变关系，包括反复加卸载，多次重复荷载（疲劳），快速（毫秒或微秒级）加载和变形，高温（＞l00oC）和低温＜0oC）状况下的加卸载，……；（4）与时间有关的混凝土受力性能，如徐变（松弛）、收缩、……；NonlinearanalysisofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve

（6）钢筋和混凝土界面的粘结应力-相对滑移（τ-s）关系，包括单调和反复荷载作用；（7）构件（截面）单调加载下的弯矩-曲率关系，在（地震）反复荷载下的弯矩-曲率恢复力模型；（8）二维和三维钢筋混凝土有限单元的各种本构关系，如分离式、组合式或整体式模型，以及钢筋和混凝土界面的联结单元模型等。

（5）钢材（筋）的应力-应变关系和反复应力作用的Bauschinger效应；

各种非线性本构关系的理论概念、数学表达式和计算参数取值等差别较大，计算结果也不相同。进行结构非线性分析时，应慎重选择混凝土本构模型，重要结构应进行理论的或试验的验证。三、常用钢筋、混凝土本构关系有：（1）混凝土的单轴受NonlinearAnalysisofConcreteStructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve3.1混凝土轴压应力-应变全曲线(Stress-straincurve

of

concreteincompression)Innonlinearanalysisofreinforcedconcretestructures,constitutivelawofmaterialisaveryimportantphysicalrelationship.testingstress-straincurveofconcretecolumnundercompressionNonlinearAnalysisofConcreteStress-straincurveofconcreteincompressionisdescribedwithnon-dimentionalcoordinatesas(将混凝土受压应力-应变全曲线用无量纲坐标表示)：Thecoordinateatpeakpoint(1,1)isplotedasleftcurve绘制峰点坐标为（1，1）的标准曲线如图Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.1混凝土受压应力-应变全曲线(Stress-straincurve

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concreteincompression)Stress-straincurveofconcre下降段曲线可无限延长，收敛于横坐标轴，但不相交Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures下降段曲线可无限延长，收敛于横坐标轴，但不相交Chapter清华大学教授过镇海建议分段式曲线方程：上升段⑴式满足条件1、2、3、7，下降段⑵式满足条件3～7。⑴⑵将条件1和3中的三个边界条件代入⑴式，可解得：式中的独立参数a1可从式⑴知，当x=0时，dy/dx=a1，从各符号的定义可得：Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures清华大学教授过镇海建议分段式曲线方程：上升段⑴式满足条件1、式中：混凝土的初始切线弹性模量（N/mm2）。棱柱体抗压强度和峰值应变的比值，即峰值割线模量N/mm2αa=a1，规范称之为曲线上升段参数。物理意义：混凝土的初始切线模量与峰值割线模量之比E0/Ep上升段曲线方程为：上升段曲线方程，满足条件7，由条件2的不等式，可得αa值的范围：⑶Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures式中：混凝土的初始切线弹性模量（N/mm2）。棱柱体抗压强度上升段理论曲线随参数αa的变化：αa＞3，曲线局部y＞1，显然违背试验结果；1.1＜αa＜1.5，曲线的初始段（x＜0.3）内有拐点，单曲度不明显，在y≤0.5～0.6范围内接近一直线；αa＜1.1，上升段曲线上拐点inflexion明显，与混凝土材性不符。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures上升段理论曲线随参数αa的变化：αa＞3，1.1＜αa＜1.⑴⑵下降段曲线方程含三个参数，将条件3的两个边界条件代入，可解得：式中b0为独立参数，规范称其为下降段参数，即αd=b0将其代入⑵式，并简化可得：⑷Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures⑴⑵下降段曲线方程含三个参数，将条件3的两个边界条件代入，上式满足条件6、7。⑷上式满足条件6、7。⑷可解得拐点inflexion位置xD（＞1.0）此外，由数学条件4满足：同理，由数学条件5满足：可解得最大曲率点pointofthemaximumcurvature的位置xE＞xDChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures可解得拐点inflexion位置xD（＞1.0）此外，由数学下降段曲线上两个特征点D、E的位置随参数αd值而变化，按式计算结果如图，与试验数据一致Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures下降段曲线上两个特征点D、E的位置随参数αd值而变化，按式se0.5fc5~10次εceεcp初始弹性模量测定方法testingmethodofelasticmodulusChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresse0.5fc5~10次εceεcp初始弹性模量测定方对参数取αa和αd赋予不等的数值，可得变化的理论曲线。对不同强度等级的结构混凝土或约束混凝土，选用合适的参数值，可得到与试验结果相符的理论曲线。过镇海等建议的参数值见上表。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures对参数取αa和αd赋予不等的数值，可得变化的理论曲线。对混凝土受压应力-应变试验曲线的数学函数曲线有：多项式、指数式、三角函数、有理分式、分段式等Compressivestress-strainrelationofconcrete混凝土受压应力-应变试验曲线的数学函数曲线有：多项式、指数式对于曲线的上升段和下降段，有的用统一方程，有的则给出分段公式。其中比较简单、实用的曲线形式如图。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures对于曲线的上升段和下降段，有的用统一方程，有的则给出分段公式3.2.1用于非线性分析的曲线方程Curveequationfornonlinearanalysis混凝土结构设计规范建议的混凝土单轴受压应力-应变全曲线方程：式中的纵、横坐标改为：式中：fc＊—混凝土的单轴（即轴心）抗压强度（N/mm2），应根据结构分析方法和极限状态验算的需要，分别取为标准值fck、设计值fc或平均值fcm；

εc—

与fc＊相应的峰值压应变。⑶⑷3.2混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数CurveequationandparameterindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.2.1用于非线性分析的曲线方程Curveequatεc按下式计算：Ascendingcurveanddescendingcurve：Fordescendingcurveofstress-strain,whenstressreducedto0.5fc＊，thecompressivestrainissolvedfromfunction(4):

在应力-应变曲线的下降段上，当应力（残余强度）减至0.5fc＊时，所对应的压应变为εu。其值可由解得：分析或验算结构构件时，混凝土的单轴压应变不宜超过值εu。⑷3.2混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresεc按下式计算：Ascendingcurveandde

按上述公式计算随混凝土抗压强度而变化的各项参数值，经整理后如表将这些参数带入式⑶、⑷即得混凝土单轴（轴心）受压应力-应变全曲线。1.81.81.91.92.02.12.32.63.04.23.002.742.482.211.941.651.361.060.740.411.651.711.781.841.901.962.032.092.152.21203019801920185017901720164015601470137060555045403530252015混凝土单轴受压应力-应变曲线的参数值混凝土结构设计规范附录C明确指出，公式的适用条件是：C15～C80，质量密度（2200～2400）kg/m3，正常温、湿度环境和加载速度等。当结构或构件的受力状态或环境条件不符合此要求时，例如混凝土受有横向和纵向应变梯度、箍筋约束作用、重复加卸载、持续荷载或快速加载，高温作用、……等因素的影响时，应力-应变曲线方程的各参数值应适当修正。3.2混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures按上述公式计算随混凝土抗压强度而变化的各项参数值，经3.2.2compressivestress-straincurveofconcreteforultimatecapacityanalysisofbendingmember受弯构件、偏心受压构件和大偏心受拉构件，正截面混凝土将出现不均匀压应力。计算正截面极限承载力时，中国规范采用的混凝土受压应力-应变曲线方程为：上升段：下降段：取曲线方程可改写为3.2混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.2.2compressivestress-strai《规范》混凝土应力-应变曲线参数fcu≤C50C60C70C80n21.8331.6671.5e00.0020.002050.00210.00215eu0.00330.00320.00310.003上升段：下降段：Factorsofstress-straincurvesofcompressiveconcretefromChinesecode≯2.0≮0.002≯0.0033NonlinearAnalysisofConcreteStructures《规范》混凝土应力-应变曲线参数fcu≤C50C60C70CDifferenceoftwotypesofstress-straincurves：00.0020.0033

fcsee0ecu3.2混凝土结构设计规范中的曲线方程和参数值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresDifferenceoftwotypesofstr3.3.1.stress-straincurvebyHognestadChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受压应力-应变曲线othercompressivestress-straincurves3.3.1.stress-straincurvebyH3.3.2.CEB-FIPmodelcodesuggested——混凝土抗压强度平均值--为初始弹模Ec--为相应于峰值点的割线模量式中，

式中，Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受压应力-应变曲线othercompressivestress-straincurves3.3.2.CEB-FIPmodelcodesugg3.3.3SaenzfunctionandmodifyedfunctionSaenzfunctionModifyedElwiandMurrayfunction，由边界条件：：3.3其它受压应力-应变曲线方程Curveequationofothercompressivestress-strainrelationshipChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3.3Saenzfunctionandmodif3.3.4Simulationofstress-straincurvewithcubicpolynomialfunctionCoefficients

C0,C1,C2,C3

aresolvedbyboundarycondition用边界条件确定系数Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitu