高三数学直线与圆锥曲线复习

1、哈佛北大精英创立 精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：SH434490746 年 级：高三 课 时 数：3学员姓名：王港 辅导科目：数学 学科教师：白婷授课类型C直线与圆锥曲线同步C直线与圆锥曲线的综合应用T圆锥曲线综合提高授课日期及时段2015.9.26 12:50-14:50教学内容圆锥曲线综合问题一知识点梳理1直线与圆锥曲线的位置关系方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系方程解的个数为交点个数（1）首先注意讨论直线方程的斜率是否存在，不存在时验证一下（2）直线斜率存在时，点斜式方程写出直线方程，与圆锥曲线联立，先讨论二次项系数能不能为0（3）若为

2、0时，验证一下是否有解，若有解，这时一个交点，则相交（若是双曲线，这时的直线与一条渐近线平行，若是抛物线，这时的直线与对称轴平行）；无解的话就是没有交点若二次项系数不为0时，yxFF123453yxFF1234533 = 2 * GB3 相切：直线与双曲线相切； = 3 * GB3 相离：直线与双曲线相离方法二是几何的观点（以双曲线为例）直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计

3、2条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线【小结】过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.2 弦长与面积问题（1）弦长 若直线与二次曲线的交点为A()和B ()方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点两点间距离 方法二：利用弦长公式：= =（2）面积 = 1 * GB3 普通三角形：； = 2 * GB3 焦点三角形：椭圆： ，双曲线：3距离问题（1）点与圆锥曲线的距离：一般通过两点间距离公式，转化为二次函数问题来解决，注意变量范围特殊的，当该点为焦点时，椭圆这侧的长轴顶点到该点的距离最小，双曲线这侧的实轴顶点到该点的距离最小抛物线一般转化为到准

4、线的距离解决（2）到定直线的距离：一般是通过作定直线的平行线与圆锥曲线相切来解决 另外，通过参数方程也可以解决（3）到圆上点的距离：一般转化为到圆心的距离加减半径4弦中点问题（1）解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解（2）点差法：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”【注意】利用点差法解题一般需要验算直线与圆锥曲线是否相交.二例题精讲【例1】（1）过点与双曲

5、线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。（2）直线与双曲线相交于两点，当为何值时，在双曲线的同一支上？当为何值时，分别在双曲线的两支上？【例2】（1）已知点在椭圆上，求到直线的最短距离.（2）在双曲线上求一点，使它到直线的距离最短，并求此最短距离【例3】(1)已知椭圆：，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，求弦的长. (2) 已知椭圆及直线若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程【例4】(1)直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.(2)过点能否作直线，使它与双曲线交于两点，且点恰是线段的中点？如果存在，求此直线的方程；如果不存

6、在，请说明理由；【例5】(1)已知椭圆，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程. (2)由点向抛物线引弦，求弦的中点的轨迹方程 【例6】求实数m的取值范围，使抛物线y2=x上存在两点关于直线y=m(x-3)对称【例7】已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点），过点作一直线交椭圆于、两点.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值；【例8】设、分别是椭圆的左、右焦点，过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.【例9】以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，（1）求椭圆及其“准圆”的方

7、程；（2）若椭圆的“准圆”的一条弦与椭圆交于、两点，试证明：当时，弦的长为定值；【例10】如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于 两点，的周长为8，且面积最大时，为正三角形（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点试探究： 以为直径的圆与轴的位置关系？yxABOF1F2 在坐标平面内是否存在定点，使得以yxABOF1F2【例11】已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求的面积；（3）是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；若不存在，说明理由

8、三反馈练习1.椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为_2.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是 .3.过点和抛物线: 只有一个公共点的直线有_条.4.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值等于 5.若对任意kR，直线与双曲线总有公共点，则b范围 6.过点P(3,4)与双曲线只有一个交点的直线的条数为 （ ）A4 B. 3 C7.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，则的长是（ ）. . 4 . 8 . 28.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且在直线上的射影分别为，则等于（ ） . . . 以上都不对9.已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、都是正数，过点和的直线与原点的

9、距离为（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于另一点，求长度的最大值；（3）已知定点，直线与椭圆交于、相异两点证明：对任意的，都存在实数，使得以线段为直径的圆过点10.已知直线与双曲线交于、点.（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由.11.已知：曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等（1）求曲线的方程；（2）过点作直线交曲线于、两点，若长为，求的方程；（3）设为坐标原点，如果直线交曲线于、两点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 12.若抛物线上总存在关

10、于直线对称的两点，求的范围 13.对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；（2）若双曲线的方程为，过点且与的伴随曲线相切的直线 交曲线于、两点，求的面积（为坐标原点）；（3）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程.14.已知双曲线方程为与点,(1)求过点的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点；(2)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；(3)是否存在直线，使为被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.15

11、.已知点，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为（1）求双曲线的方程；（2）过圆上任意一点做切线交双曲线于，两个不同的点，中点为，求证：；（3）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是，求的值16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上一动点，求直线的中点的轨迹方程；（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，且，探究：直线是否过定点，并说明理由17.给定椭圆：，称圆心在原点、半径是的圆为椭圆 的“准圆”已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为（1）求椭圆和其“准圆”的方程； （2）过椭圆的“准