2018第一轮复习 放缩法技巧全总结

1、不得用于商业用途不得用于商业用途不得用于商业用途不得用于商业用途仅供个人参考Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse放缩法在数列不等式中的应用数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。直接放缩，消项求解例1在数列a,b中，a=2,b=4,且a,b,a成等差数

2、列，b,a,b成等比数列nn11nnn+1nn+1n+1ngN*,(I)求a,a,a及b,b,b,由此猜测a,b的通项公式，并证明你的结论；15+a+b12nn215+2(n+1)nI)a+b612nn11故1+a+b故1+a+ba+b1122+111V+6212x33x4a+bnn+n(n+1)丿11r1=+11r1=+6212综上，原不等式成立V+=-,6412点评：数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。1n(n-1n(n-1)1-1n-1n如：-(k=1,2,n),-V-1-2nn+kn+1nn+1n(n+1)n2例2设数

3、列a满足a=1,a=ca3+1-c,cgN*其中c为实数n1n+1n(I)证明：ag0,1对任意ngN*成立的充分必要条件是cg0,1；n(II)设0c1-(3c)n-i,neN*；3n分析：(I)数学归纳法证明(II)结论可变形为1-a(3c)n-i，即不等式右边为一等比数n列通项形式，化归思路为对i-a用放缩法构造等比型递推数列，n即1a=c(1a)(1+a+a2)3c(1a)nn-in-in-in-i解：(I)解略。(II)设0c2时，310c03n-1n-1n-1n-1点评：直接对多项式放大后，得到的是等比型递推数列，再逐项递推得到结论。通过放缩得到等比型递推数列是求解数列不等式的另一

4、个重要的类型。利用基本不等式放缩例3已知数列L,a0,a=0,a2+a一1=a2(neN)，记S=a+aHFa,TOC o 1-5 h znn1n+1n+1nn12n111+.+1+a(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)11212n求证：当neN时，(I)an-2；(IU)T0的条件下，aa的等价形式为a2a2，要证a20,即证a1，可用数学归纳法证明n+1nn+1n由a2a2=1a累加及a1可得n+1nn+1n和式通项的分母由1+a累乘得到的，条件中可有a(1+a)=1+a2得到，但nk+1k+1k(1+a)=土二的分子分母次数不同，可用基本不等式将其化为等比型递推数列k+1a

5、k+1解略。解略。证明：由a2+a得k+1k+1kk所以1W(a三3),(1+a)(1+a)(1+a)2n-2a34n2于是1Wa=丄三3),(1+a)(1+a)(1+a)2n-2(a2+a)2n-22n-223n22故当n23时，T1+1+1+丄3，又因为TTT，所以T3n22n-2123n点评：本题第三问，基本不等式的应用使构造等比型递推数列成为可能，在公比q0，工a1,k=1,2,nkk+1k+2ii=12求证：0a一a一（k=1,2,.）.kk+1k2分析：有时数列不等式的证明可以在数列单调性的前提下进行放缩。证明：若有某个aa，则aa-a+aa，从而从a起，数列a单调递增，TOC o

6、 1-5 h zkk+1k+1kk+1k+2k+2kn和S=a+a+a会随n的增大而趋向于无穷，与工a0，令b=a-a,k=1,2,kk+1nkk+1由a-2a+a0得a-aa-a，即bb,k=1,2,由于1a+a+akk+1k+2kk+1k+1k+2kk+112k2k(k+1)点评：本题考虑了数列a，b的单调性，然后利用放缩法进行证明。nn/a/a0,(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)n-1，2Tn1+a1Tn1+a1+(1+a)2(1+a)n-12nl-(_)n1+a21-1+a21，要证T3,1-丄n1+a2只要证1-1+a22而a2=畔2所以问题得证放缩法在数学归纳法的应用数列不

7、等式是与自然数有关的命题，数学归纳法是证明与自然数有关的命题的重要方法。应用数学归纳法证明时，通常要利用放缩法对条件进行适当的转化，才能实现由n=k时成立到n=k+1时也成立的过渡。举例略。综合以上分析，我们发现，在数列不等式的求解过程中，通过放缩法的应用，主要使数列不等式转化为以下两种类型：（1）可直接裂项的形式，再求和证明求解。（等差型）不得用于商业用途不得用于商业用途仅供个人参考（2）等比型递推数列，q1时，数列前n项和有界。（等比型）数列不等式是一类综合性较强的问题，我们可以利用上述思路对数列不等式进行分析、求解。在解题过程中要充分挖掘题设条件信息，把条件合理的转化、加强、放缩，同时结合问题的结构、形式等特征，使条件与结论建立联系，从而使解题思路通畅。其中合理、适当的放缩是能否顺利解题的关键。仅供个人参考仅供个人参考不得用于商业用途不得用于商业用途仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfurdenpersdnlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourletudeetlarechercheuniquementadesfinspersonnelles;pasa