考研数学二公式高数线代技巧归纳

1、对 应- 3 对 应- 3 一、常用等无穷小 当 0 时x x x x 1 a高等数学公 -1 ) x(为任意实数，不一定是整数)1xx2增加x xx3对应x x3x 1 x 3 x31 / 21x 2 xx 2 x二、利用泰公式= 1 +x+（ x 2 ） ！xsin x （ x3!）x1 x 2！o x ） x ）= x x 2o（ 2 ）2 / 21a a ( x( ctgx (sec x) ( a x ) ln (arcsin x) 2 x) ( ) 22(log x) ln a( ) 2tgxdx x sin x sec xdx ln sec x tgx sin xdx xdx xd

2、x ln x ctgx dx arctg a 2 a adx 1 ln 2 2 a sec x x x x x ln shxdx chx a2dx21 a ln 2 a shx adx arcsin 2 x 2 x22) I n 2 0 n In x2 2x dx 2 2 x 222) x a 2x dx 2 2 ln x x 22x a a arcsin 2 导数公式：基本积分表三角函数有式积分：3 / 21 1 x 2du x ，x ，u ， 1 2 1 2一些初等函：两个重要极：双曲正 : shx e 2 xlim 0 双曲余 : chx ex2lim(1 ) x 2.718281828

3、459045. e 双曲正 : x x x x 2 1 ln2 1 三角函数公：诱导公式函数角 A-90- 90+ 180-180+270-270+360-360+4 / 21sin( cos( sin sintg (1 tg1ctg (ctg sin 2sin 2 sin cos sin 2 2 和差角公： 和差积公式：倍角公式cossin 2cos 2 2 sin 3sin4sin 2ctg 22 半角公式cos33 3costg 1 tg sin 2 sin ctg 1 1 cos 弦 理 ：a b c R sin B C 余 理 c222 ab cos C反三角函性质：arcsin x

4、 2 xarctgx 2arcctgx高阶导数公莱布尼（）公式：5 / 21b b b b b b (uv )( n )n C u n ) ( k ) n ( n ) nu( vn(n n( n u ( n v k!u ( ) ( ) ( n )中值定理及数应用：拉格日中定理 (b f ( a) f)f (b) f ( a f 柯西值定： F ) ( a) F 当F( 时，西中定理是拉格朗日中定理 曲率：弧微分公式：ds 1 2dx 其中y平均曲率 从M到M 斜率的倾角变化量； M点的曲率：K ds直线：K 0;半径为a圆： 定积分近似算：y y .矩形法 a梯形法 a ( )0 ( y )

5、0 n 抛物线法 a 3( y y ) ) y ) 0 定积分应用关公式：6 / 21b b y F b b y F 功：W F 水压力： m引力： 2 为引力系数r 2函数的平均值 1b af ( x)dx1均方根： f t ) b a多元函数微法及应用全微分： dx du 全微分的近似计算： ( x, ) f ( y x y多元复合函数的求导法：dz z f (t ), v( ) dt z f x, ), ( x, y ) 当 ( x, ，v ( x )时，du dx dy 隐函数的求导公式：dy F F F 隐函数F ( , y) ， ， ( x ( x ) dx F F F y F F

6、隐函数F ( , y, ， x ， F Fz ( y, , v) , G 隐函数方程组 G ( x, , , v) v) 1 , G F , ) ) J , ) 1 , G F , ) y ) ) u GuFvv微分法在几上应用：7 / 21 D 方向导数及度：多元函数极及其求法：设f ( , ) ( y ) ，令： ( x y ) A f ( x y ) , f ( x y ) y 0 0 0 0 xy 0,( y )为极大值 2 时 0 0A , 为小 则 时无值 2 不定重积分及其用：f ( y ) f ( r cosr sinrdrdD D 曲面 f ( , y的面积 DM平面片的心：

7、x M2 21 D MyM D D平面片的动惯： 对x轴I 对于y轴I x yD D平面片（于xoy平面）对轴上质M ),( 的引： F F ，其中：x zF fxDx, ) xd( x )32，F f yDx, ) yd( x )32， zDx ) xd( x 2 )328 / 21P ( x ) P ( x ) 微分方程相概念：一微方： ( x, ) 或 ( x, ) dx ( y ) dy 可离量微方程：一阶分程以化 ( y ) f ( x) 的式解： ( ) f ( )dx： ( ) F ( x ) 称为隐式通。 y齐方：阶分方程可以成 f , y) , )，即成 的数解： xy dy

8、 dx y设u ，则 ， ) 分变，分将 代替u，x dx x即齐方通。一阶线性微方程：dy、阶线性微分方程： ( ) y ( xdx当 ( x , 为齐次方程， 当 ( x 时，为非齐次方程，y Q ( x) e dx eP ( ) dxdy、努力方程： ( ) y ( x y n dx全微分方程如果 ( x, y) dx ( x ) 中左端是某函数的全微分方程，即： du ( x ) ( y )dx ( x, ) dy ，中： ( , y ， ( x y) ( , y ) 该是全微方程解。二阶微分方：d 2 P x) ( ) y f ( x)， f ( x) 时 f ( x) 二阶常系数次

9、线性微分程及其解法 (*) , pr ，其中r，r的系数及常数项恰好(*)式中y2、( 根r r 3、据 r 的不同情况，按下表写 (*)式的通解： 29 / 21n !n n a A D n D D D D D D Dn !n n a A D n D D D D D D Dr ， 的形式 1 (*)式解两个相等根 2 y e1r e2r x两个等实 2 q 0)y c ) 1 r 一对轭复 2 q 0)y ( c cos1 2r 1 2p 4 ，2 2二阶常系数齐次线性微方程 f ( x，p, q为常f ( ) ( x)型，数；f ( ) P x l ( xn型1 式1. 行列式共有 个元素

10、，展开后有 项可分解为 行列式； 2. 代数余子式性质：、和ij ij大小无关；、某行（列）元素乘以其它行（列）元素代数余子式为 、某行（列）元素乘以该行（列）元素代数余子式为 ；3.代数余子式和余子式关系：M i j i j M4. 设 行列式 ：将 上下翻转或左右翻转所得行列式为D则 n D D；将 顺时针或逆时针旋转得行列式为DD ( D；将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 将 主副角线翻转后，所得行列式为，则 D，则；D ；5. 行列式重要公式：10 / 21n n n Ax 及 n n n Ax 及 、主对角行列式：主对角元素乘积；、副对角行列式：副对角元素乘积n ( ；、上、

11、下三角行列式（ ）：主对角元素乘积；、和：副对角元素乘积n ( n ；、拉普拉斯展开式：、 C n B、范德蒙行列式：大指标减小指标连乘积； 、特征值；6.对于 阶行列式A恒有： A ( k k其中为 阶k 主子式；7. 证明 方法：、 A；、反证法；、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；、利用秩，证明r ) n；1.、证明 0 是其特征值；2 阵是 阶可逆矩阵： （是非奇异矩阵）； r ( A) n（是满秩矩阵） A行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有非零解； ， 总有唯一解； A E等价； A可表示成若干个初等矩阵乘积； A特征值全不为0； A是正定矩阵；11 / 21R R AAn BA

12、 O R R AAn BA O C m AA A B r ( ) ( ) A行（列）向量组是 n 一组基； 是 n 中某两组基过渡矩阵；2. 对于 阶矩阵 ： *A* E无条件恒成立；3.( )* A)( ) )( A) )*( )T T AT( )* * A*( ) B 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可 求代数和；5. 关于分块矩阵重要结论，其中均 、 可逆：若，则：、 A A 、 sA；A、；（主对角分块） 、；（副对角分块）、 C AOCB ；（拉普拉斯）、 O A CAO ；（拉普拉斯）3 组1. 一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是 唯一确定

13、等价类：所有及 等价矩阵组成一个集合，称为一个等价类； 标准形为其形状最简单矩阵；对于同型矩阵 、 ，若；2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；12 / 21 E B c n A 1 E B c n A 1 k 1 1 1 1 ， 则 、每行首个非 0 元素必须为 1、每行首个非 0 元素所在列其他元素必须为 03. 初等行变换应用等列变换类似，或转置后采用初等行变 换）、 若( A , )r( E , X )，则 可逆，且 A；、对矩阵( A B )做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即：( A ) ( E , AB)；、求解线形方程组：对于n个未知数 个方程 ，如果r( A b

14、 ( E x)，则 可逆，且 ；4. 初等矩阵和对角矩阵概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为 初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、，左乘矩阵 ，i乘 各行元素；右乘，i乘 各列元素；、对调两行或两列，符号E ( i , j ，且 ( i , j ( i , j ，例如：；、倍乘某行或某列，符号 ( i k ，且 ( i ( k )1 i ( )k，例如： 11k1( ；、倍加某行或某列，符号E ij k ), 且 ( ij ( ) ( ( ，如： k ( ；5. 矩阵秩基本性质：、0 ( m ) , n；、r ( AT) ( A)；、若AB r ( ) r ( )；、若 、 可

15、逆，则r ( ) ( ) ( AQ ) PAQ 13 / 21（可逆阵不影AB n A B n AB n A B n n * 响矩阵秩、r A), r ( B ) A ) r ( ) ( B )；（）、r ) r ( A) )；（）、r AB ) r ( A), r )；（）、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，则：（）、 列 向量全部是齐次方程组 论）；、r ( A) ( B ) AX 解（转置运算后结、若 、 均为 阶方阵，则 6. 三种特殊矩阵方幂：r ( AB ) ( A ( ) ；秩为 1 矩阵一定可以分解为矩阵向量） 行阵向 量）形式，再采用结合律；、型如矩阵：利用二项展开式；二项展

16、开式：( )n a nn a n m a nn bm b n n b n n Cmna m ；m 注：、( )n展开后有 项；、n ( n n !1 2 m !(n )!C、组合性质 ： C Cr2rCrr ；r 、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：、伴随矩阵秩： r ( ) r ( A n r ( ) r ( A n ；、伴随矩阵特征值：A( AX A * AX )；、* 、* 14 / 21n r ) n nr ) n nr ) n n n r ) n nr ) n nr ) n n m mm nn m n n n A m bm mn n ) n nn 8. 关于 矩阵秩描述：、句

17、话）、， 中有 阶子式不为 0 阶子式全部为 0（两， 中有 阶子式全部为 0， 中有 阶子式不为 09. 线性方程组： ，其中 为 矩阵，则：、 及方程个数相同，即方程组 有 个方程； 、 及方程组得未知数个数相同，方程组 为 元方程；10.线性方程组 求解：、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由 个未知数 个方程方程组构成 元线性方程： x x x n x m nm ；、 n x b Ax （向量方程， 为 矩阵，mm mn m个方程， 个未知数）、n （全部按列分块，其中）；、 a （线性表出）、有解充要条件

18、：r ( ) ( ,（ 为未知数个数或维数）4 性1.m个 组A： , , , 成 阵15 / 21 Tm m n Tm m n r n n A B B A r r , , , )；个 维行向量所组成向量组 ： T Tm构成 矩阵；含有有限个向量有序向量组及矩阵一一对应；2. 、向量组线性相关、无关 性方程组） 有、无非零解齐次线、向量线性表出 是否有解性方程组）、向量组相互线性表示 AX 是否有解阵方程）3. 矩阵及m l 行向量组等价充分必要条件是：齐次方程组和 同解；(P101例 14)4.r AA) )；(P101例 15)5. 维向量线性相关几何意义：、 线性相关 ；、 线性相关 坐

19、标成比例或共线（平行）；、 线性相关 , 共面；6. 线性相关及无关两套定理：若 , , ,线性相关，则 , , 必线性相关；若 , , ,线性无关，则 , , 必线性无关；（向量个数加加减减，二者为对偶）若 维向量组 每个向量上添上 个分量成 维向量组 ： 若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（向量组维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且A线性无关，则 (二版P74定理 16 / 21 r ( ) r B ) r ( , B r ( ) r B ) r ( , B ) ， 使 B BP

20、 及 B （ 、 可逆 B BT A 向量组 能由向量组 线性表示，则r ( A) ( B P86定理 3向量组 能由向量组 线性表示 AX 有解； ) r ( A )（P85定理 向量组 能由向量组 等价（P85定理 2 论）8.方阵 可逆存在有限个初等矩阵P , , A P P l ；、矩阵行等价： r 同解（左乘， 可逆） 、矩阵列等价： （右乘， 可逆、矩阵等价：A B P 9.对于矩阵及m l ：、若 及 行等价，则 及 行秩相等；、若 及 行等价，则 及 同解，且 及 任何对应 列向量组具有相同线性相关性；、矩阵初等变换不改变矩阵秩；、矩阵 行秩等于列秩；10.若m m ，则：、

21、列向量组能由 列向量组线性表示， 为系数矩阵；、 行向量组能由 行向量组线性表示， 为系数矩阵 置）11.齐次方程组 解一定是 解， 考中可以直接为定理使用，无需证明；17 / 21 B K 及K r Q AQ E B K 及K r Q AQ EPA E m A rn 解 集* 、 只有零解 只有零解；、 有非零解 一定存在非零解；12.设向量组: b , b r可由向量组: a , , a 线性表示为：（ 题 19 结论110( b , ) , ) s（ ）其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 r K ) r K列向量组具相同线性相性 ）（必要性：r r B ) r ( ) r ( ), r ( K ) r , r ( K ) r充分性反证法）注：当 时， 为方阵，可当作定理使用；13. 、对矩阵性无关 ）P87，存在 ，m n m r ) 、 列向量线、对矩阵，存在 ，m n r ) 、 行向量性无关；14. , ,线性相关存在一组不全为 0