中央电大《经济数学基础》课件

1、导数的计算经济数学根底1.4.1 函数连续性的概念相应的函数的改变量增量:函数的终值 与初值 之差 称为自变量的改变量，记为1.改变量增量：函数的连续性0当自变量由初值 变化到终值 时，终值与初值之差 称为自变量的改变量，记为 定义1： 设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量在点 处有增量 时，相应的函数有增量 ,如果当自变量的增量 趋于零时，函数的增量 也趋于零，即那么称函数 在点 处连续，点 称为函数的连续点2.连续假设记 ，那么 ，且当 时，故定义1又可表达为注：定义2：设函数y = f (x)在点 的某邻域内有定义，假设有 ,那么称函数y = f (x) 在点 处连续. 1定义1与定

2、义2是等价的, 即由左右极限定义可定义左右连续定义2由定义2可知假设函数 在点 处连续，那么函数 在点 处的极限一定存在，反之不一定连续3当函数 在点 处连续时，求 时，只需求出 即可定义3：假设函数 满足 ，那么称函 数 在点处左连续。 同理可以定义右连续3、左右连续4、区间连续定义4：假设函数 在a , b内每一点都连续 ，那么称函数 在a , b内连续。由定理3可知：函数 在点 处连续既左连续又右连续即证明 y = sin x在 内连续例1证 对任意有因为所以故 在 内连续定义5 假设函数y = f(x)在a , b内每一点都连续，且在左端点a 处右连续，在右端点b处左连续，那么称函数y

3、 = f (x)在a , b上连续。1.4.2 函数的间断点及其分类那么一定满足以下条件如果f(x)在点不能满足以上任何一个条件，那么点 是函数 的间断点。1.可去间断点：如果函数在点 的极限存在，但不等于 ，即那么称 为 的可去间断点。例2解所以x =1为可去间断点重新定义新的函数：那么x=1成为函数的连续点2.跳跃间断点：例3所以 x =1为跳跃间断点左右极限存在不相等 当 时，函数值不断地在两点之间跳动，左右极限均不存在3.无穷间断点 f(x)在点 的左、右极限至少有一个是无穷大，则称 为f(x)的无穷间断点 例4 x=0为无穷间断点4.振荡间断点例5x=0是其振荡间断点间断点的类型：第

4、一类间断点: 我们把左右极限都存在的间断点称为第一 类间断点.第二类间断点: 除第一类以外的间断点,即左右极限至少有 一个不存在的间断点称为第二类间断点.例6解函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点所以x = -1是函数的无穷间断点所以x= 0是函数的跳跃间断点()()所以x= 1是函数的可去间断点解分界点为 x =1,x =2i当 x=1时 所以 x= 1 是函数的跳跃间断点()例7 ii讨论 x=2 而f(2)=5 所以x= 2是函数的连续的点因此,分段函数的分界点是可能间断点 设函数y = f(u)在点 处连

5、续,u= f (x)在点 处连续,且 ,那么复合函数 在点 处连续. 1.4.3 初等函数的连续性 定理1 单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续函数。设f(x),g(x)均在点 处连续,那么 也在处连续因此,根本初等函数在其定义域内连续. 定理2定理3即：因此,一切初等函数在其定义区间内连续.2.1.1 引出导数概念的实例例1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如下图,在曲线上任取两点 和 ，作割线 ，割线的斜率为2.1 导数的概念这里 为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角，当 时，点N沿曲线趋于点M。假设上式的极限存在，记为k，那么此极限值k就是所求切线MT的斜率，即当 趋向于0时

6、，如果极限设某产品的总本钱C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产量Q 从 变到 时，总本钱相应地改变量为 当产量从 变到 时，总本钱的平均变化率存在，那么称此极限是产量为 时总本钱的变化率。例2 产品总本钱的变化率定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义， 属于该邻域，记 假设存在，那么称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为或2.1.2 导数的概念三、导数的几何意义 当自变量 从变化到 时，曲线y=f(x)上的点由 变到此时 为割线两端点M0，M的横坐标之差，而 那么为M0，M 的纵坐标之差，所以 即为过M0，M两点的割线的斜率.M0M 曲线y = f (x)在点M0处的

7、切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：所以，导数 的几何意义是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率.M0M 设函数y=f(x)在点处可导，那么曲线y=f(x)在点处的切线方程为： 而当 时,曲线 在 的切线方程为(即法线平行y轴).当 时,曲线 在 的法线方程为而当 时,曲线 在 的法线方程为例3 求函数 的导数解: (1)求增量: (2)算比值: (3)取极限: 同理可得:特别地, . 例4 求曲线 在点 处的切线与法线方程.解:因为 ,由导数几何意义,曲线 在点 的切线与法线的斜率分别

8、为: 于是所求的切线方程为:即法线方程为:即 设函数u(x)与v(x) 在点x处均可导，则:定理一2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法那么2.2 导数的运算特别地,如果可得公式注：法那么12均可推广到有限多个可导函数的情形例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，那么解： 例2 设解：例1解：即 类似可得例3 求y = tanx 的导数解：即类似可得例4 求 y = secx 的导数根本导数公式表2.2.2 根本初等函数的导数例5例7解：解：例6解一例11两边对x求导，由链导法有 解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的

9、求导注：解二即或记作或二阶导数：如果函数f(x)的导函数仍是x的可导函数，就称的导数为f(x)的二阶导数，n阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数的计算：运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导2.2.6 高阶导数22)(dxxfd解：特别地例15解：即同理例14解如图，正方形金属片的面积 A 与边长 x 的函数关系为A = x2 , 受热后当边长由x0伸长到x0+ 时, 面积A相应的增量为2.3.1 微分的概念例1 设有一个边长为x0的正方形金属片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增加了多少？2.3 微分的线性函数从上式可以看出，这表明这部分就是面积的增量的主要部分（线性主部）所

10、以上式可写成 可以表示为定义设函数在点的某邻域内有定义，处的增量在点如果函数于是,（2.3.1)式可写成处的微分，可微，称为在点处在点高阶的无穷小，则称函数时其中A是与无关的常数，是当比记为由微分定义，函数f (x)在点x0处可微与可导等价，且,因而在点 x0处的微分可写成于是函数通常把记为，称自变量的微分，上式两端同除以自变量的微分，得因此导数也称为微商可微函数：如果函数在区间(a , b)内每一点都可微， 那么称该函数在(a , b)内可微。f (x)在点x0 处的微分又可写成dxf(x) 在(a,b)内任一点x处的微分记为解：例2 求函数 y=x2 在 x=1,时的改变量和微分。于是 面

11、积的微分为 解：面积的增量面积的增量与微分当半径增大例3半径为r的圆的面积时，求在点处，2.3.2 微分的几何意义当自变量x有增量时，切线MT 的纵坐标相应地有增量因此，微分几何上表示当x有增量时，曲线 在对应点处的切线的纵坐标的增量 用近似代替就是用QP近似代替QN，并且设函数y = f (x)的图形如下图所示.过曲线y = f (x)上一点M(x,y)处作切线MT,设MT的倾角为2.3.3 微分的运算法那么1. 微分的根本公式：续前表解： 解：对方程两边求导，得的导数与微分例5 求由方程所确定的隐函数即导数为 微分为 例4 2.3.4 微分在近似计算中的应用或写成（1）上式中令2，则特别地,当x0=0，很小时,有3公式(1) (2) (3)可用来求函数f(x)的近似值。，且很小时，我们有近似公式在 x0 点的导数由