(江苏专用)2015届高考数学考前三个月必考题型过关练第23练关于平面向量数量积运算的三类经

1、1tan12x x2 1 x2 1APB，这两个变 PA PB； 还可以建211 tan2word第 23 练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型一 平面向量数量积的基本运算例 1 已知圆 O的半径为 1， PA， PB为该圆的两条切线，为_ A， B 为切点，那么 PA PB的最小值破题切入点 对于四边形 OAPB中变化的量，可以是切线的长度、也可以是化的量都可以独立地控制四边形 OAP.B因此可以用这两个量中的一个来表示立平面直角坐标系，使问题数量化答案 3 2 2解析 方法一 设| A| | B| x， APB ，则 tan 2 x，2 从而 cos 2 x2 1 .2 x2 11

2、tan | A| | B| cos 2 x2 1 x4 x2x2 1 2 3 x2 1 2 x2 1x2 1x2 132 23，当且仅当 x2 1 2，即 x 2 1 时取等号，故 的最小值为 2 2 3.方法二 设 APB则| A| | B| tan， 0 ，.2 PA PB|( 2A| B|cos ) 2cos - 1 - / 111 22 212 2 22 2 2 2wordcos 2 2 2 sin 2 (1 2sin 2 )1 sin 1 2sin .sin 2 2令 x sin 2 2， 0 x1， 1 x 12x则PA PB x2x x 32 2 3，当且仅当 2x x，即 x

3、2 时取等号 故PA PB的最小值为 2 2 3.方法三 以 O为坐标原点，建立平面直角坐标系 xOy，则圆 O的方程为 x2y2 1，设 A( x 1， y1)， B( x 1， y 1)， P( x0,0)，则 ( x 1x0， y1) (x1x0， y 1)x1 2x1x0 x0y 1 .由 OAPA? A ( x 1， y 1) (x 1x0， y 1) 0? x x 1x0y 0，又 x 1y1 1，所以 x 1x0 1. x 2x 1x0 xy从而 PAx1 2x0 (1 x1)2 2 22 22x 1 x0 32 2 3.故A B的最小值为 2 2 3.题型二 利用平面向量数量积

4、求两向量夹角例 2 若两个非零向量 a，b 满足 | ab| | a b| 2| a|，则向量 b 与 a b 的夹角为 _ 破题切入点 先把向量模之间的关系平方之后转化为向量数量积之间的关系，然后分别求出所求向量的数量积与模，代入公式求解即可；也可利用向量的几何意义转化为三角形中的问题求解答案6- 2 - / 112| B| 3| C|word解析 方法一 由已知，得 | ab| | a b| ，将等式两边分别平方，整理可得 a b0. 由已知，得 | ab| 2| a| ，将等式两边分别平方，可得 a2 b2 2a b4a2 . 将代入，得 b2 3a2，即 | b| 3| a|.而 b

5、(ab) a b b2 b2，故 cos b， a b b23| a| 2| a|3a 33| a| 2| a| 2 .又 b， a b 0 ， ，所以 b， a b .方法二 如图，作 OAa， Bb，以 OA， OB为邻边作平行四边形 OAC，B则OCab， a b.由 | ab| | a b| 2| a|，可得 | C| | A| 2| A|，所以平行四边形 OACB是矩形， BCOAa.从而 | C| 2| C|.在 RtBOC中， | B| | C|2 | C| 2 3| C|，故 cos BOC 2 ，所以 BOC 6 .- 3 - / 112BOCword从而 b， a b 6

6、.题型三 利用数量积求向量的模例 3 已知直角梯形 ABCD中， ADBC， ADC90， AD2， BC 1， P 是腰 DC上的动点， 则| 3B| 的最小值为 _破题切入点 建立平面直角坐标系，利用点坐标表示出各向量，或用向量的关系一一代换得出最简式，从而求出最小值答案 5解析 方法一 以 D为原点，分别以 DA、 DC所在直线为 x、 y 轴建立如图所示的平面直角坐 标系，设 DCa， DPx . D(0,0) ， A(2,0) ， C(0， a)， B(1， a)， P(0， x)， (2 ， x)， (1， a x)，3(5,3 a 4x)，| A3B| 225(3a 4x) 2

7、25，|3B| 的最小值为 5.方法二 设xC(0 x1)， (1 x) C， PADADP DAxDC， B(1 x) C A，35 (3 4x) C，| 3B| A22(3 4x) C(3 4x) 2 C225 (3 4x) 2C225，|A3B| 的最小值为 5.总结提高 (1) 平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据模和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择，注意两向量 a， b 的数量积的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”(2) 求向量的夹角时要注意：向量的数量积不满足结合律，数量积大于向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于a

8、b 与代数中 a， b0 说明不共线的两0 且两向量不能共- 4 - / 11所以 ，a b 52word线时两向量的夹角为钝角1 (2014 课标全国改编 ) 设向量 a，b 满足 | ab| 10，| a b| 6，则 a b_.答案 1解析 | ab| 2 ( ab) 2 a22a b b2 10，| a b| 2 ( a b) 2 a2 2a b b2 6，将上面两式左右两边分别相减，得 4a b4，a b1.2 (2014 某某改编 ) 平面向量 a(1,2) ， b (4,2) ， c mab( mR) ，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m_.答案 2解析 因为

9、 a (1,2) ， b(4,2) ，所以 c mab ( m,2m) (4,2) ( m4,2 m2)根据题意可得 | c| a| | c| b|，c a c b5m8 8m205 20解得 m2.3 (2013 某某 ) 设 e1， e2 为单位向量，且 e1， e2 的夹角为 3 ，若 a e1 3e2， b 2e1 ，则向量a 在 b 方向上的投影为 _5答案解析 a 在 b 方向上的投影为 | a|cos a， b a b( e1 3e2) 2 e1 2e 6e1 e2 5.| b| |2 e1| 2. | b| 2.4. 如图，在等腰直角 ABO中， OAOB1， C 为 AB上靠

10、近点 A 的四等分点，过 C 作 AB的垂线 l， P为垂线上任一点，设 OAa， Bb， Pp，则 p (b a) _.- 5 - / 1121111 112723 14 42word1答案 解析 以 OA， OB所在直线分别作为 x 轴， y 轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则 A(1,0) ， B(0,1) ， C( ， )，直线 l 的方程为 y x ，即 x y 0.设 P(x， x 2) ，则p( x， x 2)，而 b a( 1,1) ，所以 p (ba) x (x 2) 2 .5在平面上， | B1| | OB2|AB1AB2， 1， APAB1 AB2 . 若| P| 2

11、，则 | A| 的取值 X 围是_答案 ( ， 2解析 由题意，知 B1， B2 在以 O为圆心的单位圆上，点 又AB1AB2， APAB1AB2，所以点 A在以 B1B2 为直径的圆上，当 P 与 O点重合时， | A| 取得最大值 2，1当 P在半径为 的圆周上时，2| A| 取得最小值72 .1P 在以 O为圆心， 为半径的圆的内部 6 (2014 某某 )如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AB8， AD5， CP3PD， AP BP2，则BAD的值是 _- 6 - / 11322 .3 由 e1 e2 ，可得 cos2 1 1 1 1 5 ， 3 165 5 1 33 .word答

12、案 22解析 由CP3PD，得 DP DC AB， APADDPAD AB， BPAPABAD ABABAD4 4 4 4 AB. 因为 AP BP2， 所以(D B) (DAB) 2， 即DD136B22. 又因为 D42 2 25， AB 64，所以 ABAD22.7(2014 某某 ) 设向量 a (3,3) ，b(1，1)若( a b) (a b)，则实数 _. 答案 3解析 由题意得， ( a b) (a b) 0，即 a2 2b2 18 2 2 0，解得 3.8设非零向量 a， b 的夹角为且 e1 e2 2 ，则向量 f ( e1，答案，记 f ( a， b) acos bsin

13、 . 若 e1， e2 均为单位向量，e2) 与 f ( e2 ， e 1) 的夹角为 _解析 3 e1， e2 23，故 e1， e2 6 e2， e1 e2， e1 6 .f ( e1， e2) e1cos e2sin 6 2 e12e2，f ( e2 ， e1) e2cos 6 ( e1)sin 6 2e1 2 e2 .f ( e1， e2) f ( e2 ， e1) ( 23e1 e2) (e1 23e2) 23 e1 e2 0，所以 f ( e1， e2) f ( e2， e1)故向量 f ( e1， e2) 与 f ( e2 ， e1) 的夹角为9在平面直角坐标系中， O是坐标原点

14、，两定点A， B 满足 | A| | B| A B2，则点集 P| P A B， | | | | 1， ， R 所表示的区域的面积是 _答案 4 3解析 方法一 (坐标法 ) 由| A| | B| A B2，可得 AOB又 A， B是定点，可设 A( 3， 1)， B(0,2) ， P( x， y)由P A B，- 7 - / 11y 2x 3 ，3| CD| | AC|word可得 ? x，3y 2.6x3因为 | | | | 1，所以 | 33x| | y2 63x| 1.整理，得 2| x| | 3y x| 2 3. 当 x0，且 3y x0 时，不等式为 当 x0，且 3y x0 时，

15、不等式为x 3y2 3；3x y2；当 x0，且 3yx0 时，不等式为 3x y 2；当 x0，且 3yx4| a| ，则 Smin 0；若 | b| 2| a|， Smin 8| a| 2 ，则 a 与 b 的夹角为 4 .答案 解析 xi， yi( i 1,2,3,4,5) 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成，5S xiyi ，可能情况有以下三种：i1(1) S2a2 3b2；(2) Sa22a b2b2；(3) S4a b b2 .2 a2 3b2( a2 2a b2b2) a2 b22a b a2 b22| a| b|cos 0，a2 2a b2b24a b b2 a2 b2

16、 2a b0，S 的最小值为 Smin b24a b.因此 S 最多有 3 个不同的值，故不正确当 ab 时， S 的最小值为 Smin b2 与| a| 无关，故正确当 ab 时， S 的最小值为 Smin b24| a| b| 或 Smin b2 4| a| b| 与| b| 有关，故不正确 当 | b|4| a| 时， Smin b24| a| b|cos b24| a| b| | b|(| b| 4| a|)0 ，故正确当 | b| 2| a| 时，由 Smin b24a b8| a| 2 知， 4a b 4a2，即 a ba2，| a| b|cos a2 ， cos 2， ，故不正确

17、- 9 - / 113 3 4 4 .14 211 5 3cos 2x 2sin xcos x 11 4 4 12所以 cos3word因此正确命题的编号为.11已知向量 a(sin x， 4)， b(cos x， 1)(1) 当 a b 时，求 cos 2x sin 2 x 的值；(2) 设函数 f ( x) 2(a b) b，已知在 ABC中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a 3， b2， sin B 36，求 f ( x) 4cos(2 A )( x0， ) 的取值 X 围解 (1) 因为 ab，4 x sin x 0.所以 tan x .故 cos 2x si

18、n 2 x sin 2x cos 2x1 2tan x 81 tan x 5. 2 (2) f ( x) 2( ab) b2(sinsin 21x cos x， 4) x cos 2 x (cos2sin(2由正弦定理，得a b sin Asin B，x， 1)x ) .所以 sin A所以 A 或 A因为 ba，所以 A . 所以 f ( x) 4cos(2 A )63 22 .2sin(2 x ) .因为 x0， 3 ，所以 2x ， 所以 23 1 f ( x) 4cos(2 A ) 2 .所以 f ( x) 4cos(2 A ) 的取值 X 围为 23 1， 2 12在 ABC中， AC10，过顶点 C作 AB的垂线，垂足为 D， AD5，且满足 AD DB.(1) 求 |C|；(2) 存在实数 t 1，使得向量 x BtAC， y tABC，令 k x y，求 k 的最小值- 10 - / 1110 16 14 11word解 (1) 由D 1B，且 A， B， D三点共线，可知 | D| 1| B|.又 AD5，所以 DB11.2 2 2在 RtADC