2021年上海市夏季高考数学试卷

1、2021年上海市夏季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1、已知（其中为虚数单位），则 2、已知则 3、若,则圆心坐标为 4、如图边长为3的正方形则 5、已知则 6.已知二项式的展开式中，的系数为，则_7、已知,目标函数，则的最大值为 8、已知无穷递缩等比数列的各项和为则数列的各项和为 9、在圆柱底面半径为,高为,为上底底面的直径,点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围 10.甲、乙两人在花博会的A、B、C、D不同展馆中各选个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的概率为_11、已知抛物线,若第一象限的点在抛物线上，

2、抛物线焦点为则直线的斜率为 12.已知，且对任意都有或中有且仅有一个成立，则的最小值为_二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）A. B. C. D.14、已知参数方程,以下哪个图像是该方程的图像 （ ）15.已知，对于任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ） 16、已知两两不同的满足，且，则下列选项中恒成立的是（ ） 三、解答题（本大题共有5题，满分76分,解答下列各题必须写出必要的步骤)17、如图，在长方体中，（1)若是边的动点，求三棱锥的体积；（2)求与平面所成的角的大小.18、在中，已知（1)若求的面积；（2)若,

3、求的周长.19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营业额都比前一季度多亿元，该企业第一季度是利润为亿元，以后每一季度的利润都比前一季度增长. （1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的？20、已知是其左右焦点，,直线过点交于两点，且在线段上.（1)若是上顶点，求的值；（2)若且原点到直线的距离为，求直线的方程；（3)证明：证明：对于任意总存在唯一一条直线使得.21、如果对任意使得都有,则称是关联的.（1)判断并证明是否是关联？是否是关联？（2)是关联的，在上有,解不等式；（3)“是关联的，且

4、是关联”当且仅当“是关联的”2021年上海市夏季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1.已知（其中为虚数单位），则 【思路分析】复数实部和虚部分别相加【解析】：【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题2、已知则 【思路分析】求出集合A，再求出 【解析】：，所以【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题3、若,则圆心坐标为 【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标【解析】：可以化为所以圆心为【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题4、如图边长为3的正方形则 【思路分析】利用向量投影转

5、化到边上.【解析】方法一：方法二：由已知，则；【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题；5、已知则 【思路分析】利用反函数定义求解.【解析】由题意，得原函数的定义域为：，结合反函数的定义，得，解得，所以，；【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题6.已知二项式的展开式中，的系数为，则_【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.【解析】【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数幂运算；基础题。7、已知,目标函数，则的最大值为 【思路分析】作出不等式表示的平面区域，根据z的几何意义求最值.【解析】如图，可行域的三个顶点为：、，结合直线

6、方程与的几何意义，得，则；当【归纳总结】本题主要考查线性规划的规范、准确作图与直线方程中“参数”的几何意义与数形结合思想；8、已知无穷递缩等比数列的各项和为则数列的各项和为 【思路分析】利用无穷递缩等比数列求和公式建立方程求出公比，再得到通项公式，根据特点求和.【解析】，【归纳总结】本题考查了数列的基本问题：等比数列与无穷递缩等比数列的各项和的概念与公式；同时考查了学生的数学阅读与计算能力。9、在圆柱底面半径为,高为,为上底底面的直径,点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围 【思路分析】注意几何题设与几何性质选择求面积的的方法；【解析】由题意，当点在下底底面圆弧上的

7、运动时，的底边，所以，面积的取值与高相关；当时，最大为：，面积的最大值为：；当时，最小为：，面积的最大值为：；所以，面积的取值范围为：；【归纳总结】本题主要考查了圆柱的几何性质，简单的数学建模（选择求三角形面积的方案），等价转化思想。10.甲、乙两人在花博会的A、B、C、D不同展馆中各选个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的概率为_【思路分析】注意“阅读，理解”，等价为“两个”排列组合题；【解析】由题意、四个不同的场馆，每人可选择的参观方法有：种，则甲、乙两个人每人选个场馆的参观方法有：种；由此，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：种；（或等价方法1：甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方

8、法有：种）；（或等价方法2【补集法】：甲、乙两人参观两个不同一个场馆的参观方法有：种；甲、乙两人参观两个相同场馆的参观方法有：种；所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的参观方法有：种）；所以，甲、乙两人恰好参观同一个场馆的概率为：；【归纳总结】本题主要考查考生的“数学阅读理解”，然后将古典概型问题等价转化为：两个排列、组合题解之；有点“区分度”；11、已知抛物线,若第一象限的点在抛物线上，抛物线焦点为则直线的斜率为 【思路分析】注意理解与应用抛物线的定义以及直线斜率公式的特征；【解析】方法一：如图，设，再由抛物线的定义结合题设得，则，又，解得，则直线的斜率为：；方法二：过、分别向准线引垂线，垂足

9、为、，直线与轴的交点为，由抛物线定义，得，于，则，又由已知，则，结合平面几何中，“内错角相等”，所以，直线的斜率为：)方法三：结合本题是填充题的特点，数形结合并利用“二级结论”，弦长公式，即，解得，结合题设与图像，所以）【归纳总结】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于解析几何的基本计算，甚至都不需要利用几何关系。定义、弦长、斜率都是解析几何的基本概念与公式；而用好抛物线的定义、数形结合与平面几何的性质，则可减少计算量； 考查了学生直观想象核心素养，通过几何意义容易求出斜率来；12.已知，且对任意都有或中有且仅有一个成立，则的最小值为_【思路分析】注意阅读与等价转化题设中的递推关系；【答案

10、】31；【解析】方法一：由题设，知：；或中恰有一个成立；或中恰有一个成立； 或中恰有一个成立； 则，则，当时，的和为最小值为：31；，则，当时，的和为最小值为：32；因此，的最小值为：31）；方法二：或中恰有一个成立；等价为：或中恰有一个成立；或中恰有一个成立；等价为：或中恰有一个成立；或中恰有一个成立；等价为：或中恰有一个成立；又要求的和为最小，所以，希望尽量出现1和2，则有数列：6，1，2，1，2，1，2，8，9或6，7，1，2，1，2，1，2，9；因此，的最小值为：31；）方法三：设，或恰好只有一个为1； 的最小值为）方法四：由题设，知：；由题设，得： 再结合题设，要使的和为最小，考虑按

11、：当且仅当时，等号成立；考虑按：当且仅当时，等号成立；）【归纳总结】本题的核心点在对于两个递推关系的理解与等价转化，然后，结合题设要求“和最小”；进行枚举或递推分析；对于考试的分析问题、解决问题能力有一定要求；主要考察了学生逻辑推理核心素养，根据题设推理出1，2连续造型值最小，从而判断出整体的最小值，虽然较为简单但容易出错；二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（ ）A. B. C. D.【思路分析】注意研究函数性质的方法；【解析】排除法：B、C、D涉及函数都是增函数；【归纳总结】本题主要考查函数性质的研究方法；基础题；14、已知参数方程,以

12、下哪个图像是该方程的图像 （ ）【思路分析】注意利用集合观点，根据方程研究曲线的方法；【解析】方法一（特值法）：令，解得，代入参数方程，得，所以，方程对应的曲线一定过、，故选B；方法二：在方程对应的曲线上任取一点，对应的参数为：，由题意，得；当时，代入已知的参数方程 ，得，所以，点也在方程对应的曲线上，所以，方程对应的曲线关于原点成中心对称；取，代入参数方程，则，即点在曲线上； ）验证点、都不在曲线上；因为，当时，或， 当时， 或，所以，点不在方程对应的曲线上；故，方程对应的曲线不关于轴成对称；因为，当时，或， 当时， 或，所以，点不在方程对应的曲线上；故，方程对应的曲线不关于轴成对称；故选B

13、；【归纳总结】本题主要通过参数方程这个载体，考查了根据方程研究曲线的方法与过程；方法1：结合选择题的特点，使用了“特值法”；方法2：从参数方程视角实践根据方程研究曲线。15.已知，对于任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ） 【思路分析】注意仔细审题，关注关键词“任意的”、“都存在”；【解析】方法一：由题设，变形得，又由题设“对任意的，都存在使得成立”，若设函数对任意的的值域为，设函数，的值域为，则， 又因为 ；而，当时， ，而符合题意； 方法二：由题意，得，解得，又对于任意的时，原问题，等价为：当时，即时，取遍能所有的数；所以，一定存在整数，使得：或者，解得或者，所以选D；）

14、方法三：的可能值是选D【归纳总结】本题本质就是求三角函数的值域，通过关键词“任意”、“存在”与方程，构建了以集合间关系为解题的“切入点”，同时考查了：函数与方程、数形结合、等价转化思想；主要考查了学生数学抽象核心素养，通过整体代入法解决三角函数问题。16、已知两两不同的满足，且，则下列选项中恒成立的是（ ） 【思路分析】注意通过审题与理解，进行合理的转化【解析】方法一：方法二：举特例去选择，代入方法三：令，则由已知，又由（*），构造函数，（*） 即为，结合函数图像，又函数在递增，所以）【归纳总结】本题主要考察了考学生数学数据处理与数学建模核心素养，通过换元、引入参数或根据条件结构转化为二次函数

15、问题，再通过函数的凹凸性确定出答案，难度较大；三、解答题（本大题共有5题，满分76分,解答下列各题必须写出必要的步骤)17、如图，在长方体中，（1)若是边的动点，求三棱锥的体积；（2)求与平面所成的角的大小.【思路分析】（1)利用体积计算公式计算；（2）证明，找到线面角度，再计算【解析】（1)如图1，；（2）如图2，与平面 所成的角；在中图1 图2【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角的求法，理解线面角的定义，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题18、在中，已知（1)若求的面积；（2)若,求的周长.【思路分析】（1）由已知利用余弦定理即可求解的值；再利用面积公式求的面积（2

16、）根据与建立关于角度的三角方程，求解的值，在求，则根据正弦定理以及，则三边可求【解析】（1)；【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营业额都比前一季度多亿元，该企业第一季度是利润为亿元，以后每一季度的利润都比前一季度增长. （1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的？【思路分析】（1）根据每个季度比上个季度营业额增加亿元可以知道数列为一个等差数列，求解20季度营业收入总额为

17、即为等差数列前20项的和；（2）通过数列通项公式建立数列不等式，利用计算器计算求解不等式即可。【解析】（1）设为第季度的营业额，为利润，由题意得，的首项为亿元，公差为亿元,所以2021到2025年，20季度营业收入总额为：（亿元）（2）由已知得， 由已知的， 的首项为亿元，公比为,即 所以，利用计算器991可得， 所以2027年第二季度该公司的利润首次超过该季度营业收入的【归纳总结】本题主要考查了等差、比数列的通项公式与前n项和公式的应用，考查了阅读理解能力、计算能力，属于中档题20、已知是其左右焦点，,直线过点交于两点，且在线段上.（1)若是上顶点，求的值；（2)若且原点到直线的距离为，求直

18、线的方程；（3)证明：对于任意总存在唯一一条直线使得.【思路分析】（1）根据椭圆的定义以及建立关于的方程；（2）通过原点到直线的距离建立关于直线斜率的方程，求解斜率；（3）找到直线斜率与m的函数关系，结合函数关系式判断是否是唯一解使得；【解析】（1)；（2）设； 设，原点到直线的距离为（在线段上，设，直线，则，联立直线与椭圆得即所以代入，所以，即对于任意，使得的直线有且仅有一条；【归纳总结】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及根与系数的关系的应用，属于难题21、如果对任意使得都有,则称是关联的.（1)判断并证明是否是关联？是否是关联？（2)是关联的，在上有,解不等式；（3)“是关联的，且是关联

19、”当且仅当“是关联的”【思路分析】（1）根据“关联”定义进行判断；（2）根据“是关联”有：；以及函数解析式作出函数图像，利用图像解不等式；（3）分为充分性、必要性两个方面证明；【解析】是 关联；不是关联；（2)是以3为周期的函数，然后就是要在里面，可以看出只有两个周期中可以找到解,答案是（3）充分性：，且递增，所以对于成立。必要性：，可以得到故对，我们对用关联的条件得到于是.对于正整数，则有.也成立.方法二：（1）设，且为，且满足，是关联的.设，故不是关联的.（2）因为是关联的，所以当任意的时，又时，函数图像如下图：易知，原不等式的解为即为.（3）证明：是关联，可知对任意的有， 是关联，可知对

20、任意的有，为不减函数；可以设，当时，当时，因为当确定时，是关于的不减函数，所以，有是关联.当是关联，有，当，时，假设，有.，又，矛盾.故只有，易得.利用，得是关联，依次可得，即当，有，当在时，.【归纳总结】本题主要考查了新定义以及函数性质的综合应用，体现了数形结合思想的应用，同时考查了学生分析理解能力、推理能力、计算能力，属于难题一.集合与函数1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要

21、条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间-a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。13.如何应用函数的单调

22、性与奇偶性解题?比较函数值的大小;解抽象函数不等式;求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;

23、三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即ab0，a0.三.数列24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?

24、(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。)28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。四. HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函数29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它

25、归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规

26、范,可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则.37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)38.形如的周期都是，但的周期为。39.正弦定理时易忘比值还等于2R.五.平面向量40.数0有区别，的模为数0，它不是

27、没有方向，而是方向不定。可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。41.数量积与两个实数乘积的区别：在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.42.是向量与平行的充分而不必要条件，是向量和向量夹角为钝角的必要而不充分条件。六.解析几何43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。46.定比

28、分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?47.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。49.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达.(设出变量，写出目标函数写出线性约束条件画出可行域作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解应用题一定要有答。)50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方

29、程的方法解决哪一些问题?52.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?53.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.(想一想在双曲线中的结论?)54.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零?椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制.(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行).55.解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系?七.立体几何56.你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗?(斜二测画

30、法)。57.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的?每种平行之间转换的条件是什么?58.三垂线定理及其逆定理你记住了吗?你知道三垂线定理的关键是什么吗?(一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键)一面四直线，立柱是关键，垂直三处见59.线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈;面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大.60.求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法.61.异面直线所成角利用“平移法”求解时，一定要注意平移后所得角等于所求角(或其补角)，特别是题目告诉异面直线所成角，应用时一定要从题意出发，是用锐角还是其补角，还是两种情况都有可能。62.你知道公式：