理论分布和抽样分布课件

1、第三章 理论分布和抽样分布 第一节：概率及其计算 概率论：研究随机现象规律性的科学。 统计学：基于实际观测结果，利用概率论得出的规律，解释偶然性中所寄寓的必然性。第1页，共111页。两者都是研究随机现象，概率论是统计学的基础，统计学是概率论得出规律在各领域中的实际应用。第2页，共111页。一、事件与概率 事件是指某一事物的每一个现象，或某项试验的每一结果。（试验中所发生的现象）。分类： 、必然事件：在一定条件组下，必然要发生的事件。 例：在标准大气压下，水加热到100这一组条件实现， 则水沸腾是必然事件。 第3页，共111页。、不可能事件：在一定条件组下，一定不能发生的事件。 例：在以上条件实

2、现，水结冰这一事件，就是不可能事件。、随机事件：在一定条件组实现下，可能发生也可能不发生的事件。例：一粒种子播种后发芽与否。红花豌豆与白花豌豆杂交，2是红花。第4页，共111页。概率的统计定义： 假定在相似条件下，重复进行同一类试验，事件发生的次数a 与总试验次数n的比数称为频率a/n，在试验总次数n逐渐增大时， 事件的频率愈来愈稳定地接近定值p，于是定义事件的概率为p，并记为 P(A)=p第5页，共111页。一个总体的概率值在理论上是存在的，但在一般情况下，无法得到这个数值，只有通过样本的频率来推断总体概率。因此便以n在充分大时事件的频率作为该事件概率p的近似值，即 (A)=p(a/n)第6

3、页，共111页。概率的表示： 小数分数0p(A)1 P(A)=1 时为必然事件 P(A)=0 时为不可能事件第7页，共111页。二、事件间的关系基本事件:就是不可能再分的事件。复合事件:由若干个基本事件组合而成的事件。 第8页，共111页。以“事件”一词代表随机事件，并以字母A, B, C. 等表示，以U表示必然事件，以V代表不可能事件。 1.事件A与事件B至少有一件发生而构成的新事件称为事件A与事件B的和事件。记作：A+B读作“或A发生，或B发生” 第9页，共111页。 和事件可以推广到个事件：A+B+C+.+N表示N个事件至少有一个发生。 第10页，共111页。 2.两个事件A与B同时发生

4、而构成的新事件称为事件A与事件B的积事件。记作： A.B，读作“AB同时发生”第11页，共111页。积事件可以推广到多个事件的情形：A.B.C.N表示N个事件同时发生。第12页，共111页。 3.两个事件A与B如果不能同时发生，即A.B=V，那么称A和B是互斥事件。例：任一玉米株高2.5m以上(A) 任一玉米株高2.0-2.5m(B) A.B:任一玉米株高既高于2.5m又在2.0-2.5m之间。抛硬币：A：正面朝上B:反面朝上第13页，共111页。 4.如果事件A与事件必发生其一，但又不可能同时发生，即：A+B=u，A.B=V， 那么B是A的对立事件，可用表示。 第14页，共111页。 5.如

5、果事件A1、A2.An两两互斥，且每次试验必发生其一，则称A1、A2.An为完全事件系。例：袋中有红、黄、黑、白四种颜色的球，每次取一个，“取到红球”、“取到黄球”、“取到黑球”、“取到白球”构成完全事件系。第15页，共111页。 、如果事件的发生与否不影响事件的发生，则称其相互独立。例：A:第一粒种子发芽B:第二粒种子发芽第16页，共111页。三、计算概率的法则法则一: 对立事件的概率：若事件A的概率为P( A)，那么其对立事件的概率为 P()=1-P(A) 例：小麦播种后发芽的概率为0.9，那么，不发芽的概率为(1-0.9)=0.1第17页，共111页。法则二： 互斥事件概率的加法： 若事

6、件A与事件B是互斥的，概率各为P(A)和P(B)，那么“A+B ”事件的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)第18页，共111页。法则三：独立事件概率的乘法： 若确定事件A的概率时不受到事件B的影响，反之亦然，那么，这两个事件是互相独立，称独立事件。对于这类事件，同时出现这一新事件的概率必为每个事件概率的积。 P(A.B)=p(A).P(B)第19页，共111页。法则四：完全事件系的概率 若A1,A2.An是完全事件系，则这n个事件的概率之和为1，即P(A1+A2+A3+.+An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An)=1如果n个事件出现的概率是相等的，那么 P(Ai)=1/n第20页，

7、共111页。第二节总体分布一、二项分布(binomial distribution)（一）二项分布的概率函数二项总体：有非此即彼事件组成的总体。二项分布：以容量n从二项总体中抽样,共有n+1种可能的结果,每种结果都有一个固定的概率,这种变量取值及其概率构成的分布称为二项分布.第21页，共111页。种子发芽试验：一粒种子：发芽概率p、不发芽概率q概率相加得(p+q)两粒种子： 甲乙均发芽：概率为p2 甲发乙不发：概率为p(1-p)pq 乙发甲不发：qp 甲乙均不发：q2概率相加得p2+pq+qp+q2=(p+q)2第22页，共111页。依此类推，独立地对n粒种子进行实验，一种结果出现x次的概率是

8、：称为二项分布律或二项概率函数，是(p+q)n展开后含有p(x)的一项这一分布律也称为贝努里分布第23页，共111页。其中，x=0,1,2,n, 为某事件出现次数。n为样本含量,即事件发生总数.第24页，共111页。二项分布是说明结果只有两种情况的n次独立实验中发生某种结果为x次的概率分布。 第25页，共111页。因为（p+q），所以第26页，共111页。二项分布的累积函数： 二项分布中某结果最多发生k次的概率为发生0次、1次、.、直至k次的概率之和：第27页，共111页。(二)二项分布的应用条件:(1) 每次实验只有两类对立的结果;(2) n次事件相互独立；(3) 每次实验某类结果的发生的概

9、率是一个常数。第28页，共111页。（三）二项分布的参数二项分布总体的平均数和标准差为：第29页，共111页。二项分布常表示为：B(n,p)即：二项分布是由n和p两个参数据定的。 第30页，共111页。(四)二项分布的形状二项分布的形状有如下特征：(1)二项分布图形的形状取决于P 和n 的大小；(2) 当P=0.5时，无论n的大小，均为对称分布；(3)当p0.5 ,n较小时为偏态分布,n较大时逼近正态分布。 第31页，共111页。一般来说，当n大于，而p或q又不过小（例如不接近于），且np及nq不小于时，可将其看作正态分布,可用正态公式求其概率。第32页，共111页。（五）二项分布的应用实例

10、、一批种子的发芽率为0.8，现每穴播粒，问每穴出三棵苗的概率？平均每穴出苗几棵？本例中，每穴出苗数为随机变量X，它服从B(5,0.8)，故：第33页，共111页。若计算每穴出苗数低于4棵的概率，则计算累积概率：P(X3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)平均每穴出苗数：=np=50.8=4第34页，共111页。、两个纯合亲本杂交(RRrr),F1自交，F2的基因型分离比。F2中，R基因出现的概率p=0.5，r基因出现的概率q=0.5第35页，共111页。一对因子：第36页，共111页。两对因子：YYRRyyrrF2中显:显:显:显:显第37页，共111页。3、两对基因分离

11、：bbRRBBrrF1 BbRrF2 9B-R-:3B-rr:3bbR-:1bbrr问：样本容量多大时，才能以99的概率至少得到一个bbrr个体？第38页，共111页。解：bbrr的概率q=1/16,非bbrr出现概率p=15/16。得到bbrr的概率99%,则非bbrr为，所以： pn=(15/16)n=0.01n(lg15-lg16)=lg0.01n=71.4因此：要以的可能获得一个bbrr个体，样本容量只少为。第39页，共111页。二、Poisson分布1. Poisson分布的概念:二项分布n很大而P很小时的特殊形式。其概率函数 x=0,1,2.n，其中e为自然对数的底，为总体均数，x

12、为事件发生的次数。第40页，共111页。主要描述大量实验中随机稀疏现象，如：单位面积内的昆虫数、病斑数、植物种类、细胞计数、田间杂草分布等。第41页，共111页。2. Poisson分布的应用条件:(1) 两类结果要相互对立；(2) n次试验相互独立；(3) n应很大, P应很小。第42页，共111页。3. Poisson分布的参数方差与平均数相等，只有一个参数。 第43页，共111页。4. Poisson分布的性质:(1) 均数与方差相等；(2) 均数较小时呈偏态,20时近似正态；(3) n很大, p很小，np=为常数时二项分布趋近于Poisson分布；(4) n个独立的Poisson分布相

13、加仍符合Poisson分布第44页，共111页。5、形状由决定：很小时分布很偏，增大后逐渐对称，趋近于正态分布 第45页，共111页。三、正态分布（normal distribution）（一）正态分布的密度函数和分布函数是连续性变数的一种理论分布。许多生物学产生的数据都服从正态分布。正态分布是生物统计学的重要基础 第46页，共111页。对于平均数为，标准差为的正态分布，其概率密度函数为：-x 第47页，共111页。其中：平均数，是曲线最高值的横坐标，曲线以其为对称；标准差，表示曲线展开程度，越大，曲线展开度越大，数据越分散；越小，曲线展开度越小，数据越集中；有了和，曲线形状就可以确定下来。第

14、48页，共111页。，标准差为的正态分布称为标准正态分布(standard normal distribution)。以N(，2)表示平均数为，标准差为的正态分布；以N(，)表示标准正态分布。第49页，共111页。第50页，共111页。累积分布函数：第51页，共111页。（二）正态分布曲线的特性、以为原点左右对称；、x=处f(x)具有最大值，且算术平均数、中数、众数合于这一点；、是一个曲线簇，由和确定：确定在x轴上的位置，确定其变异度；第52页，共111页。以平均数和标准差不同的正态分布系列曲线第53页，共111页。、在x=1有拐点；、x取值范围是,，但多数集中在附近，离其越远，次数越少；且在

15、 x- 相等处具有相等次数。、曲线的总面积等于。曲线下任何定值之间的面积等于这两个定值间面积占总面积的成数，或者说变量落入这个区间内的概率。第54页，共111页。几个常用区间与其相应的面积或概率区间面积或概率 0.68272 0.95453 0.99731.960 0.95002.576 0.9900第55页，共111页。第56页，共111页。区间面积或概率10.682720.954530.99731.9600.95002.5760.9900正态分布第57页，共111页。（三）标准正态分布将x离其平均数的差数以为单位进行转换，于是: u为正态离差。可将一般方程转为标准正态分布方程。第58页，共

16、111页。概率密度函数：-u 第59页，共111页。(四)正态分布区间概率的计算方法随机变量落在某区间(a,b)内的概率，可以从标准正态分布累积分布函数表中查出。对于一般的正态分布，先将其化为标准正态分布再查表 .第60页，共111页。例：u=-0.82, （0.82）0.2061 u=1.15 （u）=0.8749例：随机变量U服从N (0,1)，求其落在0,1.21间的概率：P(0U1.21)= (1.21)(0)=0.88690.5000=0.3869落在-1.96和1.96之间的概率：P(|U|u)=1-2(-u)=1-2(-1.96) 1-0.0500=0.9500第61页，共111

17、页。正态分布第62页，共111页。例：变量X服从N (156.2,4.822),求：(1)X164; (3)152X162的概率第63页，共111页。(1) (161-156.2)/4.82=1 P(X164)=1-P(X164)= P(X-164)=(-u)=(-1.62)=0.0526 第64页，共111页。(3) u1=(152-156.2)/4.82= -0.87 u2=(162-156.2)/4.82=1.2P(152P162)= (u2)-(u1) =(1.2)-(-0.87)=0.8849-0.1921=0.6928第65页，共111页。(五)正态分布的单侧分位数/临界值上面介绍

18、了正态分布区间概率的计算方法。即对于给定的u，通过正态分布累积函数表查Uu)= 时的u值。u称为的上侧分位数。对于左侧尾区，满足：P(Uu/2)= 时的u/2称为的双侧分位数。第67页，共111页。第68页，共111页。对于单尾表（上侧分位）：对于双尾表： 第69页，共111页。第三节 抽样分布(sampling distribution) 可从两个方向研究总体与样本的关系：一是总体到样本，即由已知的总体研究样本的分布规律；二是从样本到总体的方向，即由样本推断未知的总体。抽样分布是研究第一个方向的问题,是统计推断的基础。第70页，共111页。第71页，共111页。从一个总体进行随机抽样:从无限

19、总体中可抽取无限多个随机样本。从容量为N的有限总体:样本容量为n，有Nn个所有可能样本。每个样本可得一平均数： ，构成一新的总体，平均数为新总体的变量。每一平均数会有差异，所以平均数新总体也有其分布，称为平均数的抽样分布。 第72页，共111页。（一）从一个正态总体抽出的随机样本的平均数分布、总体标准差已知时的平均数分布u分布从一个正态总体抽出的随机样本,无论样本容量大小，其样本平均数的抽样分布必呈正态分布第73页，共111页。若总体不是正态分布，但具有一定量的和2，只要样本容量n足够大（一般n30），从总体抽出的样本平均数也近似地服从正态分布N(,2/n )，称为中心极限定理。 第74页，共

20、111页。(1)该抽样分布的平均数与母总体的平均数相等(2)该抽样分布的方差与母总体方差间存在如下关系： 即：第75页，共111页。第76页，共111页。标准化：其中，n为样本容量， 是样本平均数分布的标准差，称为标准误（差），可以度量抽样分布的变异 第77页，共111页。例：从N3(2,4,6),以n=1,2,4,8复置抽样第78页，共111页。n=1n=2n=4n=8 ffff2122122.0122.00122.258182.54102.5036902.751123083263.010303.002667983.2550416383.516563.5078427443.751 01638

21、1041443124.019764.001 10744284.251 01643184.516724.5078435284.75504239452105.010505.0026613305.251125885.54225.50361985.758466166166.0166.00166总和31293681324656126244均数12/3= (4)36/9= (4)324/ 81 =(4)26244 / 6561= (4)方差8/34/32/31/3第79页，共111页。、总体标准差未知(或虽然总体标准差已知，但总体不呈正态，且n较小)时的平均数分布t分布总体2未知，可以用样本标准差代替总体

22、标准差，标准化变量 不服从正态分布，而是服从自由度为n-1的t分布 第80页，共111页。其中 ， 为标准误。第81页，共111页。t分布也是一组对称密度函数曲线分布，它只有一个参数自由度确定其分布。与正态曲线相比，t分布曲线稍微扁平，峰顶略低，尾部稍高。理论上，随着自由度的增大，t 分布趋于正态分布：30时接近正态曲线，时，与正态曲线合一。第82页，共111页。第83页，共111页。正态分布t分布40。正态分布t分布4000.10.20.30.4123-3-2-1正态分布曲线与t分布曲线的比较第84页，共111页。概率密度函数：t分布的平均数和标准差：第85页，共111页。t 分布的累积函数

23、：第86页，共111页。t分布的概率累积函数也分为一尾表和两尾表，一尾表是t到的面积，两尾表是-t到-的面积和t到的面积之和。单尾表表头上的各概率（）是t大于表中所列t值时的概率。例如从表中查出df=9, =0.05的t单侧分位数t0.05=1.8331,表示t1.8331 时，曲线下面积（或概率）为0.05第87页，共111页。由于曲线的对称性，对于单侧分位数可以表示为：P(tt)=P(t-t)= 第88页，共111页。两尾时，每一尾的面积只有给出概率的1/2 。例如df=9, =0.05的t双侧分位数，就要查/2=0.025时的单侧分位数：t0.025,9=2.2622,由于对称性，另一侧

24、-t0.025,9=-2.2622即：t2.2622和t2.2622（相当于|t|2.2622）两尾面积之和为0.05。第89页，共111页。（二）样本总和数的抽样分布样本总和数（以x表示）的抽样分布参数与母总体间存在如下关系：（）抽样分布的平均数是母总体平均数的n倍xn(2) 抽样分布的方差是母总体方差的n倍x2n2第90页，共111页。（三）从两个正态总体抽出的随机样本的平均数差数的分布总体N(，12),以n1抽样: ,s1；总体2N(，22),以n2抽样: , s2；第91页，共111页。、标准差1、已知： 两者抽样相互独立，则两个独立随机抽取的样本平均数间差数( )的抽样分布参数与两个母总体间存在如下关系：第92页，共111页。第93页，共111页。标准化： 第94页，共111页。、标准差1、未知：若1、未知，但两个总体相互独立而且都是正态分布，同时1= =，则差数分布服从df1+df2的t分布,其中df1=n1-1,df2=n2-1；第95页，共111页。第96页，共111页。3 近似t分布： 当两个总体标准差1和2未知，且12，符合近似t检验因为12，差数标准误需用两个样本的S1、S2均方分别估计1、2第97页，共111页。具有自由度第98页，共111页。二、二项总体的抽样分布（一）样本平均数（成数）的