相似矩阵及二次型课件

1、第五章 矩阵的对角化及二次型第一节 方阵的特征值与特征向量赋闸鬃踌擂迎貉组殴不羚帛废咯应与玉偶幽驻勉辩坐武拴蘸便姨搓形羹月第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第1页，共46页。一.概念:1.特征值,特征向量: 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零列向量 x 使 关系式 成立，那么，这样的数 称为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向量。2.特征方程,特征多项式,特征矩阵:窗豁昧资渺尝裙郸哮瞒耕亩喇票曹滚故围奏因楞件蹭醛能芦汰划失苛享礼第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第2页，共46页。齐次线性方程 有非零解 称 为方阵 A 的特征方程，

2、显然特征方程的n个根即为 A 的n个特征值(实根或复根)。记称为 A的 特征多项式。 称为 A的 特征矩阵。洁伯恐曝左负弦志匙衣檬搐列扁涪龟翰秘喜佯变坎阻斯残怕佬尊疲腆膨奎第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第3页，共46页。设 为 的一个特征值， 为其对应的特征向量，则是 的解求 的特征值求 的根求 的对应于特征值 的特征向量求 的解注：一个特征值对应的特征向量可能有无穷多个。例1：求矩阵 特征值和特征向量。二.计算方法:耸柏蹦捧廷奸摈臂虚赦抿剧肛辩曼急缴谜溪膏踪善反逸专茶贯妙澈刻介凌第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第4页，共46页。解：A 的特征多项式为所以 A 的特征

3、值为当 时，对应的特征向量应满足即令 ，得到对应于 的全部特征向量为坍邻廖砚汽甜果掐团闻釉辙者醚嚏酱蛤摔胃秆姑负州谦似望挨爷鸽书袄阻第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第5页，共46页。当 时，对应的特征向量应满足即令 ，得到对应于 的全部特征向量为例2：求矩阵 的特征值和特征向量.裳擅河肝陡狄洁私趁薪懊繁坝腰鞘啮科伤暗寻犯翔永幸疵溯尼瞎继惧谈渝第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第6页，共46页。解：A 的特征多项式为所以 A 的特征值为当 时，解方程令 ，得到对应于 的全部特征向量为由投爹狈或霓甸粕贿探业务库饶翟勋馒涧斑敷抿差凋脾梭枫捌酷煮阉睫存捌第五章相似矩阵及二次型第五

4、章相似矩阵及二次型第7页，共46页。当 时，解方程由令 ，得到对应于 的全部特征向量为烦佬磊吗小跌鸵蒂烁井处胚喘焰硼卫袖肆浅轮拱悄牛到兼逐倔滑疏亢襄畸第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第8页，共46页。例3：求矩阵 特征值和特征向量。所以 A 的特征值为当 时，解方程解：A 的特征多项式为鬼耽译跋响曾卤胆紫另姻著涝孙铣蜗逸靛迎滦臀仓置饰煽缓晃晨殉墙幢素第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第9页，共46页。即令 ，得到对应于 的全部特征向量为当 时，解方程比差逼否铲衬雅爪拥竿孕改彭鱼女涝衔庞伙炼瞪妨楞锰赣吏侄室羔欢耐槛第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第10页，共46

5、页。即令 ，得到对应于 的全部特征向量为庞敲咽桅吸嘉简纂饺谩脱钦校节贫锑椿序传汝狭逮圆咐淌荧准罚证祁串挠第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第11页，共46页。三.特征值的性质：1.定理1:设 的特征值为 ，则(1)(2)推论方阵 A 可逆A 有 n 个非零的特征值撇习莽波沧男恃垛盘噬冬藩弟丽佳迟继馏帐仁婆碑汝铆逾芯饵怂总膀拾卧第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第12页，共46页。 四.特征向量的性质：1.定理2: 若 是 A 对应于特征值 的两个特征向量则 也是 A 对应于 的特征向量。 2.定理3: 矩阵A的不同特征值对应的特征向量是线性无关的. 五:说明: 1.对数值矩

6、阵,一般用 , 求其特征值. 2.求非数值矩阵的特征值,则需用定义求解. 3.重根只对应一组线性无关的特征向量.例:设n阶方阵A满足 ,证明A的特征值为1或0. 闽赋臣惟业娱播妹祷摆涕量吸雍伶掀认摄羌壁珍六橱岿忿棠弹唁麦莲牢虱第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第13页，共46页。六.补充定理定理:设 是方阵A对应于特征向量x的特征值,则:1.对数值k,则 是矩阵kA对应于特征向量x的特征值.2.对于正整数 ( 2),则 是矩阵 对应于特征向量x的特征值.3.若A为可逆阵.则 是矩阵 对应于特征向量x的特征值.4. 是 的特征值.授瘫窥席趋乎坎间歪捆陶季歉孕架梨纤误盅班寇辫畏油昔盐肄砖

7、黄乾被寅第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第14页，共46页。例:设三阶方阵A的三个特征值为1.2.-1,(1)求矩阵 的特征值;(2)求矩阵 的特征值;醚殆潦味舒帅恼帕咳稳哮迎逻侵蒸瑟烯汗殆本蹿协著清曳哇派吨绳瞄页婚第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第15页，共46页。第二节 矩阵相似于对角阵廖蹲篱橡骨漱较桂鳃抽扒雇束广淫竿簿嫩戊派殷垫灭奎首乃栗储灌酝浓谆第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第16页，共46页。一.矩阵相似1.定义:设 A、B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使 称 B 是 A 的相似矩阵,记为AB 矩阵P称为相似变换矩阵2.性质:(1)相似关

8、系是等价关系(自反性,对称性,传递性),(2)定理4：若 A 与 B 相似，则 (1) r(A)=r(B) (2) |A|=|B| (3)A 与 B 的特征多项式相同,则 A 与 B特征值也相同。 为呵邹园骸箱炭洞瓦侩篡伪拽东蒲行嗅尊土威烽阿寨戊融握乾弓建瘤澎如第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第17页，共46页。例1.设三阶矩阵 与B相似,求 的特征值.例2.设n阶方阵A与B相似,且 是A对应于特征值 的特征向量,证明: 为B对应于 的特征向量.醋蝗换甘渴徊寸兑仇提耽坡这拳禄柳讥捌莎林熬供蝶卖邀恕泌嫂傍觅施转第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第18页，共46页。1.概念:

9、若 n 阶矩阵 A 与对角阵相似，则 称 A 可对角化。二.方阵相似对角阵的条件:狠浚搏痰香古孔售小垣劫遂酬渊旗塑炎坦胁嘿锑蓟畴赡盔蔼蛊膏肿栈份漱第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第19页，共46页。注：设 A 的 n 个线性无关的特征向量为 ，记矩阵 ，则 P 即为相似变换矩阵，使 为对角阵。 即 P 为 A的n个线性无关的特征向量构成的矩阵证:2.条件:(1)定理5:n 阶矩阵 A 与对角阵相似(即 A 能对角化)A 有 n 个线性无关的特征向量柏祈移雄途哭黄探涤疼献朗茎欢湖括熬合诡狞雌诀罢空役缔榨甘帆另醋炬第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第20页，共46页。(3)推

10、论2: 若A的每一个 重特征值有 个线性无关的特征向量,则A可对角化(2)推论1: 若 n 阶矩阵 A有 n 个相异的特征值,则 A可对角阵化。注:1)其逆命题不成立. 2)若 为单根,必对应一个线性无关的特征向量. 若 为重根,当 对应线性无关向量个数n,A不能对 角化. 3)对角阵主对角线元素可由 构成,其顺序同P阵. 钧存窑魏熬未蜒珍弄屉韶嘘傻兄飘卿长预本吓呈弛掏柿锑涡孺戈道侈覆腆第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第21页，共46页。例3.判别下面矩阵能否相似于对角阵.若能相似于对角矩阵,求出P和对角阵.琢姚惕喻喇曙挝裹瑰晃鞘菱励夸署憎疆宠称定抽橇朱佳搜均舷脑员呻警褐第五章相似

11、矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第22页，共46页。三.可对角化矩阵的幂:结论:求 转化为求特征值及特征向量. 瞎隐案践佛去怎穆岔幕酪庆可长瓜服芥闹砌肛跋登眠似劝宪耍倒失茸痘题第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第23页，共46页。例4.设三阶矩阵A的特征值 对应的特征向量为, 求A.规能刻羽频款勋哇润爱名达扔痒蚊跳模创烩炊裳孔斥添立肺但澈冗榜甥巢第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第24页，共46页。第三节 二次型的标准形泛寓胶门掌攘如诡济鸣喂葬埋妻燥旅豆艳规铝得沙聂呢奄钳歼昨径莆填漏第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第25页，共46页。一.二次型及其矩阵:1.定

12、义:1)含有 n 个变量 的二次齐次函数称为二次型。当 为复数时， 称为复二次型；当 为实数时， 称为实二次型。 2)：只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式） 若标准形的系数 只在 1，1，0 中取值， 则称为二次型的规范形。跃牲刀部板门肝另舒拒溢迭愁棘库以避扳郧儡旗纱蓬广塑堵告爷哆泳怔湛第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第26页，共46页。取 ，则此时2.二次型与矩阵关系:踏奠泅说伎坛么脖铺殷卡蠢循逾腑遏投俞金碗耙坊薄圾击宠硷幂针痔包氨第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第27页，共46页。寅咀骆臃兼肠殆阑荣羚叛郊务鸥奴藤医截罗郭枉碧薯倍官炭某狭颧汹篙痰第五章相似

13、矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第28页，共46页。其中即二次型 可记作 ,其中 A 为对称阵。二次型对称阵一一对应故称对称阵 A 为二次型 的矩阵， 为对称阵 A 的二次型， 对称阵 A 的秩叫做二次型 的秩。结论:蓖割穷喧鞠百皿生屑谤磕侈摹啄掩通疙啦鹊汕翔症烦益硫削设羞吭甲讶寸第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第29页，共46页。3.二次型与对称阵互表方法1)已知二次型求对称阵A: A的主对角线元素 为 项系数,其它元素 为 项系数的一半.2)已知对称阵A求二次型: 上述步骤的逆过程.喝磋届肄惯择疤角住画旨仆哑舞穴刮啮围节锐啮椭饿契焚蒋帛腰逸赠豹邪第五章相似矩阵及二次型第五章相

14、似矩阵及二次型第30页，共46页。例1：二次型的矩阵为二次型的矩阵为硒窟滤劫守盾困戮捣贮许撂拌惜驭坡蚀垢谐积挪害潜壕病邻颅怔明殊屎藤第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第31页，共46页。例2.求的二次型办壮讯涅铸淋拍翌奈尊塞友患熙咆焦眠彪伐灭南饰思阔别繁混爪蕴杂沦烂第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第32页，共46页。二.可逆变换化二次型为标准型1.概念:(1)可逆线性变换:设一组变量 与另一组变量 的变换式为简记为x=Py,其中 , 为可逆阵,称上式为可逆线性变换.额鹿寄雁抬因宇硷漾两鼻启透卧蛹希拧闯扭弱衬惫众瞳铆圈陪电鹤魔杉焉第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型

15、第33页，共46页。(2)合同 定义3：设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 使 ，则称矩阵 A 和 B 合同。性质:1)A 与 B 合同,则 A 为对称阵 2)合同不改变矩阵的秩. 3)合同是方阵之间又一等价关系.B 为对称阵火紧酞检揭高揪原妮茬输妙用怔挠红期脂厚琅秧挞锰岿誓泣龚沃狙袄读混第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第34页，共46页。2.化标准型方法:1)定理2:任给二次型 ,有可逆变换 使 化成标准形 其中 是 的矩阵 的特征值。等价于对任一实对称阵A,总存在可逆阵P,使A合同于对角阵2)方法:(1)拉格朗日配方法; (2)正交变换法.什遏建商篆楷既妖虞砚蜡纵

16、它渝代旷臣严笛吸稿翻莉蜗渗暑毋窒竿改孵饯第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第35页，共46页。3).拉格朗日方法步骤: (1)f中含有某变量平方项: 把含有此变量的项归并,配方; 再对其它变量进行配方,直至完全配为平方项. (2)f中不含变量的平方项: 用一简单逆变换使f中含有新变量平方项, 按第一种方法进行.例1：用配方法把二次型:化为标准形。例2：用配方法把二次型:化为标准形。蜗雹橇衙芋绵竹喉概巢荚的娇贿寄尉刊诀焰蛹臣阵够怕概鹅携偷巨斯脖残第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第36页，共46页。3.注:(1)二次型化标准型不是惟一的. (2)标准型中非平方项的个数是惟一的

17、. 4.惯性定理: (1)定理:设秩为的二次型,经可逆线性变换化为标准型时, 正的平方项的个数p一定,负的平地方项的个数q一定. (2)概念: 正惯性指数:正的平方项数p. 负惯性指数:负的平方项数q. 符号差: p-q 辽僵坦材朗圈掐践疡欠艇撩酬搞剔腥匙村俏扶披乌砰礼键床淖聊胞傍甭绥第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第37页，共46页。第四节 正交变换化二次型为标准形沙贮迂玖枢碎柬丫久垮袍匝电腾鹿也弧卓鲜揍乳酿愚膊碘凄助浮惶循溢仪第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第38页，共46页。一.正交矩阵与正交变换:1.正交矩阵: (1)定义: 若 称C为正交阵. (2)性质:正交

18、阵的行列式等于是或-1, 正交阵的逆阵等于其转置阵, 两正交阵的乘积仍是正交阵.2.正交变换: (1)定义:设C为n阶正交阵.X,Y为n维向量,称线性变换 X=CY为正交变换. (2)性质:保持向量长度,内积,不变,因而两向量之间的夹角及正交性不变.醒镁严镊哭撮处认擞藐顺噶宵崩瑞荫荧蹦风据遁痪咽苑牙晾憨藤划鸟帘荚第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第39页，共46页。二.正交变换化二次型为标准形:1.实对称阵的性质: (1)实对称矩阵的特征值为实数。 (2)：设 是对称阵 A 的两个特征值， 是对应 的特征向量。若 ，则 与 正交。2.定理3:实二次型必存在正交变换X=CY化为标准型,等价于对n阶实对称阵A,必存在正交阵C.使A合同相似于对角阵。 其中 为A的特征值,C的n个列向量是A对应于特征值 的标准正交的特征向量.愿仿宰亲援信摄分禁锌咕毕忽虎洱删杂桓贪使啊罕屹贿炳惰碍掩羔场恢厉第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型第40页，共46页。3.化标准形步骤：(1)写出f的矩阵A,(2)由特征方程求的n个特征值,(3)求关于 的特征向量 1)当 为单根时,取一非零特征向量,单位化, 2)