【学习课件】第二章逻辑代数基础

1、第二章 逻辑代数基础逻辑代数中的三种基本运算1逻辑代数的基本公式和常用公式2逻辑代数的基本定理3逻辑函数及其表示方法4逻辑函数表达式类型的转换6逻辑函数的化简方法5思 考 题1逻辑代数与普通代数运算规则不同处2逻辑代数为什么要进行化简3逻辑代数表达式类型为什么要转换第二章 逻辑代数基础基本概念逻辑：事物的因果关系逻辑运算的数学基础： 逻辑代数在二值逻辑中的变量取值： 0/12.1 逻辑代数中的三种基本运算与（AND） 或（OR） 非（NOT）以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以B=1表示开关B合上，B=0表示开关B断开； 以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；三种电路的因果关系不同：

2、与条件同时具备，结果发生Y=A AND B = A&B=AB=ABA BY0 000 10 00 11或条件之一具备，结果发生Y= A OR B = A+BA BY0 000 11 01 11非条件不具备，结果发生 A Y0 110几种常用的复合逻辑运算与非 或非 与或非几种常用的复合逻辑运算异或A BY0 000 11 01 10几种常用的复合逻辑运算同或A BY0 010 10 00 112.2.1 基本公式表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式表2.3.1 逻辑代数的基本公式2.2 逻辑代数的基本公式和常用公式A 0 = 0A + 0 = AA 1 = AA + 1 = 12.

3、 交换律、结合律、分配律a. 交换律： AB= BA A + B=B + Ab. 结合律：A（BC） =（ AB）C A +（ B C）= （AB） + Cc. 分配律：A( B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C)1.关于变量与常数关系的定理逻辑代数的基本公式说明：由表中可以看出a. 互补律：b. 重叠律：A A = A A + A = Ac. 非非律：d. 吸收律：A + A B = A A (A+B) = A e. 摩根定律：注：以上定律均可由真值表验证3.逻辑函数独有的基本定理逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式和常用公式表2.3.1 逻辑代数的

4、基本公式表2.3.2 常用公式2.2.2 若干常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.3 逻辑代数的基本定理2.3.1 代入定理 任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然成立。利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式2.3.1 代入定理应用举例： 式 A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD)= (A+B)(A+C)(A+D)？应用举例： 2.3.1 代入定理利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式2.3 逻辑代数的基本定理2.3.2

5、反演定理 若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将Y式中所有的“.”换为“+”, “+”换为“.”,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，所有原变量（不带非号）变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函数Y的反函数（补函数） 。2.3 .2 反演定理2.3.2 反演定理 -对任一逻辑式 变换顺序 先括号，然后乘，最后加不属于单个变量的上的反号保留不变2.3.2 反演定理应用举例：2.3.2 反演定理解：由反演定理例 若 Y（A B） CD +C，求反函数2.3 逻辑代数的基本定理2.3.3 对偶规则 设Y是一个逻辑函数，如果将Y中所有的“+”换成与“”， “.”换成与“+” ，“1”

6、换成与“0”， “0” 换成与“1”，而变量保持不变，则所得的新的逻辑式 YD 称为Y的对偶式。如：2.3.3 对偶规则对偶规则：如果两个函数Y和G相等，则其对偶式YD和GD也必然相等。利用对偶式可以证明一些常用公式例 试利用对偶规则证明分配律 ABC=(A+B)(A+C)式子成立证明：设Y ABC，G (A+B)(A+C)，则它们的对偶式为由于故YG，即ABC=(A+B)(A+C)2.3.3 对偶规则证明：设则它们的对偶式为由于故YG，即试利用对偶规则证明吸收律AABAB 式子成立2.4 逻辑函数及其表示方法真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图逻辑函数及其表示方法各种表示方法之间可以相互转换真 值

7、 表输入变量A B C输出Y1 Y2 遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值YBA011101110000输出输入逻辑式 将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。 如异或关系的逻辑函数可写成 YA B AB 逻 辑 式逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。 下图表示的是异或关系的逻辑图逻 辑 图ABY波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形，也称时序图。如波 形 图卡 诺 图 逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成

8、矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。 逻辑函数的两种标准形式最小项之和 最大项之积两变量A，B的最小项三变量A，B，C的最小项逻辑函数的最小项之和的形式最小项举例：最小项的编号最小项取值对应编号A B C十进制数0 0 00m00 0 11m10 1 02m20 1 13m31 0 04m41 0 15m51 1 06m61 1 17m7逻辑函数转化成最小项之和的形式例：利用公式可将任何一个函数化为逻辑函数 最小项之和的形式逻辑函数转化成最小项之和的形式例：卡 诺 图 逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的最小项之和

9、的以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。 表示最小项的卡诺图二变量卡诺图 三变量的卡诺图4变量的卡诺图各种表现形式的相互转换真值表 逻辑式例：奇偶判别函数的真值表A=0，B=1，C=1使 ABC=1A=1，B=0，C=1使 ABC=1A=1，B=1，C=0使 ABC =1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以 Y= ? ABCY00000010010001111000101111011110真值表 逻辑式：找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值

10、组合。每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些变量相加即得 Y。各种表现形式的相互转换例2.5.2 已知真值表如表2.5.2所示，试写出输出的逻辑函数解：其输出的逻辑函数为各种表现形式的相互转换真值表 逻辑式：找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些变量相加即得 Y。 把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列出真值表各种表现形式的相互转换例2.5.3 写出逻辑函数YAB C 的真值表解：其真值表如表2.5.3所示输入输出ABCY000011110011001

11、10101010110101110表2.5.3各种表现形式的相互转换逻辑式 逻辑图1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。各种表现形式的相互转换例2.5.4 画出逻辑函数Y(AB+C ) ( AC ) B) 的逻辑电路解：其实现电路如图2.5.3所示各种表现形式的相互转换逻辑式 逻辑图1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2. 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑 运算式。 各种表现形式的相互转换例2.5.5 已知逻辑电路如图2.5.4，试写出输出端的逻辑函数式。解：输出的逻辑式为各种表现形式的相互转换波形图 真值表各种表现形式的相互转换 将每个时间段内输入变量和输出的取值对应列表

12、，即可得到函数的真值表。波形图 真值表各种表现形式的相互转换例2.5.6 已知图所示是某个逻辑电路的输入输出波形，试画出该真值表，并判断其逻辑功能YBA111001010100输出输入波形图 真值表各种表现形式的相互转换例2.5.9 已知逻辑函数的真值表如表2.5.9所示，试画出输入输出波形。输入输出ABCY00001111001100110101010111001000表2.5.9解：由真值表画出输入输出波形如图2.5.9所示卡诺图 真值表各种表现形式的相互转换根据真值表得到其卡诺图如表2.6.6所示输入输出ABCY00001111001100110101010100110001表2.6.5

13、卡诺图 逻辑式各种表现形式的相互转换卡诺图用于化简逻辑函数式真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图各种表现形式的相互转换2.5 逻辑函数的化简法逻辑函数的最简形式 最简与或 -包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。2.5 逻辑函数的化简法逻辑函数的化简有两种方法公式化简法卡诺图化简法 公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理、公式和运算规则，消去多余的乘积项和多余的因子。将逻辑函数的真值表图形化，将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来，然后完成相邻最小项的合并。反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。 例： 2.5.1 公式化简法一般化简需要各种方法

14、综合起来。化简需要技巧和经验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难以判断。2.5.2 卡诺图化简法将函数表示为最小项之和的形式 。在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添0。用卡诺图表示逻辑函数表示最小项的卡诺图二变量卡诺图 三变量的卡诺图4变量的卡诺图最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为1 。任何两个最小项之积为0 。两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。 -相邻：仅一个变量不同的最小项 如 最大项之积最大项M：M是相加项；包含n个因子。n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次。如：两变量A, B的最大项对于

15、n变量函数2n个最大项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；全体最大项之积为0；任何两个最大项之和为1；只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。最大项的编号最大项取值对应编号A B C十进制数1 1 17M71 1 06M61 0 15M51 0 04M40 1 13M30 1 02M20 0 11M10 0 00M0设有三变量A、B、C的最小项，如m5 ABC，对其求反得由此可知对于n 变量中任意一对最小项 mi 和最大项Mi ，都是互补的，即最小项与最大项的关系若某函数写成最小项之和的形式为则此函数的反函数必为如表2.5.15中最小项与最大项的关系利用反演定理可

16、得上式或写成最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系例2.5.12 试将下列函数利用真值表转化成两种标准形式解：其真值表如表2.5.16所示逻辑函数转化成两种标准形式逻辑函数的标准或与型为则逻辑函数的标准与或型为逻辑函数转化成两种标准形式用卡诺图表示逻辑函数 00 01 1 1 1 00011111101ABC 用卡诺图化简函数依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。 在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。卡诺图化简的原则化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即覆盖图中所有的1。乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少。每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大。 为了使圈成的矩形

17、最大，可以在不同的圈中反复圈 入某一项。 边边相连，角角相连。合并最小项的原则：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子 用卡诺图化简函数例： 00 01 1 1 1 001ABC 用卡诺图化简函数例： 00 01 1 1 1 00011111101ABC 用卡诺图化简函数例： 00 01 1 1 1 00011111101ABC 用卡诺图化简函数例：化 简 结 果 不 唯 一 用卡诺图化简函数例 用卡诺图简化下面逻辑函数解:11111111111 用卡诺图化简函数例：0001111000011110AB

18、CD 用卡诺图化简函数例：00011110001001011001111111101111ABCD 用卡诺图化简函数注： 以上是通过合并卡诺图中的“1”项来简化逻辑函数的，有时也通过合并“0”项先求F的反函数，再求反得Y例如上面的例题,圈“0”情况如表所示，可得111111111111 用卡诺图化简函数a.任意项：输入变量的某些取值对电路的功能没影响，这些项称为任意项。 例如8421BCD码取值为0000 1001十个状态，而10101111这六个状态不可能出现，故对应的函数取“0”或取“1”对函数没有影响，这些项就是任意项。2、化简时，根据需要任意项可以作为“1”也可作“0”处理，以得到相邻

19、最小项矩形组合最大（包含“1”的个数最多）为原则。1、将任意项在卡诺图相应位置用“ ”表示最小项的表达式为其中d为任意项无关项的逻辑函数化简例 用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式解：根据Y的卡诺图则最简与或式为111111无关项的逻辑函数化简无关项的逻辑函数化简b.约束项 ：在逻辑函数中，输入变量的取值不是任意的，受到限制。对输入变量取值所加的限制称为约束，被约束的项叫做约束项。例如有三个逻辑变量A、B、C分别表示一台电动机的正转、反转和停止。若A1表示电动机正转，B1表示电动机反转，C1表示电动机停止，则其ABC的只能是100、010、001，而其它的状态如000、011、101、1

20、10、111是不能出现的状态，故ABC为具有约束的变量，恒为0。可写成这些恒等于“0”的最小项称为约束项例 试简化下列逻辑函数，写最简成与或式解：约束条件为则Y的卡诺图如所示最简与或式为11111无关项的逻辑函数化简 将约束项和任意项统称为无关项 。即把这些最小项是否写入卡诺图对逻辑函数无影响 含有无关项的逻辑函数的表示方法最小项的表达式为其中d为无关项也可以写成利用无关项可以使得函数进一步简化无关项的逻辑函数化简化简步骤： 1、用卡诺图表示逻辑函数 2、合并的最小项 矩形圈上所有的1 矩形圈要最大，圈数要最少 有无关项用“ ”表示，可作“1”也可作“0” 3、化简后的乘积项相加 用卡诺图化简函数2.6 逻辑函数表达式类型的转换 逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或式、或与式、与非式、与或非式等，不同的表达形式可由不同的门电路来实现。一般的逻辑函数为与或式（乘积和），这样需要转换成其它的形式，利用卡诺图可以很方便的实现转换。与或式转换成与非式1. 与或式转