(已用)24223切线长定理和三角形内切圆

1、24.2.2.3 切线长定理和三角形内切圆复习1：直线与圆的位置关系rrrddd直线和圆相交d r;直线和圆相交OO相交O相切相离 复习2： 1、切线的判定定理是什么？ 2、切线的性质定理是什么 3、角平分线的性质是什么？ 4、什么叫三角形的外接圆和外心？外心是三角形什么的交点？ 我们知道，过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？ 探究：切线长概念 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。OPAB切线和切线长区别和联系OPAB切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。探究： 从O外的一点引两

2、条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。APO。BPA = PBOPA=OPB证明：PA，PB与O相切，点A，B是切点 OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB试用文字语言叙述你所发现的结论PA、PB分别切O于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 切线长定理APO。BAPOB 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明

3、：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分ABM试一试APO。B 若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PC PCA PCB AC=BCC探究：PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有相等的线段（2）写出图中与OAC相等的角OAC=OBC=APC=BPCOA=

4、OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。当堂检测 ：1、在ABC中，A=50 （1）若点O是ABC的外心，则BOC= . （2) 若点O是ABC的内心，则BOC= .2、如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，OPB=30 （1）APB的度数是 ； （2）当OA=3时，AP= . APO。B10011560已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求PEF的周长。EAQPFBO易证EQ=EA, F

5、Q=FB, PA=PB PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm周长为24cm 例题1 变式：如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求PCD的周长(2) 如果P=46,求COD的度数C OPBDAE例1、已知：P为O外一点，PA、PB为O的切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：ACOPPACBDO 例题讲解。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。想一想思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积

6、尽可能大呢?ID三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。数学探究DEFo外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外接圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形内切圆o内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。AABBCCo三角形外接圆三角形内切圆oAABBCC一个三角形有 个内切圆，一个圆有 个外切三角形。一个三角形有 个外接圆，一个圆有 个内接三角形。一个一个无数无数例2. 如图，四边形ABCD的边

7、AB、BC、CD、DA和O分别相切于L、M、N、P。（1）图中有几对相等的线段？ADLMNPOCB（2）由此你能发现什么结论？ 为什么？解： AB，BC，CD，DA都与O相切，L，M，N，P是切点，AL=AP，LB=MB， DN=DP，NC=MCAL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC即 AB+ CD = AD+BC圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）例3 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm) AF=4(cm),

8、 BD=5(cm), CE=9(cm). O与ABC的三边都相切AFAE,BDBF,CECD则有xy9yz14xz13解得x4y5z9 例题3BDEFOCA如图，ABC的内切圆的半径为r, ABC的周长为l,求ABC的面积S.解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF lr设ABC的三边为a、b、c，面积为S，则ABC的内切圆的半径 r结论2Sabc三角形的内切圆的有关计算 思考ABCEDFO 如图，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc,O为RtABC的内切圆. 求：RtABC的内切圆的半径 r.设AD= x , BE= y ,CE r O与RtABC的三边都相切ADAF,BEBF,CECD则有xrbyraxyc解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。解得rabc2结论设RtABC的直角边为a、b，斜边为c，则RtABC的内切圆的半径 r 或rabc2ababc 变式1、切线长的定义2、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的