工程力学(上)

1、1主讲教师 张廷智2工程力学研究物体机械运动一般规律和构件强度、刚度、稳定性问题。本书工程力学包括理论力学和材料力学两个学科。理论力学含第一篇(静力学)和第三篇(运动学与动力学)，材料力学含第二篇(构件的承载能力)和第四篇(动强度计算) 。 3n 静力学研究物体在力系作用下的平衡规律n 静力学研究三个问题：物体的受力分析 力系的简化 力系的平衡n 几个基本概念刚体：在力的作用下不变形的物体。一种抽象模型，用于静力分析、运动分析和动力分析。第一篇 静力学4力系：作用在物体上的一组力。等效力系：对同一物体作用效果相同的力系互为等效力系。合力：若一力与一力系等效，则这力称为该力系的合力。平衡：工程中

2、物体相对地球处于静止或匀速直线运动状态。平衡力系：使物体处于平衡状态的力系。（物体平衡则作用于其上的力系必为平衡力系，反之亦然）51.1力的概念第 1 章 静力学基本知识n 力：力是物体间的相互作用力：力是物体间的相互作用。这种作用使物体运动状态或形状发生改变。运动状态的改变在理论力学中研究，物体作为刚体；形状改变在材料力学中研究，物体作为变形体。n 力的三要素：力的三要素：大小、方向、作用点位置。n 力的单位：力的单位：N或kNn 力的表示力的表示力是矢量，用带箭头的线段表示。力的名称用黑体大写字母表示：F，手写： 。力的大小：F或 。FF6 力的平行四边形法则力的平行四边形法则作用于物体上

3、同一点的两个力可以合成为一个力，合力也作用于该点。合力的大小和方向由两力为邻边的平行四边形对角线确定。力矢量可按平行四边形法则合成与分解。合成结果是唯一的，而分解结果却不唯一。常用的是正交分解。AFRF2F1AFRAFRFyFx1.2静力学公理RFFF2172 二力平衡条件二力平衡条件作用于刚体上的二力使刚体平衡的充要条件是：二力等值、反向、共线。矢量关系：F1=F2ABF1F2只受两力作用而平衡的构件，称为二力构件。根据二力平衡条件，二力构件所受两力必沿两力作用点连线，且等值、反向。3 加减平衡力系原理加减平衡力系原理在作用于刚体的力系上，加上或减去一平衡力系，不改变原力系对刚体的作用。4

4、作用与反作用定律作用与反作用定律两物体间相互作用的一对力，必等值、反向、共线，分别作用于两物体上，互为作用与反作用。矢量关系：F=FABFF8推论1(力的可传性)刚体上的力可沿其作用线移动到刚体上其它点而不改变对刚体的作用。FABFFFABF=F=FAB=推论2(三力平衡汇交)刚体受三力而平衡时，若其中两力汇交于一点，则第三力必交于同一点，且三力共面。A1A2A3F1F2F3OA1A2A3F1F2F3OFR1=A1A2A3F3OFR1=91.3约束和约束反力约束限制对象某些方面位移的周围物体称对象的约束（对象的约束肯定与对象接触着）约束反力 约束作用在对象上的力。又称约束力或反力。 （约束力的

5、大小需要求解，约束力的方向与限制对象位移方向相反，作用点在对象上与约束接触处。）主动力作用在对象上的已知力（如重力、弹簧力、拉力、压力等）10常见约束及约束力方向2.光滑面约束沿着法向，指向物体1.柔索约束沿着柔索，背离物体113.光滑铰链约束两正交反力固 定 铰 支 座中 间 铰124.滚动铰支座约束 垂直支承面135.轴承约束 二正交反力或三正交反力推 力 轴 承向 心 轴 承6.二力构件约束 沿两点连线方向141.4 物体受力分析和受力图n 分离体从整体结构中假想取出的一部分研究对象。为进行受力分析,需要画分离体的受力图。n 画分离体受力图的步骤 1)确定研究对象，画对象的分离体简图。

6、2)画对象的主动力 3)根据约束类型画对象的约束力n 注意 一般先判断有无二力构件约束；注意作用与反作用力的表示； 局部与整体的同一处受力应一致、只画对象外力 。15CADBCDB 例补1-1 绳AB悬挂一重为G的球。画出球的受力图（摩擦不计）。解 按画受力图的步骤，1)解除约束，画对象球的分离体简图。2)画主动力，即球的重力。3)在解除约束处，画柔绳约束力FB ,光滑面约束力FD。*画对象受力图的三步GFBFD16 例补1-2 起重机梁AC一端用铰链固定在墙上，另一端装有滑轮并用杆CE支撑，梁上卷扬机D的钢索经定滑轮C起吊重物H。不计梁、杆、滑轮自重，画出整体、横梁与滑轮、重物H、杆CE的受

7、力图。ACDEHGHGEC解 1)整体 解除外约束，画分离体简图。可以带上已知重力。首先识别CE杆为二力构件，E处约束力沿EC。A处固定铰支座，二正交反力。2)横梁与滑轮组合，分离体简图。A处约束同整体，铰链C处受二力构件约束，柔绳约束沿绳背离滑轮。3)重物H，分离体简图。柔绳约束力与另一端互为反作用。4)杆CE，分离体简图。二力构件两端所受约束等值、反向、共线。FAyFAxFECADCFAyFAxFCEFFFCEFEC*局部与整体的同一处受力应一致17 例1-2 重P的圆柱由杆AB、绳索BC与墙壁支承，摩擦及杆重不计,画出圆柱和杆AB的受力图。解 1)圆柱 解除约束，画分离体简图。带上已知重

8、力。 D、E处为光滑面约束,约束力应沿法向指向圆柱。2)杆AB D处为光滑面约束,且与圆柱的FD互为作用与反作用。B处为柔索约束，A处为固定铰支座,二正交反力。 A处固定铰支座实质上是一个约束力,因此杆AB受三力平衡,亦可画为后图。ABCOEDPOEDPABDABDFBFDFDFEFDFBFAxFAyFA *作用与反作用力的画法18 例1-3 三角形平板上刻有滑槽, DE杆上固结有销子C,销子放在滑槽中。F力水平,略去各构件重量。A、D处为固定铰支座,E处为辊轴支座。画整体、板及杆的受力图。解 1)整体 解除约束，画分离体简图。带上已知力F。按A、D、E三处约束类型，画约束力。 C处为对象的内

9、力,不应画。2)板 F力已知, A处约束力同整体。C处滑槽与销子互为光滑面约束,销子约束力应作用在滑槽上表面。3)杆 E、D处约束力同整体,销子C受光滑面约束力,与FC互为作用与反作用。*所有局部对象的受力图“安装”起来,消去原分离处的作用与反作用力,应该是整体受力图。ABCDEFABCFCDEABCDEFFAxFAyFDxFDyFEFAxFAyFCFEFDxFDyFC19第 2 章 力系的简化平面力系力系空间力系汇交力系力 偶 系任意力系任意力系汇交力系力 偶 系力系的简化指用简单的力系等效地代替原力系202.1汇交力系2.1.1 几何法几何法AFRF2F1AFRF2F1AFRF2F1根据平

10、行四边形法则,汇交二力的合力可由汇交点依次作出首尾相接的二力矢量,再从汇交点作出封闭的第三边表示。对于汇交点为O 的力系,如F1、F2 、F3 、F4, 首先,按力的可传性将各力移至汇交点。然后按上法由汇交点依次作出首尾相接的各力矢量,再从汇交点作出最后的封闭边,即为汇交力系的合力。是为几何法。OABCDF2F3F4F1OF1F2F3F4=OF1F2F3F4FRFR1FR2=O=F1F2F3F4FR*汇交力系的简化结果为作用于汇交点的一个合力。 FR=F21n 力在轴上投影力在轴上投影等于力的大小乘以力与投影轴正向夹角的余弦,用Fx表示。即有向线段ab，为代数量。090 xFFxFFx 0ba

11、FxFFx180baFx* 投影轴平行移动,力在轴上投影不变。xFab cosFFx定义：Fbaxcos90FFx2.1.2 解析法解析法22n 力在空间直角坐标轴上二次投影sinsincossincossin,FFFFFFFFyxzxy投影力大小为称二次投影法。二轴上再把投影力投影到余影到该轴和轴垂面上投可先将力角时上的投影力与另一轴夹及力在该轴垂面与一轴夹角当已知力FFFxzyOAFxy小。”号，再计算投影值大定“投影值为负时，宜先确线。空间力为长方体的对角构成一长方体、坐标系三轴上投影在以起点为原点的直角空间力*,*222zyxzyxFFFFFFFFF23投影。求各力在三坐标轴上的点作用

12、作用点点作用。其上长方体三边长为例补,N300,N200,N100m2,m312321FCFBFAcbabcaABCODxyz30F1F2F3N10030sinN310030cos, 0),(0N,100,22222211111FFFFFzxyFFFFzxyzyxz轴垂直于面平行于轴平行于先作简单的。解FF宜二次投影。显而与另两轴夹角不明轴夹角明显空间力。它与般又不平行坐标面，属一既不平行坐标轴,3zFN67583300sinsinN67583300cossinN1503322300cos333333332223333DCbFOCbDCOCFFFDCaFOCaDCOCFFFabccFDCcFF

13、FyxzF3xy24)(),cos(,),cos(,),cos(,222以上方法称为解析法合力作用点在汇交点。即可求合力大小及方向由合力的三个正交投影坐标系三轴投影得将等式两边同时向直角力由几何法知汇交力系合RRzRRRyRRRxRRzRyRxRzRzyRyxRxRFFFFFFFFFFFFFFFFkFjFiFFF合力大小和方向。构成平面汇交力系。求；作用于吊环上的四个力例,70,N30030,N3800,N55060,N3601244332211FFFFN1173)160()1162(N116270cos30030cos3800cos55060cos360coscoscoscosN16070s

14、in30030sin38060sin360sinsinsin,222244332211443311RyRxRxRxyRyFFFFFFFFFFFFFF在如图坐标系下解在第四象限。故RRyRRRxRFFFFiFiF, 086. 7),(9906. 011731162),cos(252.2.1 平面力偶系平面力偶系力偶矩 =Fd 是力偶转动效应的度量。逆转取“+”，为代数量，单位：Nm。力偶矩M是力偶的特征量。2.2力偶系dFF(力偶臂)等值、反向、不共线之二力称为力偶，记作（ F,F）F=-F , F=F。 d ：力偶臂力偶的效应是使刚体转动。26n力偶的性质(1)力偶在任一轴上投影为零；力偶对任

15、一点之矩等于其力偶矩。(2)力偶不能简化为一个力，也不能与一个力平衡。FFdM=FdFFdM=FddM=FdF2F22dM=FdMM=Fd(3)保持力偶矩不变，力偶在其作用面内任意移转或同时改变力和力偶臂大小，对刚体作用效果不变。故可用弯箭头表示力偶。对于已知力偶，M一般表示力偶矩大小。MM，.MM27n平面力偶系的合成iMM力偶矩的代数和。其力偶矩等于各一合力偶为平面力偶系的合成结果,M1MnM2MM1M230FF30BOA偶。求工件上作用的合力力的力偶，直径两端作用，大小为的圆工件上作用力偶矩如图例补N100mN20mN10m05. 02221FFMMR其真实方向。标对于已知力偶，图上应解

16、*mN155 . 005. 02100201030sin221RFMMMMiMABO28FdF2.2.2 空间力偶系空间力偶系力偶(F,F)作用面在空间任意方位时,力偶矩用自由矢量力偶矩矢M表示。由力偶中一力起点向另一力起点作矢量r, 则力偶矩矢M可表示为叉积： M= rFsin,rFFd M大小：偶矩矢的方向。大拇指伸直的方向即力右手表示力偶转向在力偶作用面内用垂直于力偶作用面。或方向：按叉积右手规则kjikjikjikjiFrMkjiFkjiryxxzzyzyxzyxzyxFFyxFFxzFFzyFFFzyxFFFzyxFFFzyx)()(,由解析法Mr29n 空间力偶系的合成222,zy

17、xizziyyixxiMMMMMMMMMM合力偶矩矢的大小轴上投影合力偶矩矢在直角坐标矢的矢量和。矩其力偶矩矢等于各力偶为一合力偶空间力偶系的合成结果MMn 空间力偶性质除平面力偶性质外,空间力偶在平行平面之间移动,不改变对刚体的作用。30kijkjiFrMMjjMiiM64)2()243(,10)(25124333321量叉乘展开。宜用矢不好直接确定方向没有沿坐标轴OxyzF1F1F2F2F3F34m2m3m,),(),(212211jMiMFFFF方向为方向为其力偶矩矢行面平作用在坐标面或坐标面和。先求各力偶的力偶矩矢解画在任意点皆可。量注意力偶矩矢为自由矢方向略合力偶矩矢：,*mkN21

18、0)6()10(86108641012222321MkjikijiMMMMMMi。求合力偶。已知长方体上作用三个力偶例kN2,kN5,kN3,22332211FFFFFFM1M2M3r31dF(力臂） O （矩心） 力对点之矩是力使刚体绕一点转动效应之度量，简称力矩。在平面内为代数量。O点：矩心；d：力臂定义式：MO(F)=Fd逆转为正，单位：Nm 或kNm力沿作用线移动 MO(F) 不变力过矩心， MO(F) =02.3任意力系2.3.0 力对点之矩力对点之矩32应用：合力矩定理合力矩定理)()(FFFFFFORORRMM的合力是诸MO(F)=aF2bF1OxybAFF2F1aaOAFFnF

19、tMO(F)=aFn33).(),(,FFFFFFFOMFdMAOO构成力偶点与点为平衡力系点FMFn 力的平移定理解释的力学现象 削球、单手攻丝等2.3.1 力的平移定理力的平移定理AOdFn 作用于刚体上的力，可以平移到其他点，再附加一个力偶而不改变对刚体的效应。附加力偶的矩等于原力对平移点之矩。AOdFFFAOFM34n 平面任意力系向一点简化平面任意力系F1、F2、Fn,向任一简化中心O点简化。根据力的平移定理，将各力平移至简化中心,并附加力偶。.)(OiRiiOiiiMMMM成为一个力偶构成平面力偶系，可合诸；合成为一个力构成平面汇交力系，可诸FFFFFOF1F2FnA1A2An2.

20、3.4 平面任意力系的简化平面任意力系的简化OF1F2FnM1M2MnOFRMO22）（）（位置无关。大小、方向与简化中心。它的于原力系各力的矢量和称为原力系的主矢，等yxRyRyxRxiiRFFFFFFFFFF35心位置有关。和。它的量值与简化中对简化中心之矩的代数力的主矩，等于原力系各称为原力系对简化中心)(iOiOMMMFn 平面任意力系简化结果主矢 FR 主矩 MO简化结果 FR 0MO 0合力FR ,不过O点MO = 0合力FR ,过O点 FR =0MO 0合力偶MOMO = 0平衡应用上述结论可以说明固定端约束：两正交反力及一反力偶AAFAxFAyMA*平面任意力系向一点简化,得作

21、用于该点的一力和一力偶。力用主矢表示,力偶用主矩表示。36hHacODBAPWQyx7264092. 210331. 410062. 9tankN1004.10062. 9331. 410kN10062. 920sin180109sinkN10331. 420cos180105 . 4cos,333223223333RxRyRyRxRyRyxRxFFFFFQWFFQPFF求出主矢、主矩。化先将各力向坐标原点简解mkN10033. 120sin121804 . 610910105 . 4sin)(533cQWaPhMMOOFRRRORFMdFFF得主矢向右上方偏移将主矢m289.101004.1

22、010033. 135点的距离。力作用线至。求主动力的合力及合，受平面力系作用长重力坝例OchaQPWOABD20m,12m,10m,4 . 6kN180,kN105 . 4,kN109,m13233FRMOdFR372.3.23 空间任意力系的简化空间任意力系的简化空间任意力系向一点简化,得作用于简化中心的一力和一力偶。该力矢量称为力系主矢FR,力偶矢量称为力系对简化中心的主矩MO。用矢量表示。空间力偶必须只是空间力对点之矩和似情况与平面任意力系类,)(FMMFFOOR空间任意力系的简化结果,除合力、合力偶、平衡外,还有力螺旋。力螺旋是一力与一力偶矩矢平行的最简力系。382.4平行力系与重心

23、2.4.1 平行力系中心平行力系中心iiiCiiiCiiiCiiiCiCiiiiCCCiRiRFzFzFyFyFxFxFFzyxCzyxCFF式：得平行力系中心解析公投影到三正交轴定理根据合力矩、引出矢径及诸力作用点由原点向合力作用点设合力作用点为。诸力在正向投影则合力及正向，选择某个平行方向为合力系中心。合力作用点称为平行力平行力系有合力时,) ,(),(,rrrrFFOyxCiriFiFRCF1FnCnC1zrC39大小和作用位置。求合力长的梁上作用在分布载荷集度例,m2N/m,60)(422xxq)(N16002360603202方向同分布力xdxxdFFFiR0, 0),(iiiCiC

24、CFyFyyyxC故皆有则因各力作用点设合力作用点为m5 . 102416060604202xFdxxxFxdFFxFxRRiiiCdxxdxxqdFdxxFFiR260)(,其上力微段处。取小合力大选平行力系方向为正解yxABq x( )xdxdFFRC40物体的每个微粒都受重力作用，这些微重力组成空间平行力系。该力系的合力即物体的重力。合力作用点即物体的重心。 iiiCiiiCiiiCiiiiiCCCPzPzPyPyPxPxzyxMzyxCOxyz重心坐标为根据平行力系中心公式。的坐标为其重心重力为各微元的的坐标为设其重心中，的物体在空间坐标系重力为,),(,),(PP2.4.2 物体的重

25、心物体的重心*物体在空间位置不同,重心坐标会不同。但是重心在物体内的位置是不变的。OxzCMiyCzCxCxiyiziyPPi41n 均质物体重心iiiCiiiCiiiCiiiiVzVzVyVyVxVxggVPgVPVVViV得重心坐标公式：去代入重心坐标公式，消则，个微元的体积为第，体积为均质物体密度为,n 均质平板重心iiiCiiiCiiiiAyAyAxAxttAVtAVAAAiAt得平板重心坐标公式：代入以上公式，消去则，个微元的面积为第，面积为均质平板厚,*均质物体重心即形心。*凡具有对称面、对称轴或对称中心的均质物体,其重心在对称面、对称轴或对称中心上。(参见表2-2)42n 组合法

26、求复杂形体重心复杂形体由几个简单形体组成时,只要各简单形体的重心及重力或体积或面积可求,即可用相应重心公式求其重心。求相切两均质圆盘重心例cm5cm,10,62rRcm7510510)(,0,223322332222222121rRrRrRrrRRAyAyryrARyRAxyxyiiiCC系统由两圆盘组成轴上系统重心在轴过切点。轴以对称轴为解yxOrRC43表。合法。半圆的形心可查即可用组值减去部分的面积代入负园。半圆半圆可看作：。原图形故图形有对称轴解,0,32rrRxyC圆是挖去的。求图形形心。例补332mm17,mm30,mm10022rrrRmm40)907(1413157000)90

27、7()7 .12(14134 .42157000,mm90717mm7 .12330434,mm14132302mm4 .423100434,mm1570021002322233222222212221iiiCAyAyyrAryrARyRAyxOC44第 3 章 平面力系的平衡3.1平面力系平衡方程n 平衡条件不共线）或不垂直或CBAMMMxABMMFMFFCBABAxOyx,(0)(0)(0)()(0)(0)(00)(00F FF FF FF FF FF Fn 平衡方程*平面力系有3个独立的平衡方程,可解3个未知量。平面汇交力系只有2个投影方程；平面力偶系只有1个力矩方程；平面平行力系有2个

28、独立方程。于是有）（）（即为零则力系的主矢、主矩皆平衡平面力系简化结果若为0)(,22iOiOyxRMMMFFFF045n 列方程的方法、技巧尽量列写一元方程，列一个求解一个。只有不能列写一元方程时，才列写联立方程求解。 投影方程：以某些未知力的垂直方向为投影轴 求矩方程：以几个未知力交点为矩心n 解题步骤1)选对象，画受力图2)列方程，解方程46所受力。和求杆三处为铰链连接、滑轮大小不计杆件自重、摩擦及简易起重机起吊重量例补ACABCBAP,kN213受力图如右。可同时平移至滑轮轴。；滑轮两边拉力对滑轮轴反力沿杆轴线件为二力构、以滑轮轴为对象解,) 1ACABBACP306045)kN(14

29、6. 32)23(2)45cos30(cos030cos45cos, 0)kN(414. 02)21 (245sin30sin030sin45sin, 0,)21111压压平面汇交力系PPFPPFFPPFPPFFACACyABABx。影；约束力负值的意义坐标轴的设置应便于投互为作用与反作用力。、所受力与、杆*ACABACABFFAPFABFACP1yx304547求两端约束力。一端置于光滑斜面上上作用力偶如图水平梁例补,23MlAB ABM45方向确定。光滑斜面约束力以梁为对象解,ABBiFlMlMFMlFM245sin045sin, 0构成力偶。与可见平衡力系。力偶必须用力偶构成平衡、端一个

30、约束力与BABMAFFF,FB45FAd48。受力图。坐标设置如图画对象解除约束以整个系统为对象解,) 1例3-1 小型起重机自重G=5kN,起吊重量P=10kN。求轴承A、B处的约束力。kN7)7(0, 0kN751035530315, 0)(kN150, 0)3(,)2ABxABxxAABByByyFFFFFPGFPGFMPGFPGFFF个独立方程平面力系可列解方程列方程*求约束力的步骤。*投影轴的设置,矩心的选取,方法的多样。*中间量的引用,负值的意义。3m5m1mCDAGPBFAFBxFByxy49)(,) 1出正常的坐标设置可不画受力图。画对象解除约束为对象以梁解AB例3- 均质水平

31、梁AB重P，AC段受均布载荷作用,载荷集度为q, BC段受力偶作用,力偶矩M=Pa。求A、B处支座反力。4/ )6(202, 04/ )23(4/ )22(4/ )22(02240)(0, 0,)222aqPFPaqFFPaqFFaqPaqaPaPaaqaaPMFaaqaPMaFMFFBAyBAyyBBAAxxF解方程列方程*力偶投影、求矩的计算*均布载荷投影、求矩的计算*列写方程的顺序2a4aqMACBPFAyFAxFB50力图。画立柱受解除约束以立柱为对象解,) 1例3-3 求如图立柱A处固定端约束力。0.6m0.7m0.5m0.2m304kN6kN2.5kN5kN mAkN2 .1230

32、cos5 . 210030cos5 . 264, 0kN25. 130sin5 . 2030sin5 . 2, 0,)2AxAxxAyAyyFFFFFF解方程列方程*固定端约束力画法*力的正交分解及合力矩定理应用*力偶的投影、求矩mkN3 .1630sin5 . 26 . 030cos5 . 24 . 1542 . 167 . 0030sin5 . 26 . 030cos5 . 24 . 1542 . 167 . 0, 0)(AAAMMMFFAyFAxMA51ealbP1PP2ABC作出其受力图。解除约束以起重机为对象空载情况。要求。分别考虑满载和轨道反力需满足一定的起重机平衡时解,例3-4

33、起重机重P1=500kN,起吊最大载荷P=210kN。a=6m, b=3m, l=10m, e=1.5m。设计要求每个轨道反力不得小于50kN。求平衡重P2。50)(0)(, 0)(kN,210,1212AAABAFblPePPbaFlPePbFPbaMP令存在。保证可能右翻。若要平衡须满载时FFkN3 .3335050)(1212balPePbPblPePPba解得即kN3506350500)5 . 13(50)(50)(50)(0)(, 0)(, 0,12212112abPebPbaPPebFbaPPebFPebbFaPMPBBBAB解得即令存在。保证可能左翻。若要平衡须空载时FFkN35

34、0kN3 .3332 P起重机正常工作时应有FAFB52n 静定与静不定静定：系统中未知量的个数不超过独立平衡方程个数，称静定问题。静不定：系统中未知量的个数超过独立平衡方程个数，称静不定问题。3.2物体系统的平衡*求解物体系统的平衡问题,原则上应首先判断问题的静定性。静定静不定53n 物体系统的平衡 n 选取对象的顺序和方法一般先以整体为对象，当从整体不能求出所需未知量时，再分离整体；求某处内约束力，必须从该处分离整体；优先选取未知量少、几何关系简单的分离体为对象。有时可求出某多余未知量,以便求所需未知量。 物体系统平衡时，其中任一部分都是平衡的。因此，可用任一部分为对象求未知约束力。n 列

35、写方程的方法、技巧尽量列写一元方程，列一个求解一个。只有不能列写一元方程时，才列写联立方程求解。 投影方程：以某些未知力的垂直方向为投影轴。 求矩方程：以几个未知力交点为矩心。n 解题步骤（1）选对象，画受力图（2）列方程，解方程54 例补3-3 杆AB,CD在E处铰接,重物W=1kN,通过滑轮悬挂在C点,r=0.2 m,求A,D支座反力。后拆分：求得求得整体：分析AxxDxANFNM, 0, 0)(FAyyDyEDyyAyENFNMCDNFNMAB求得整体：，求得：或，求得整体：求得及滑轮：, 0, 0, 0, 0C0.5m45Br0.5mDEA0.5m45Br0.5mDEANAxNDxNA

36、yNDyWCBrEANAxNAyWWDNDxNDyEWC55kN4 . 2)kN4 . 2(0, 0kN4 . 25 . 012 . 15 . 02 . 102 . 15 . 0, 0DxAxDxAxxDxDxANNNNFWNWNM先以整体为对象，解*复杂问题可先确定方案，即选对象的顺序、列方程的顺序，再实施方案。*滑轮、绳索受力分析；代入中间量时原来的“+、-”号不能变kN15 . 07 . 02 . 002 . 07 . 05 . 0, 0WWWNWWNMABAyAyE及滑轮为对象，再以kN2) 1(10, 0AyDyDyAyyNWNWNNF再以整体为对象，0.5m45Br0.5mDEAN

37、AxNDxNAyNDyWCBrEANAxNAyWW56 例3-5 结构如图,绳子跨过滑轮,端点受F=2000 N水平力,不计各构件自重,求杆AC在B处受力。303030404020ABCDEF2030杆取在一起。宜与处分离整体。滑轮从须所求为系统内力解ACB,得所求量联立方程。矩点求二对象分别对。一元方程不可能。知属已绳拉力处处相等未知量二对象皆含,),(4DCByByBxBxByBxDByBxCFFFFFFFFFFMBDFFFFMAC,0308070, 0)(0304010080, 0)(1111FF：N47.75,N4 .943387234ByBxByBxByBxFFFFFFFF解得ACF

38、FCxFCyFBxFByF1BEFDxFDyF1DFBxFByB57例3-6 结构如图,物重P, 不计各构件重量,求支座A的约束力及杆AB、AC在A所处受力。受力图。、画出整体、约束力也有内所求有系统外约束力解ACAB,投影求得。轴可由上的在整体上求得。可须先求得而求易求上容易求得。分析：整体上yFACFFFABFFRBxyAyAx,2/, 0, 02/, 02, 0)(, 0, 0PFFFFFPFaPaFMPFPFFAxBAxBxAxAxBAyAyyF整体：2/, 0, 0)(0, 0PFFaFaFMFFABBxBxDyyF：PPFPFFACRRy245cos/, 045cos, 0及重物：

39、*受力分析必须先明确对象,则对象所受约束力易由约束类型确定。*复杂问题先作方案分析是必要的；识别二力构件将使问题简化。aaaABCDPFAyFAxFBABDFyFxFBFDFRACPFD58画受力图。以整体为对象解,处约束反力。和求上作用力销钉分布载荷作用处铰链连接。梁受线性在水平梁例BACaPqCCDACB,/2,73P增加方程个数。须分离整体未知量从整体无法求出其余,3位置如图。段分布载荷简化为可不用。用整体对象，优先选用。然后继续上未知量少比较二分离体,22)(,12PqqaFPaPaqaFCBACCDCBC6523223220322, 0)(1212PPPFFFFaFaaFMCDBBC

40、F：位置如图。分布力简化为再以整体为对象,222,PaqFB625653237203)323(2, 0)(613, 0, 0PaPaPaaPMaFFaaaPMMPFPFFFPFFFABAABAyAyByF0, 0AxxFF*分布力简化,投影,求矩*对象的选择ACBDaaaaqBPFBFAxFAyMACBDFBPqBqCACFAxFAyMAqCa2F2a3F1F2a3591 静滑动摩擦静滑动摩擦 PFNFsFn 两物体相互接触，有滑动趋势但仍平衡时，接触面产生的阻力称静摩擦力。 静摩擦力作用于两物体接触处，沿接触处切线，其方向与物体滑动趋势相反。n 最大静摩擦力FmaxFmax =fFN物体在F

41、max作用下处于临界平衡状态。 FN:接触面间法向压力；f:两物体间的静摩擦系数，与材料性质有关。n 一般平衡状态静摩擦力Fs 0 Fs fFNFs随主动力变化而变化，满足平衡方程。2 动滑动摩擦动滑动摩擦n 两物体相互接触且相对滑动时，接触面产生的阻力称动摩擦力。Fd=f FNf :两物体间的动摩擦系数，与材料性质有关。f, f 见表3-1。3.4摩擦603 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 根据对象平衡时的运动趋势，正确画出摩擦力,依据不同平衡状态，列写平衡方程求所需参数或判断对象是否平衡。n 临界平衡分析法临界平衡状态下，由平衡方程和Fmax=fFN直接求所需参数。n 平衡范围分

42、析法一般平衡状态下，先将所求参数当作已知，由平衡方程求出Fs、 FN，再代入FsfFN，解不等式即得所求参数范围。判断是否平衡时，先假定平衡，由平衡方程求出Fs、FN，若FsfFN，则确实平衡；若FsfFN，则不平衡。*有时一个问题用两种方法都可求解。两种求解方法两种求解方法61例补3-4AC=BC=l,为均质杆。A,C点铰接，B端蹬在铅直墙上。杆与墙间摩擦系数为f，求系统平衡时角的范围。CABBWAWCFsFN解 摩擦问题,平衡范围分析法，先求Fs,FN。cot20cos22sin2, 0)(NNWFlWlFMAF以整体为对象，2arctan2tancot2,0cossincos2, 0)(

43、NsNsssNffWfWfFFFFWFlFlFlWMBCC即代入将为对象，再以FFsBWCFN62面上平衡。试判断物体能否在斜水平拉力摩擦系数为的斜面上的物体放在倾角为重习N100, 7 . 0,20N981323FPFP20力图。设置坐标轴。画出一般平衡时物体受假定物体平衡解,N3 .6216 .8877 . 0N6 .88720sin10020cos98120sin20cos020cos20sin, 0N5 .42920sin98120cos10020sin20cos020sin20cos, 0NNNfFFPFPFFFPFFPFFFyssx物体能在斜面上平衡。,NsfFF FFsFNPx2

44、0y63解 以物体为对象，用平衡范围分析法。FP)tan(tantan1tantansincoscossin)cossin(cossin,cossin0cossin, 0cossin0sincos, 0NsNsNNsssPPPffFPFfFPfFFFFPFFPFFFFPFPFFFyx代入将沿斜面向上，时，物体有下滑趋势而平衡F)tan(tantan1tantansincoscossin)cossin(sincos,cossin0cossin, 0sincos0sincos, 0NsNsNNsssPPPffFPFfPFfFFFFPFFPFFFPFFFPFFyx代入将沿斜面向下，时，物体有上滑趋势

45、而平衡F)tan()tan(PFP综合两种情形，FFsFNPxy下滑趋势FFsFNPxy上滑趋势的范围。求物体静止时水平力且即摩擦角为的物体的斜面上放一重倾角为例FP),tan(,103f64的最小值。求拉动轮轴所需力别为及水平面间摩擦系数分与杆重；轮轴重长均质杆例F2 . 0, 4 . 0N,3000.3m,m,1 . 0N500,m411321BAffPRrPOCRr3m1mOACBF.显露出摩擦。图分别画杆和轮轴的受力故作临界平衡分析。点摩擦力达到临界值。点或“拉动”即点接触上点和杆轮轴与水平面解,ABAOCBN633, 0, 0N333N3333/50023/2023, 0)(NB2N

46、ANBNANA1NA1NAFPFFFFFPFPFMyO轮轴：杆：FN2662, 02 . 04 . 0, 0)(,N1333334 . 0maxmaxNAmaxAABAAAFFFFMFfFFF系统达到临界平衡状态若CFOxFOyP1FNAFAO.AAFP2BFNAFBFNBFA.)N(254N2542, 04 . 02 . 0, 0)(,N1276332 . 0minmaxmaxNBmax点先滑动故系统达到临界平衡状态若BFFFFFMFfFFBBABBBF65第三篇 运动学与动力学运动学从几何角度研究物体运动要素轨迹、运动方程、速度（角速度）、加速度（角加速度）及其关系。动力学则研究物体运动与

47、受力之间的关系。运动学和动力学的研究对象为质点、质点系和刚体系统。质点是具有质量而不计大小的物体，是一种科学抽象。物体在空间的位置和运动是相对于一定的参考系来确定的。工程中将固连于地球的坐标系作为参考系。描述物体运动时常用到瞬时和时间间隔的概念。瞬时指某一时刻，时间间隔指两个瞬时相隔的时间。662 点的速度点的速度1 点的运动方程点的运动方程第 10 章 运动学基础动点M在空间作任意曲线运动，由参考点O 向M作矢量r,r称为动点M的矢径。随着M的运动，r是时间的函数。r=r(t) 称为动点矢量形式的运动方程，矢端曲线AB即M点的轨迹。向。单位：描述点运动的快慢和方沿轨迹切向速度矢量sm,dd/

48、tvrvr r3 点的加速度点的加速度。向的变化。单位：描述点的速度大小和方总是指向轨迹凹的一方加速度矢量22sm,dddd/ttavar rr r 2OABMrOABMraOABMrv10.1矢径法6710.2直角坐标法1 点的运动方程点的运动方程，即得点的轨迹方程。运动方程消去时间ttfztfytfx)()()(321xyzrkOiyjzxaBAvM2 点的速度和加速度点的速度和加速度222ddzyxzyxzyxvvvvzvyvxtxvvvvvkjiv22222ddddzyxzyxxzyxaaaazayaxtxtvaaaaakjia 运动方程。得速度、速度逐次积分得速度、加速度；由加由运动

49、方程逐次微分平面作曲线运动。点沿轴作直线运动；点沿,*00, 0*xyzxzy68度及加速度。的轨迹、运动方程、速一点；试求轮缘上任轮心匀速为上纯滚动的圆轮在水平直线轨道半径为例MR0,210vyxO BCAMxyEDv02称旋轮线。也是轨迹的参数方程。点的运动方程此即,M。通过圆轮最高点说明EMEMDRRvv,RRRvvvRyvRRRxvxyxyxviv2sin2sin2)cos1 ()cos(2sin2sin)cos1 ()(sin)cos1 (cos212222222122vRtvRRRRBMyRtvRtvRRBCOCxRvRtvRtvOCtyAMtOxy000000coscossins

50、in0,0,?MC69。指向轮心说明AMAMDRRaa,RaRvaRvaxyyxxaiasinsin)cos(cossin22222yxO BCAMxyEDv0va例补10-1 椭圆规机构，连杆AB长为l ，两端与滑块铰接，滑块可在导轨内滑动，=t，AM=2 l /3，求连杆上点的运动方程和轨迹方程。)(1)3/()3/2(,)(sin31sin31cos32cos322222轨迹方程消去时间运动方程在所设坐标系中，解lylxttllytllxxyABMO70 当点的轨迹已知时，沿轨迹建立弧坐标 s ,轨迹上任一点M有切向,法向n两个单位矢量。于是可用自然法描述点的运动。速度矢量沿轨迹切向st

51、svstsddddv)()(dddd22222全加速度径为轨迹在该点的曲率半方向的变化法向加速度，表示速度大小的变化切向加速度，表示速度nnnaaaaavaststvana OMn()()1 点的运动方程点的运动方程)(tfs 2 点的速度点的速度3 点的加速度点的加速度10.3自然法vaO1ana71时的加速度。求起点和速度达到经过动。初速为零的圆弧轨道作匀加速运列车沿半径例s120m/s15s120,m1000310tR200221200150m/s125. 0, 0, 0m/s125. 0120150120015)(dddd,ddaaaRvavatavatavtavtvan起点为常数22

52、22m/s125. 0,m/s225. 0100015, s120aRvatn点。知初速和末速。瞬时在点列车初瞬时在沿圆弧轨道设弧坐标解AtOs120,1s(+)ROvAa0ana72例补10-2 杆AB在A端铰接固定，环M将AB杆和半径为R的固定圆环套在一起。 AB与铅垂线夹角=t。求环的运动方程、速度、加速度。ABOOMs2s2va针为弧坐标正向。点为弧坐标原点，顺时以然法。的轨迹为圆周，故用自为研究对象，已知以环解OMM22222244)2(0dd2dd22RaaRRRvatsaRtsvtRRsnn73刚体运动时其上任一直线始终与其初始位置保持平行,称为刚体平动。刚体平动时其上点的轨迹可

53、能是直线、平面曲线或空间曲线。平行且相同。迹与轨所以轨迹。由于轨迹分别为矢径分别为平动刚体上任意两点212122112121,BBBAAAAB ABBABBBAAABABArrBABABABAttBAtBAaavvrrrr再对时间求导，即，为常矢量求导两边对时间刚体平动过程中始终有dddd)(平动刚体上各点轨迹相同，任一瞬时速度、加速度也相同。所以平动刚体运动的研究可以归结为点的运动来研究。vAaAvBaB10.4刚体平动74刚体运动时其上有一直线始终保持不动,称为刚体定轴转动。不动的直线称转轴。1 1 转动方程转动方程转轴逆时针为正。单位：称为转动方程随时间变化，刚体转动时转角rad.,)(

54、tf2 2 角速度角速度30602min),/ r (rad/s.,dtdnnn工程单位：大小表示转动快慢。的正负表示转动方向，逆时针为正。单位：称为转动角速度3 3 角加速度角加速度，转动减慢。同号，转动加快；异号与逆时针为正。单位：即为转动角加速度.rad/sdddtd222 t10.5刚体定轴转动75刚体定轴转动与点的曲线运动比较刚体定轴转动点的曲线运动转动方程 运动方程角速度速度角加速度切向加速度匀速转动匀速运动匀变速转动匀变速运动)(tt dd22ddddttt0cc221202200ttt)(tss tsvdd22ddddtstvavtss0cv ca savvtatvstavv2

55、21202200。，逐次积分得；由，逐次微分得由)()()(ttt76然法：点弧坐标的起点，由自点设为的起始，以转角转动半径为圆周。任意点为已知，其上各点轨迹皆定轴转动刚体MORM,422n2RaaaORsMOavOaan同一半径上各点的速度、加速度呈线性分布。10.6转动刚体上各点速度和加速度转向一致。指向与,)(OMRRsvtRsv转向一致。指向与,OMRvaa沿半径指向转轴。n222naRRvvavaana77角加速度的关系。角速度求从动轮与主动轮齿数分别为两齿轮节圆半径角加速度主动轮角速度外啮合齿轮例,410212111zzrr反向与即速度相同啮合点解122211,rrBABA vv1

56、1A B反向与即有两边对时间求导122211,BArraa转向相同。但角速度、角加速度传动同样适用、皮带轮上述结论对内啮合齿轮由此可得,12122121zzrrvAvB22vAvB1A B1221122ABvAvB78速度、加速度。点的时，轮边缘上下降速度。求重物自静止以匀加绳，绳端挂重物细轮上绕有不可伸长的分别为轮和轮固连，半径例补221,310BhARRaR1R2B2AhaB1。即，切向加速度点速度即为轮上。时速度为下降由直线运动可求得重物。点的即可求得其上，固连轮的。再由，可求得固连轮的切向加速度相等，由此的速度，上切点的速度，加速度与轮重物解aaaavahBahvhBBAn22,122

57、2211212222n22212222122212222412,2RRhaRaaaRahRRaRaRRaRahRRvBn点：轮上vvatvaa2a2nv21111,2RaRaRahRv由此固连轮79。、点的瞬时求摆动规律，上固连在横杆雨刷例补avCttAOOOABrBOAOABCD(s)81(rad),sin24cm,30,41012121ACBDO1O2.,:)(:,1121的上，故需求转动刚体点又在定轴，、可化为求、求平动定轴转动已知定轴转动，系统含解：分析AOAOAABCDBOtAOAACCavavcm/s68.1044/230rad/s4/2,8/2cos2) 1 (222rvvstt

58、/AC时反向，取与负号表示时233rad/s2/2,8/sin2)2(sttvAvC222222223cm/s36.752cm/s28.365)4/2(30cm/s74.6572/230AnAACAnCnACaaaaraaraaDACBO1O2aAaAaAnaCaCaCn80系统运动分析方法首先分析系统包含哪些刚体，每个刚体的运动形式，已知运动要素有哪些，需求运动要素是什么。重视刚体间关联点的运动 (两刚体的关联点在运动中瞬间接触而无相对滑动) 。一般关联点v,a相同。注意区分对象一般过程的运动描述和确定瞬时的运动量。一般过程的运动要素中t,v(t),a(t), (t),(t)都是变化的，运动

59、图上对象要画在一般位置；某一确定瞬时的运动要素都是确定值，运动图上对象要画在确定位置。81不同参考系中观察同一个点的运动雨滴对地面上观察者：垂直下落雨滴对车上观察者：斜向后落轮缘点对地面：旋轮线轮缘点对车厢：圆周车刀对地面：直线车刀对旋转工件：螺旋线点的合成运动将要研究点对不同参考系运动间的关系第 11 章 点的合成运动82n 动点、定系、动系 动点：作为研究对象的点 定系：不动的参考系，一般固连于地球。 动系：对定系有运动的参考系 三种运动三种运动定 义观察者位置对象性质命名绝对运动动点对定系的运动定系动点点的运动 按绝对轨迹相对运动动点对动系的运动动系动点点的运动 按相对轨迹牵连运动动系对

60、定系的运动定系动系刚体运动 平动或转动绝对轨迹AyO定系x相对轨迹动系M(动点)xB11.1绝对运动、相对运动、牵连运动83n 动点、动系、定系与三种运动的关系相对运动动系定系牵连运动绝对运动动点84n 三种速度绝对速度va：动点对定系的速度相对速度vr：动点对动系的速度牵连点：动系上某瞬时与动点重合的点牵连速度ve：牵连点对定系的速度AM=cEBBExvavrve右图小环M为动点、动系与AB固连。绝对运动：平面曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动三种速度如图。AM=cEBxaanaaaraen 三种加速度 绝对加速度aa ：动点对定系的加速度 相对加速度ar ：动点对动系的加速度 牵