相似矩阵与矩阵对角化和条件

1、4.3.1相似矩阵与相似变换的概念相似矩阵与相似变换的概念.,., , 111的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵进行相似变换称为对进行运算对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA记作记作AB例如： ， ，找出 满足 ，所以 。 1513A2004B5111P616161651PBAPP1BA矩阵的相似关系是一种矩阵的相似关系是一种 等价关系等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质.本身相似本身相似与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相相似似与与则则相相似似与与相相似似与与若若CACBBA反身

2、性反身性)1()2(对称性对称性传递性传递性)3(PAPkPAPkPAkAkP21211122111)2(.,21是是任任意意常常数数其其中中kk.)3(2111211PAPPAPPAAP.,)4(为正整数相似与则相似与若mBABAmm相似变换的性质相似变换的性质|,).1 (BABA则11,;,)5(BABABA有当可逆时同时可逆或同时不可逆则若证明证明相相似似与与BAAPPPEPBE11PAEP1PAEP1.AE BAPPP 1,使使得得可可逆逆阵阵., 1的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而式相同式相同的特征多项的特征多项与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若定理定理BABABAn推论

3、推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵n n 21.,21个特征值个特征值的的即是即是则则相似相似nAn ?,1000000210100002:yxyBxA则相似与已知矩阵例, 001101100010|1|1, 2,:xxAEyBBABA即的特征值为又有相同的特征值解1) 1)(1)(2(1010002, 0|010100002yAEA得解即., 1对角化对角化这就称为把方阵这就称为把方阵为对角阵为对角阵使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对AAPPPAn 证明证明,1为为对对角角阵阵使使假假设设存存在在可可逆逆阵阵 APPP .,21npppPP 用用其其列列向向量量

4、表表示示为为把把三、利用相似变换将方阵对角化三、利用相似变换将方阵对角化.)( 2个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有的的充充分分必必要要条条件件是是能能对对角角化化即即与与对对角角矩矩阵阵相相似似阶阶矩矩阵阵定定理理nAAAn nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于于是是有有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由., 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA .,21线线性性无无关关所所以以可可逆逆

5、又又由由于于npppP命题得证命题得证., PAPPnnnA使使阵阵个特征向量即可构成矩个特征向量即可构成矩这这个特征向量个特征向量得得并可对应地求并可对应地求个特征值个特征值恰好有恰好有由于由于反之反之说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论nAAn如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化AAnnA例

6、例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解AE 由) 1 ( 722 0 242422221. 7, 2321 得得得方程组代入将, 02121AE04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.110,10221 , 0, 73xAE由对求得基础解系求得基础解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由于由于.,321线线性性无无关关所所以以 .,3 化化可对角可对角因而因而个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有即即AA,同理同理201335212

7、AE 31 201335212)2(A. 1321 的特征值为的特征值为所以所以A, 01xAE代入把解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解163053064AE 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A得方程组代入将0121xAE 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 得方程组的基础解系代入将, 02

8、 3xAE .1 , 1 , 13 T .,321线线性性无无关关由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P可对角化为实对称矩阵时可对角化则对应特征根的重数特征向量的个数关重特征值对应的线性无的可对角化则的特征值均为单根时可对角化的条件矩阵小结AAAnAAAA,. 3,. 2,. 1:,12,11,10, 9 , 8 , 6

9、972 . 3 . 4,92习练习例PP1 1相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵APP1 P,111111111 A.00100100 nB思考题.,是否相似是否相似判断下列两矩阵判断下列两矩阵BA思考题解答. 0,)( )()det( 211 nnnAnEA的特征值为的特征值为因因解解使得使得矩阵矩阵存在可逆存在可逆是实对称矩阵是实对称矩阵又又, 1PA),0 , 0 ,(111ndiagPAP ,)( )()det( 1 n