等腰三角形期中复习课

1、 没有谁能够随随便没有谁能够随随便便成功！便成功！等腰三角形复习等腰三角形复习如图，线段如图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在直线在直线a a上，以上，以ODOD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线线a a上，这样的等腰三角形能画多少个上，这样的等腰三角形能画多少个? ?a150知识回顾知识回顾 变式变式:若上题中若上题中,把周长分为把周长分为9cm和和6cm,则底边长是则底边长是_3cm或或7cm 例例1 如图如图1，已知等腰三角形一腰上的中线，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为把三角形周长分为12cm和和15cm两部分，两部分，

2、求它的底边求它的底边BC的长的长要分两种情况讨论：要分两种情况讨论： 设设ADx (1)当当ABAD12，BCDC15时，时， 2xx12， x4，即，即ABAC8 周长是周长是121527， BC11： (2)当当ABAD15，BCDC12时，时， 2xx15， x5 即即ABAC10 周长是周长是121527， BC7 综上可知，底边综上可知，底边BC的长为的长为7cm或或11cm 点拨点拨 解决等腰三角形解决等腰三角形求边长或周长问题时，求边长或周长问题时，解题关键是要解题关键是要分情况讨论分情况讨论，明确已知边是明确已知边是腰还是底腰还是底，并根据三角形的并根据三角形的三边关系三边关系

3、定理检验各情况是否成立定理检验各情况是否成立 例例2 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为一腰所在直线的夹角为40，则此等腰三，则此等腰三角形的顶角是角形的顶角是_误区警示误区警示 不少学生只考虑锐角三角形的情况，不少学生只考虑锐角三角形的情况，如图所示：图如图所示：图4(1)中中A50 思路分析思路分析 根据题意，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨根据题意，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论：论： (1)当等腰三角形为锐角三角形时，如图当等腰三角形为锐角三角形时，如图4(1)所示所示 EF为为AB的垂直平分线，的垂直平分线， AEF9

4、0 又又AFE40， A180904050； (2)当等腰三角形为钝角三角形时，如图当等腰三角形为钝角三角形时，如图4(2)所示所示 EF为为AB的垂直平分线，的垂直平分线， AFE90 又又AEF40， EAF180904050， BAC18050130 综上，等腰三角形的顶角为综上，等腰三角形的顶角为50或或130 点拨点拨 解决此类问题的关键是注意解决此类问题的关键是注意等腰三角形的顶角为锐角和钝角时等腰三角形的顶角为锐角和钝角时一腰的垂直平分线与另一腰的交点一腰的垂直平分线与另一腰的交点位置不同，应分锐角三角形和钝角位置不同，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论三角形两种情况讨论名名

5、称称图图 形形性性 质质 判判 定定等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C在一个三角形中，在一个三角形中，等边对等角等边对等角三线合一三线合一在一个三角形中，在一个三角形中，等角对等边等角对等边两边相等两边相等两腰相等两腰相等轴对称图形轴对称图形等腰三角形的性质和判定是怎样的？等腰三角形的性质和判定是怎样的？AOBC讨论一下！讨论一下！已知：已知：( (如图如图) )在在ABC中中，OAOCAB.请你说明：请你说明：B2C.AOBC讨论一下！讨论一下！已知：已知：( (如图如图) )在在ABC中中， B2C ，AOAB.请你说明：请你说明： OAOC.讨论一下！讨论一下！ACO O O

6、O O OBH H已知已知： ( (如图如图) )在在ABC中中， B2C ，AHBC.请你说明：请你说明： CHABBHHCOBA已知已知： ( (如图如图) )在在ABC中中， B2C ，AHBC.请你说明：请你说明： CHABBHCHBAD继续讨论！继续讨论！已知已知： ( (如图如图) )在在ABC中中， B2C ，AHBC.请你说明：请你说明： CHABBH已知已知： ( (如图如图) )在在ABC中中，B2C ， ACAM平分平分BAC.1 12 2请你出招！请你出招！请你说明：请你说明： ACABBMOMBAMBCD请你出招！请你出招！1 12 2已知： (如图)在ABC中，B2

7、C ， AM平分平分BAC .请你说明：请你说明： ACABBMAMBCD请你出招！请你出招！1 12 2已知： (如图)在ABC中，B2C ， AM平分平分BAC .请你说明：请你说明： ACABBMAMBCD请你出招！请你出招！已知： (如图)在ABC中，B2C ， AM平分平分BAC .请你说明：请你说明： ACABBM D一起欣赏！一起欣赏！变变1如图，已知如图，已知ABC中，中，AB = AC = 10厘米，厘米，BC = 8厘米，厘米，B =C，点，点D为为AB的中点的中点n（1）如果点）如果点P在线段在线段BC上以上以3厘米厘米/秒的速度由秒的速度由B点向点向C点运动，同时，点点

8、运动，同时，点Q在线段在线段CA上由上由C点点向向A点运动点运动n若点若点Q的运动速度与点的运动速度与点P的运的运n动速度相等，经过动速度相等，经过1秒后，秒后，nBPD与与CQP是否全等，是否全等，n请说明理由；请说明理由；AQCDBPn若点若点Q的运动速度与点的运动速度与点P的运动速度的运动速度不相等不相等，当点当点Q的运动速度为多少时，能够使的运动速度为多少时，能够使BPD与与CQP全等？全等？n（2）若点）若点Q以以中的运动速度从点中的运动速度从点C出发，出发，点点P以原来的运动速度从点以原来的运动速度从点B同时出发，都逆同时出发，都逆时针沿时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点三边运

9、动，求经过多长时间点P与点与点Q第一次相遇？第一次相遇？nAQCDBP变变2如图所示，在如图所示，在RtABC中，中，BAC=90，点，点D，E在在BC上，且上，且BE=AB，CD=AC，求，求DAE的度数的度数 再变再变（1）如图，在）如图，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC，点，点D在在BC上，且上，且BD=BA，点，点E在在BC的延长线上，且的延长线上，且CE=CA。试求。试求DAE的度数。的度数。n（2）如果把第（）如果把第（1）题中）题中“AB=AC”的条件去的条件去掉，其余条件不变，那么掉，其余条件不变，那么DAE的度数会改变吗？的度数会改变吗？并说明理由。并说明理由。变变3

10、（2013秋秋富阳市校级期中）富阳市校级期中）如图，如图，AD=BC=BA，那么，那么1与与2之间的关系是之间的关系是（）（） 变变4（2013秋秋海门市校级期中）海门市校级期中）如图，如图，EAF=15，AB=BC=CD=DE=EF，则，则EFD等于（）等于（） GFDECAB再变再变1如图，如图，GFAF于于F，且，且AB=BC=CD=DE=EF=FG，求，求A的度数。的度数。再变再变2（2013秋秋宁波期中）宁波期中）如图，钢架中如图，钢架中A=16，焊上等长的钢条，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4来加固钢架，若来加固钢架，若AP1=P1P2，则这样，则这样的钢条至多需要（）根

11、的钢条至多需要（）根 再变再变3（2013绍兴）如图钢架中，焊上等长的如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，则则A的度数是的度数是 性质性质2 2：等腰三角形的等腰三角形的顶角的平分顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线、底边上的中线、底边上的高互相重合（互相重合（三线合一三线合一）也就是说也就是说： 等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边垂直平分底边.在在ABC中中（1）AB=AC，ADBC，_=_，_=_；（2）AB=AC，AD是中线，是中线，=，_；（3）AB=AC，AD是角平分线，是角平

12、分线，_，_= =_. CAB 1 2D D等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性的性质质用符号语言表示为：用符号语言表示为：1 12 2B BC C1 12 2ADADBCBCADADBCBCBDBDCD例例1 1 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，点，点D，E 在边在边BC上，且上，且AD=AE. 求证：求证：BD=CE.举举例例证明证明 作作AFBC，垂足为点，垂足为点F，则则AF是等腰三角形是等腰三角形ABC和等腰三角形和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线底边上的高，也是底边上的中线. BF=CF， BF- -DF=CF- -EF，DF=EF，即即

13、BD=CE.F A B C D E F如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC，D为为BC的中点，的中点，DEAB，DFAC,则则DE=DF。请说明。请说明理由。理由。如图：在如图：在ABC中，中，AB=AC，BD=CD.求证：求证：OB=OCDCBAO你的细心加你的耐心等于成功！ 如图：如图：ABC中，中，AB=AC,AD和和BE是高，它们是高，它们相交于点相交于点H，且，且AE=BE。 求证：求证：AH=2BDABCDEH证明：证明：AB=AC,AD是高是高,BC=2BD12又又BE是高，是高，ADC=BEC=AEH=90在在AEH和和BEC中中AEH BEC(ASA)

14、1+C=2+C=90 1=2 AEH=BECAE=BE1=2 AH=BCAH=2BD名名称称图图 形形性性 质质 判判 定定等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C在一个三角形中，在一个三角形中，等边对等角等边对等角三线合一三线合一在一个三角形中，在一个三角形中，等角对等边等角对等边两边相等两边相等两腰相等两腰相等轴对称图形轴对称图形等腰三角形的性质和判定是怎样的？等腰三角形的性质和判定是怎样的？1 1. .在在ABCABC中中, , 已知已知A=40A=40,B=70,B=70, ,判断判断ABCABC是什是什么三角形么三角形, ,为什么为什么? ?答：等腰三角形。答：等腰三角形。C=

15、180- A- B=180-40-70=70 B= C ABC是等腰三角形是等腰三角形变式变式已知：已知：A=40, B等于多少度等于多少度,判断判断ABC是等腰三角形是等腰三角形,为什么为什么? 变式1:已知在已知在ABC中中, AB=AC, BE、CD分别平分别平分分 ABC、 ACB，且相交于点，且相交于点O， 试说明试说明BOC是等腰三角形。是等腰三角形。外角的角平分线1212ODEABCODEBAC变变2：如图：如图,BD是等腰三角形是等腰三角形ABC的底边的底边AC上的上的 交交AB于点于点E, 判断判断BDE是不是是不是 高高,DEBC, 等腰三角形等腰三角形,请说说理由请说说理

16、由.ABCDEOABCDE已知已知: :如图如图,在在ABCABC中，中，BOBO、COCO分分别平分别平分ABCABC、ACBACB并交于点并交于点O,O,过点过点O O作作 ODAB, OEAC,BC=16,ODAB, OEAC,BC=16,求求: : ODEODE的周长的周长变3变变4 4三角形两底角的平分线三角形两底角的平分线AOAO与与BOBO交于点交于点OO，过，过OO作底边作底边ABAB的平行线的平行线EFEF，交交ACAC于于E E，交，交BCBC于于F F。AEAE，EFEF，BFBF之之间的长度有何关系？间的长度有何关系？AE+BF=EFOFEBCAGFEDCBA已知已知:

17、 :如图如图,在在ABCABC中，中，BDBD、CDCD分别平分分别平分ABCABC、ACEACE并交于点并交于点D,D,过过F F作作 DFBEDFBE则线段则线段FGFG，BFBF，CGCG之间又会有什么关系？若有之间又会有什么关系？若有请写出关系式，并说明理由。请写出关系式，并说明理由。FEDCBA再变再变2 2 已已知知: :如图如图,在在ABCABC中，中，BFBF、CFCF分别平分分别平分DBCDBC、ECBECB并交于点并交于点F,F,过过F F作作 DEBCDEBC求证求证: :DE=BD+CEDE=BD+CE再变再变3（2012春春南岸区期末）南岸区期末）如图，在如图，在Rt

18、ABC中，中，BAC=90，AC=6，BC=10，过，过A作作DEBC交交ABC的平分线的平分线BE于点于点E、交、交ACB的平分线的平分线CD于点于点D，则，则DE为（）为（） 变变5 5. .已知：已知：ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D是是ABAB上一点，上一点，延长延长ACAC至点至点E E，使，使CE=BDCE=BD，连结，连结DEDE交交BCBC于于F F。求证：求证：DF=EFDF=EFABCDEHF变6（2014秋如皋市校级期中）已知已知ABC的三的三条边长分别为条边长分别为6，8，12，过，过ABC任一顶点画任一顶点画一条直线，将一条直线，将ABC分割成两个三角

19、形，使其分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）画（） 变7（2012芜湖县校级自主招生）如图，在如图，在33的网格中，每个网格线的交点称为格点已知的网格中，每个网格线的交点称为格点已知图中图中A、B两个格点，请在图中再寻找另一个格两个格点，请在图中再寻找另一个格点点C，使，使ABC成为等腰三角形，则满足条件成为等腰三角形，则满足条件的点的点C有（）有（） 再变再变（2011秋秋萧山区期中）萧山区期中）请在下图方格中画请在下图方格中画出三个以出三个以AB为腰的等腰为腰的等腰ABC（要求：（要求：1、锐、锐角三角形、直角三角形、

20、钝角三角形各画一个；角三角形、直角三角形、钝角三角形各画一个；2、点、点C在格点上）在格点上） 变变8 已知已知a，b，c为为ABC的三边且的三边且（a-b）（）（b-c）=0，则，则ABC为（）为（） 变变9（2013秋秋诸暨市校级期中）诸暨市校级期中）如果一个三角如果一个三角形三边长为形三边长为a、b、c，且满足，且满足（a+b+c）（）（a-c）=0，则该三角形的形状是，则该三角形的形状是n 变变10（2012南海区校级二模）南海区校级二模）已知：如图，已知：如图，ABC的两条高的两条高BE、CD相交于点相交于点O，且，且OB=OC，求证：，求证：ABC是等腰三角形是等腰三角形 变变11

21、（2012春春金山区校级期末）金山区校级期末）如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，BAD=CAE，点，点D、E在在BC上，试说明上，试说明ADE是等腰三角形是等腰三角形 变变12（2010春春福安市期末）福安市期末）如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC=2，B=40，点，点D在线段在线段BC上运动（上运动（D不不与与B、C重合），连接重合），连接AD，作，作ADE=40，DE交线段交线段AC于于E（1）当）当BDA=115时，时，BAD= ；点；点D从从B向向C运动时，运动时，BDA逐渐变（填逐渐变（填“大大”或或“小小”）；）；（2）当）当DC等于多少时，等于多少时，ABD DCE

22、，请说明理由；，请说明理由；n（3）在点）在点D的运动过程中，的运动过程中，ADE的形状也在改变，判断当的形状也在改变，判断当nBDA等于多少度等于多少度 时，时，ADE是等腰三角形是等腰三角形 当当ADB=110或或80时，时，ADE是等腰三角形是等腰三角形 变变13 如图所示，如图所示，BAC=90，ADBC，垂，垂足为足为D，BE平分平分ABC，交，交AC于于E，交，交AD于于F，试判断试判断AEF的形状，并说明理由的形状，并说明理由 变变14（2015盘锦四模）已知，点盘锦四模）已知，点P是是RtABC斜边斜边AB上一动点（不与上一动点（不与A、B重合），分别过重合），分别过A、B向直线向直线CP作作垂线，垂足分别为垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边为斜边AB的中点的中点n（1）如图）如图1，当点，当点P与点与点Q重合时，重合时，AE与与BF的位置关的位置关系是系是，QE与与QF的数量关系是的数量关系是；n（2）如图）如图2，当点，当点P在线段在线段AB上不与点上不与点Q重合时，试判重合