第九章静电场中的导体和电介质

1、第九章第九章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质 9-1 静电场中的导体静电场中的导体9-2 电容电容 电容器电容器9-3 静电场中的电介质静电场中的电介质9-4 静电场的能量静电场的能量19-1 静电场中的导体静电场中的导体一、导体静的电感应一、导体静的电感应 静电平衡静电平衡1. .静电感应现象静电感应现象2+0E+0E0EE0E 00EEE（2）推论：）推论： 导体是个等势体导体是个等势体，导体表面是个等势面导体表面是个等势面。导体内部和表面，都没有电荷导体内部和表面，都没有电荷作宏观作宏观的定向的定向移动移动导体内导体内场强处处为零场强处处为零；导体表面处导体表面处场强垂直表

2、面场强垂直表面。2. .静电平衡静电平衡3（1）性质性质ElddbababaUUUEldEl0abU导体表面是个等势面导体表面是个等势面导体内部电势处处相等导体内部电势处处相等=0E内dbabaUEl二、静电平衡时导体上的电荷分布二、静电平衡时导体上的电荷分布1. .实心导体实心导体0abU01ddeSVESV=0E内S0e内（1）电荷电荷（自身带电或感应电荷）自身带电或感应电荷）只分布在导体表面，只分布在导体表面，导体内部净电荷为零导体内部净电荷为零。（2）导体表面附近场强与导体表面附近场强与该处导体表面的该处导体表面的电荷面密度成正比电荷面密度成正比。0/eE PEe3S2S1S0E（3）

3、孤立导体表面孤立导体表面曲率大的地方曲率大的地方（尖，凸尖，凸）电荷密度也大。电荷密度也大。0eE dES123dddsssESESES1E S101eS4为总场强为总场强尖端放电尖端放电 +在带电尖端附近，电离的分子与周围分子在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的分子处于激发态发光而产碰撞，使周围的分子处于激发态发光而产生电晕生电晕现象。现象。2. .有空腔的导体有空腔的导体5（1）空腔内无带电体空腔内无带电体=0E内0e内空腔空腔内表面没有电荷内表面没有电荷，电荷（，电荷（自身带电或感应电荷自身带电或感应电荷）分布分布在导体外表面上在导体外表面上。问题问题：是否会出现空腔内表面

4、上有等：是否会出现空腔内表面上有等量异号电荷的情况？量异号电荷的情况？dbabaUEl0导体是个等势体导体是个等势体S?ab空腔内空腔内部也没有电场，为一等势空间。部也没有电场，为一等势空间。导体中场强为零，净电荷密度为零，导体为等势体。导体中场强为零，净电荷密度为零，导体为等势体。（2）空腔内有带电体空腔内有带电体设内部电荷为设内部电荷为q，空腔导体原来带电为空腔导体原来带电为QqQS结论：结论：内表面感应出等量异号电荷，带电内表面感应出等量异号电荷，带电-q；外表面感应出等量同号电荷，带电外表面感应出等量同号电荷，带电Q +q 。内表面电荷内表面电荷d0SESqq内三、静电的应用三、静电的

5、应用1. .2. .6（1）（2）3. .汽车是个静电屏蔽室汽车是个静电屏蔽室78闪电闪电9闪电闪电( (芝加哥芝加哥) )10闪电击中自由女神闪电击中自由女神像像11四、有四、有导体存在时静电场的分析与计算导体存在时静电场的分析与计算导体上的电荷导体上的电荷重新分布重新分布电场电场相互影响相互影响2. 静电场的基本规律静电场的基本规律4. 电荷守恒定律电荷守恒定律1. 导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件3. 静电场的叠加原理静电场的叠加原理120E 内U 常数iiEEppiiUU01diiESqd0El利用上述进行利用上述进行分析与计算分析与计算QS例例1. 一大导体板面积一大导体板面积S

6、，带电，带电Q，另一同样大，另一同样大不带电导体板，两板平行放置，求：两导体不带电导体板，两板平行放置，求：两导体板的电荷分布。板的电荷分布。解：解：设静电平衡后两导体板上的电荷分布为设静电平衡后两导体板上的电荷分布为1234由由电荷守恒定律电荷守恒定律12(1)QS340(2)由由高斯定理高斯定理2301d0()ESSS 230(3)由由叠加原理和静电平衡条件叠加原理和静电平衡条件p对导体板内任一点对导体板内任一点p3124000002222pE12340(4)12432QS 13Q+ +-0E0U已知：已知：A带电带电 Q ，B不带电不带电求：求：B内侧接地后，两板间内侧接地后，两板间?E

7、?U +-+02EE 02UU例例2. .AB14解：解：例例3. .不带电导体球，半径不带电导体球，半径R，放，放在点电荷在点电荷q的电场中，球心的电场中，球心与与q相相距距a，求，求: :（1）导体球电势，（）导体球电势，（2）导体球）导体球接地后球上感应电荷电量接地后球上感应电荷电量qx ？U球心处qRa0001d044xqUqRa球心处00044xqqRaxRqqa 0d4xqR04qa04xqR04qa04qa0 xq 导体球没接地导体球没接地导体球接地导体球接地15解：解：1R2RBQrAq例例4. .已知：导体球已知：导体球A带带电荷电荷q ，半径半径r，球外有一带电荷球外有一带

8、电荷Q内外内外半径分别为半径分别为R1和和R2的同心导体球壳的同心导体球壳B，求求：（1）球）球A的电势；球壳内外表面的电荷分布及电势；球的电势；球壳内外表面的电荷分布及电势；球A与球与球壳壳B的电势差；的电势差； 16解解: : 球壳球壳B ：内表面：内表面- -q，外表面，外表面Q+ +q。qq0121()4AqqqQUrRR101121()4RqqqQURRR024qQR202221()4RqqqQURRR024qQR21BRRUUU011()4ABqqUUrR（2）将球壳）将球壳B接地再重新绝缘，求球壳接地再重新绝缘，求球壳B的电荷分布；球的电荷分布；球A与与球壳球壳B 的电势差；的电

9、势差；1R2RBQrAqqq1R2RBrAqq球壳外表面电荷为零，内表面电荷仍为球壳外表面电荷为零，内表面电荷仍为- -q 。球壳外面电场处处为零，故球壳球壳外面电场处处为零，故球壳B电势为零。电势为零。120RRUU011()4AqqUrR011()4ABqqUUrR17（3）然后再将球）然后再将球A接地，球壳接地，球壳B电势将如何变化？电势将如何变化？1R2RBrAqqr1R2RAqB球球A接地后，电势接地后，电势UA= =0，且球上的电荷分布发，且球上的电荷分布发生变化，生变化，设其带电设其带电q ，则球壳，则球壳B内表面带电内表面带电- -q ，外表面，外表面带电（带电（- -q+ +

10、q ）。）。qqq球球A电势为零，由电势叠加原理，球电势为零，由电势叠加原理，球A带电带电q 00102444AqqqqUrRR011122rR qqrRR RrR 球壳球壳B的电势的电势024BqqUR101122()4()rR qrRR RrR189-2 电容电容 电容器电容器19功能：充电和放电功能：充电和放电一、孤立导体的电容一、孤立导体的电容1. .定义定义QCU单位：法拉（单位：法拉（F）孤立导体孤立导体的的电势电势与导体本身与导体本身所所带电量带电量有关有关UQ例：求孤立导体球电容例：求孤立导体球电容04QCRU04QURQU常数B二、电容器及其电容二、电容器及其电容ABQCUA

11、20电容器：中间绝缘的两导体构成的导体组合电容器：中间绝缘的两导体构成的导体组合电容器电容定义电容器电容定义三、电容的计算三、电容的计算设两极电荷设两极电荷QEdBABAUElABQCU0SCd1. .平板电容器的电容平板电容器的电容UEd设设QQQ0QdS0ESQ0dS C S ，S 为有效面积，即两极板相对之面积；为有效面积，即两极板相对之面积； C 1d，对其它形状电容器也适用；，对其它形状电容器也适用； C ，与极间介质有关。与极间介质有关。212. .同心球形电容器的电容同心球形电容器的电容BRBRAAQQ设设电容器两极半径电容器两极半径 RA RB - RA 时时令令RB-RA=d

12、，RARB=R 2 ，则，则2004RSCdd同平板电容器同平板电容器（2）当当3. .同轴柱形电容器的电容同轴柱形电容器的电容02ln/BAlCRRlARBRrABQl012 r lEl0,()2ABERrRr0d2BARABRUrr ABRRlQln20lQQ两柱面间隔两柱面间隔BAdRR02lnAAlCRdR当当dRA时时ln(1)AAddRR002AlRSCdd22设设电容器两极半径电容器两极半径 RA 221QQxxCU例例. . 已知：两平行板带电已知：两平行板带电Q1，Q2，板间电压板间电压U，求：求：平板电容器的电容平板电容器的电容解：解：122QQU23四、电容器串并联四、电

13、容器串并联2. 电容器并联，相当电容器并联，相当S 增大增大，U 相同相同，Q C 12nUUUU nCCCC1111211. 电容器串联，相当电容器串联，相当d 增大，增大，Q 相同，相同， CU1nCQCQCQCQ21C1C2Cn电容器串联电容器串联 C1C2Cn电容器并联电容器并联 12nQQQQ12nQQQQUUUUnCCCC21249-3 静电场中的电介质静电场中的电介质一、电介质对电场的影响一、电介质对电场的影响 相对电容率相对电容率QQ0UQQU0UU1r1. 相对电容率（相对电容率（相对介电常数相对介电常数）0EE0EE1r真空中真空中r介质中介质中25r实验表明：实验表明：两

14、导体板间加入电介质两导体板间加入电介质,板间电压下降。板间电压下降。0rUU说明：说明：电场减弱电场减弱UEd0rEE0rCC00EEEE1. .无极分子无极分子（正负电中心重合正负电中心重合）位移极化位移极化00E0ip 0ip 时，电偶极矩时，电偶极矩00 E时，电时，电偶极偶极矩矩二、电介质的极化二、电介质的极化26E（1）的的位移极化位移极化电介质的极化：电介质的极化：介质在电场中出现介质在电场中出现极化电荷极化电荷的现象。的现象。0EE（2）极化时，介质的极化时，介质的表面及内部表面及内部均可出现极化电荷。均可出现极化电荷。（3），极化强。，极化强。2. .有极分子有极分子（正负电中

15、心不重合（正负电中心不重合）的的转向极化转向极化00E0ip 整体不显电性整体不显电性00E 转向极化，转向极化，也有位移极化，但转向极化占也有位移极化，但转向极化占主要地位。主要地位。0iip 0iip 27E结论结论：位移极化和转向极化微观机制不同，位移极化和转向极化微观机制不同，宏观效果相同。均产生宏观效果相同。均产生极化电荷极化电荷。三、电极化强度三、电极化强度1. 定义定义VpPi介质中某一点的电极化强度等于：介质中某一点的电极化强度等于：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。单位体积内分子电偶极矩的矢量和。单位单位: : 库仑米库仑米2含义：描述介质在电场中各点的极含义：描述介质在电场中

16、各点的极化状态（极化程度和方向）。化状态（极化程度和方向）。2. 电极化强度和极化面电荷密度的关系电极化强度和极化面电荷密度的关系极化电荷面密度极化电荷面密度nP e （1）均匀介质中）均匀介质中ddqS （2）非均匀介质中）非均匀介质中 表面有极化电荷表面有极化电荷ddcoslqPlScosPdSneldqcosnnPP ePddnqPS cosddPSPS28S3. 电极化强度和体束缚电荷的关系电极化强度和体束缚电荷的关系任何闭合曲面的极化强度的通量等于任何闭合曲面的极化强度的通量等于该曲面内的极化电荷总量的负值。该曲面内的极化电荷总量的负值。 表面有极化电荷表面有极化电荷 介质内部也有极

17、化电荷介质内部也有极化电荷q dPSqS29非均匀介质中非均匀介质中dPSqddnqPS cosddPSPS根据电荷守恒定律，移出根据电荷守恒定律，移出 S 外的极化电荷应等于留在外的极化电荷应等于留在 S 内的极内的极化电荷总量的负值，即化电荷总量的负值，即4极化强度和电场强度的关系极化强度和电场强度的关系EEE00PE01(1)r当当各向同性各向同性均匀电介质充满整个场时，均匀电介质充满整个场时，实验表明：实验表明：1(1)rqQ 1rP电极化率电极化率原场原场 极化场极化场总场总场00r QQqq00rEEE00000r 0,qQ0(1)rPE 0/rEE30实验结果：实验结果：0E0E

18、EE0iiiiiiqqq自由电荷自由电荷极化电荷极化电荷1.有电介质时电场有电介质时电场四、四、电介质的高斯定理电介质的高斯定理 电位移矢量电位移矢量00312.有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理01diiESqdiiPSq00() diiEPSq（1）定义：电位移矢量）定义：电位移矢量0DEP0()dii SDSq内（3）高斯定理微分式）高斯定理微分式0 D0EE（2）高斯定理）高斯定理电介质电介质高斯定理：高斯定理：通过任通过任意闭合曲面的电位移通量意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内包围的等于该闭合曲面内包围的自由电荷的代数和。自由电荷的代数和。0diiDSq0rDEE 3. 说

19、明：说明：32DE（1）电位移矢量）电位移矢量是一个辅助量，场的基本量仍是场强是一个辅助量，场的基本量仍是场强已知自由电荷，先求已知自由电荷，先求D再由再由0DEP求求E0DEP（2）对各向同性线性电介质）对各向同性线性电介质00(1)rPEE0r 介质电容率（介电常数）介质电容率（介电常数）（3）高斯定理微分式）高斯定理微分式0 D线起始于线起始于正自由电荷正自由电荷，终止于负的自由，终止于负的自由电荷或无穷远处。电荷或无穷远处。D（4）D单位：库仑单位：库仑/ /米米233例例1. 已知两带电平板，中间充满电介质已知两带电平板，中间充满电介质 求：求：?E00+-r-+SS介质中高斯定理介

20、质中高斯定理解：解：0D SS0D0rDEE 00rE 01rE0diiDSq例例2. .平板电容器板面积平板电容器板面积S，间距，间距d，两极板间有厚度，两极板间有厚度d1和和d2的电介的电介质，电容率分别为质，电容率分别为1= =0r1，2= =0r2。两极板上的自由面电荷密度。两极板上的自由面电荷密度分别为分别为，求：（求：（1）两介质中的电位移矢量）两介质中的电位移矢量D，（，（2）两介质间分界面上的）两介质间分界面上的束缚面电荷密度束缚面电荷密度 ，（，（3）电容器的电容）电容器的电容C 。解：解：12d1d2d1122（1）电位移矢量）电位移矢量12DDD（2）电介质）电介质1中的

21、电场强度中的电场强度11101rDE 电介质电介质2中的电场强度中的电场强度22202rDE 111(1)r 221(1)r 0DPEP介质分界面的束缚电荷密度为介质分界面的束缚电荷密度为121212rrrr 34（3）电容器的电容电容器的电容QCU1122UE dE dSCU120102rrdd 0121221120102rrrrrrSSdddd 35rQSQ例例3. 平行板电容器带电荷平行板电容器带电荷 Q，板板面积面积 S ，间距间距d ，加入加入充满板充满板间一半空间间一半空间的电介质的电介质r 。求：两板间场强和此电容器电容。求：两板间场强和此电容器电容。解：解： 加入电介质后场强降

22、低，电势降低，加入电介质后场强降低，电势降低，1E2E12E dE d结果：导体板上的电荷重新分布，结果：导体板上的电荷重新分布，右侧的电荷多于左侧。右侧的电荷多于左侧。1Q2Q12QQQ2D SS2D2200rrDE 110E21r202(1)rQES 02(1)rE真空中真空中1r20EE但两个导体板间电压相同，即但两个导体板间电压相同，即同理同理36（2）（1）12CCC00022(1)2rrSSSddd 例例4. 平板电容器板面积平板电容器板面积 S ，板间距板间距d ，相对电容率为相对电容率为r1和和r2 的的两种电介质各充满板间一半空间。两种电介质各充满板间一半空间。求：（求：（1

23、）此电容器带电后，两介质所对应极板上自由电荷面密）此电容器带电后，两介质所对应极板上自由电荷面密度是否相等？度是否相等？（2）两介质中）两介质中 D和和E 是否相等？是否相等？（3）电容器的电容？电容器的电容？r1r2d解：解：（1）两种电介质中电场强度相等两种电介质中电场强度相等12UEEd1101rE 两介质所对应极板自由电荷面密度之比为两介质所对应极板自由电荷面密度之比为1122rr（2）112212,DDEE（3）电容等效于两电容器并联电容等效于两电容器并联12CCC2202rE 010201222()2rrrrSSSddd 379-4 静电场的能量静电场的能量1点电荷之间相互作用能点

24、电荷之间相互作用能（1）两点电荷（）两点电荷（q1 q2）相互作用能）相互作用能1222drAqEr12r2q1q1122211122qUq U121220d4rqqrr2112120 120 12112424qqWqqrr12120 124q qWr一、带电体系的静电能一、带电体系的静电能38U12: q2电场在电场在q1 处产生的电势；处产生的电势；U21: q1电场在电场在q2 处产生的电势处产生的电势；（；（注意：这里必须规定注意：这里必须规定 = 0（2）三个点电荷组成的系统）三个点电荷组成的系统3q123121323WWWW112233111222qUq Uq U（3）n个点电荷系

25、统个点电荷系统12neiiiWWqU互2电荷连续分布系统的静电能电荷连续分布系统的静电能1d2eWWUq自39Ui 是除是除qi 外其余电荷在外其余电荷在qi 处产生的电势处产生的电势（1）只有一只有一个带电体个带电体dqUqU是除是除dq 外其余电荷在外其余电荷在dq 处产生的电势，由于处产生的电势，由于dq 很小，很小，可认为可认为U是整个带电体是整个带电体q 在该处产生的电势。在该处产生的电势。（2）多多个带电体个带电体总静电能总静电能eiijiijWWW自互二、电场能量二、电场能量 能量密度能量密度1. .电容器储能电容器储能以平板电容器为例以平板电容器为例ABdq00ddQQqAAq

26、Cld Adq U212QCU+-dqqC212CUeW2. .电场能量电场能量 能量密度能量密度212eWCU201()2rSEll 212E V体积0rSCl 能量密度能量密度212ewE或或12ewED21dd2eWwVEV真空中真空中20012ewE介质中介质中2012erwE 0eeww说明介质极化过程中也吸收储存了能量说明介质极化过程中也吸收储存了能量。40能量密度能量密度20d1d2eWwEV例例1. .表面均匀橡皮气球半径表面均匀橡皮气球半径R，带电带电Q，求：气球膨胀，求：气球膨胀dR的能量的能量ROQdR1d2WVq001dd248QQqqRR208QR220dd8QWRR

27、厚度厚度dR的球壳中的能量的球壳中的能量220dd8QWRR22020() 4d24QRRR20d2EV静电场的能量静电场的能量201dd2eeWwVEV解：解：41C1C2C3321111CCCC2CCCQWc22cW电场力做功电势能减少！电场力做功电势能减少！例例2. .已知：图示带电系统，通电后断开，已知：图示带电系统，通电后断开，问：问：C2内加入电介质后，系统能量是增加，减少还是不变？内加入电介质后，系统能量是增加，减少还是不变？解：解：42R2R1例例3. .球形电容器内外半径分别为球形电容器内外半径分别为R1和和R2，两极板电势差为，两极板电势差为U，用，用电容器能量公式电容器能

28、量公式和和电场能量公式电场能量公式求此电容器所储存的电能。求此电容器所储存的电能。解：解：212WCU201221412R RURR2012212R R URR21201dd2ReVRWwVEV204rQE21220201() 4d24RRQrrr21220d8RRQrr201211()8QRR012214()R RQCUURR2012212R R URR221012()8QRRR R43例例4. .圆柱形电容器，长圆柱形电容器，长L，内外半径内外半径a，b，中，中间充满相对电间充满相对电容率为容率为 的电介质，忽略边缘效应。的电介质，忽略边缘效应。求：（求：（1）电容）电容C ；（2）若保持电容器与端电压的电源连接，将介质层从电容）若保持电容器与端电压的电源连接，将介质层从电容