第1章数字电路基础

1、第一章第一章 数码和码制数码和码制 本章首先介绍有关数制和码制的一些基本概念本章首先介绍有关数制和码制的一些基本概念和术语，然后给出数字电路中常用的数制和编码。此和术语，然后给出数字电路中常用的数制和编码。此外，还将具体讲述不同数制之间的转化方法。外，还将具体讲述不同数制之间的转化方法。2022-6-261本章内容本章内容1.1 概述概述1.2 几种常用的数制几种常用的数制1.3 不同数制间的转换不同数制间的转换1.5 几种常用的编码几种常用的编码2022-6-262数字技术是一门应用学科，它的发展可分为数字技术是一门应用学科，它的发展可分为5个阶段个阶段 产生：产生：20世纪世纪30年代在通

2、讯技术（电报、电话）首年代在通讯技术（电报、电话）首先引入二进制的信息存储技术。而在先引入二进制的信息存储技术。而在1847年由英国科学年由英国科学家乔治家乔治布尔（布尔（George Boole）创立布尔代数，在电子）创立布尔代数，在电子电路中得到了应用，形成开关代数，并有一套完整的数电路中得到了应用，形成开关代数，并有一套完整的数字逻辑电路的分析和设计方法。字逻辑电路的分析和设计方法。1. 数字技术的发展过程数字技术的发展过程1.1 概述概述2022-6-263初级阶段：初级阶段：2020世纪世纪4040年代电子计算机中的应用，此年代电子计算机中的应用，此时以电子管（真空管）作为基本器件。

3、另外在电话交时以电子管（真空管）作为基本器件。另外在电话交换和数字通讯方面也有应用换和数字通讯方面也有应用. .电子管（真空管）电子管（真空管）2022-6-264ENIAC (30吨吨,170m2, 18000电子电子管管,6000开关开关,7000电阻电阻,10000电容电容) 5000次加法次加法/秒秒第二阶段：第二阶段：20世纪世纪60年代晶体管的出现，使得数字年代晶体管的出现，使得数字技术有一个飞跃发展，除了计算机、通讯领域应用外，技术有一个飞跃发展，除了计算机、通讯领域应用外，在其它如测量领域得到应用在其它如测量领域得到应用.晶体管图片晶体管图片2022-6-265第四阶段：第四阶

4、段：20世纪世纪70年代中期到年代中期到80年代中期，微电子年代中期，微电子技术的发展，使得数字技术得到迅猛的发展，产生了大技术的发展，使得数字技术得到迅猛的发展，产生了大规模和超大规模的集成数字芯片，应用在各行各业和我规模和超大规模的集成数字芯片，应用在各行各业和我们的日常生活。们的日常生活。第三阶段：第三阶段：20世纪世纪70年代中期集成电路的出现，使年代中期集成电路的出现，使得数字技术有了更广泛的应用，在各行各业医疗、雷得数字技术有了更广泛的应用，在各行各业医疗、雷达、卫星等领域都得到应用达、卫星等领域都得到应用.2022-6-26620世纪世纪80年代中期以后，产生一些专用和通用的集年

5、代中期以后，产生一些专用和通用的集成芯片，以及一些可编程的数字芯片，并且制作技术成芯片，以及一些可编程的数字芯片，并且制作技术日益成熟，使得数字电路的设计模块化和可编程的特日益成熟，使得数字电路的设计模块化和可编程的特点，提高了设备的性能、适用性，并降低成本，这是点，提高了设备的性能、适用性，并降低成本，这是数字电路今后发展的趋势。数字电路今后发展的趋势。2022-6-2672022-6-268模拟信号模拟信号-连续性连续性数字信号数字信号-离散性离散性模拟信号在时间和数模拟信号在时间和数值上都是连续的，典值上都是连续的，典型的波形为型的波形为正弦波正弦波数字信号在时间和数值数字信号在时间和数

6、值上都是离散的，具有双上都是离散的，具有双值性，典型波形为值性，典型波形为方波方波010000111u = Umsin wt只有两种取值，即只有两种取值，即 0和和12. 2. 模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号信号可分为模拟信号和数字信号。信号可分为模拟信号和数字信号。 数字信号是用数码表示的，其数码中只有数字信号是用数码表示的，其数码中只有“1”和和“0”两个数字，而两个数字，而“1”和和“0”没有数量的意义，表示事没有数量的意义，表示事物的两个对立面。物的两个对立面。 数码可以表示数字信号的大小和状态，如数码可以表示数字信号的大小和状态，如1001可可表示数量表示数量“9”，也可以表示

7、某个事物的代号，如运动，也可以表示某个事物的代号，如运动员的编号，这时将这些数码称为代码。员的编号，这时将这些数码称为代码。 数码的编写形式是多样的，其遵循的原则称为码数码的编写形式是多样的，其遵循的原则称为码制。码制的编写不受限制，但有一些通用的码制，如制。码制的编写不受限制，但有一些通用的码制，如十进制、二进制、八进制和十六进制等等。下面就介十进制、二进制、八进制和十六进制等等。下面就介绍这几种常用的码制。绍这几种常用的码制。2022-6-269数制：就是数的表示方法，把多位数码中每一位的构成数制：就是数的表示方法，把多位数码中每一位的构成方法以及按从低位到高位的进位规则进行计数称为进位方

8、法以及按从低位到高位的进位规则进行计数称为进位计数制，简称数制。计数制，简称数制。 最常用的是十进制，除此之外在数字电路和计算最常用的是十进制，除此之外在数字电路和计算机中常用的是二进制、八进制和十六进制。机中常用的是二进制、八进制和十六进制。一、一、 十进制十进制 进位规则是进位规则是“逢十进一逢十进一”。2022-6-2610例如：例如：(249.56)102102 4101 9100 + 5101 6102称为数制的系数，表示第称为数制的系数，表示第i位的系数，十进制位的系数，十进制的取值为的取值为0 9十个数，十个数， i 取值从取值从 （n1）0的所的所有正整数到有正整数到1m的所有

9、负整数的所有负整数10 i表示第表示第i位的权值，位的权值，10为基数，即采用数码的为基数，即采用数码的个数个数n、m为正整数，为正整数， n为整数部分的位数，为整数部分的位数， m为小为小数部分的位数数部分的位数1110111021101010101010)(nmiiimmonnmnnkkkkkkkkkkD2022-6-2611任意一个任意一个n位整数、位整数、m位小数的十进制可表示为位小数的十进制可表示为例如：例如：(249.56)102102 4101 9100 + 5101 2102其中其中n3，m2若用若用N表示任意进制（称为表示任意进制（称为N进制）的基数，则展成十进制）的基数，则

10、展成十进制数的通式为进制数的通式为如如N10为十进制，为十进制，N2为二进制，为二进制，N8为八进制，为八进制， N16为十六进制。其中为十六进制。其中N为基数，为基数， 为第为第 i 位的系数，位的系数， Ni 表示第表示第i位的权值位的权值1110111021nmiiimmonnmnnNNkNkNkNkNkkkkkkD)(2022-6-26122022-6-2613十进制数十进制数人们最熟悉，但机器实现起来困难。人们最熟悉，但机器实现起来困难。因为构成计数电路的基本思路是把电路的状态与数因为构成计数电路的基本思路是把电路的状态与数码对应起来，而十进制的十个数码，必须由十个不码对应起来，而十

11、进制的十个数码，必须由十个不同的而且能严格区分的电路状态与之对应，这样将同的而且能严格区分的电路状态与之对应，这样将在技术上带来许多困难，而且也不经济，因此在计在技术上带来许多困难，而且也不经济，因此在计数电路中一般不直接采用十进制。数电路中一般不直接采用十进制。二、二进制：二、二进制：如（如（11011.101)2=124 +123 +022 +121 +120 +121+02-2 +123 =（27.625)10 进位规则是进位规则是1110111021nmiiimmonnmnnNNkNkNkNkNkkkkkkD)(2022-6-2614 一个数码的进制表示，可用下标，如一个数码的进制表示

12、，可用下标，如 (N)2 表示二表示二进制；进制； (N)10 表示十进制；表示十进制； (N)8 表示八进制，表示八进制， (N)16 表表示十六进制示十六进制 有时也用字母做下标，如有时也用字母做下标，如 (N)B 表示二进制，表示二进制，BBinary；(N)D 表示十进制，表示十进制，DDecimal；(N)O 表示八表示八进制，进制，OOctal；(N)H 表示十六进制，表示十六进制，HHexadecimal；三、八进制三、八进制 进位规则是进位规则是如（如（13.74)8=181+380 +781+48-2 =（11.9375)102022-6-2615四、十六进制四、十六进制 进

13、位规则是进位规则是如（如（F9.1A)16=15161+9160 +1161+1016-2 = （249.1015625)102022-6-26161110111021nmiiimmonnmnnNNkNkNkNkNkkkkkkD)(DBOHDBOH000000008100010810001011910011192001002210101012A3001103311101113B4010004412110014C5010105513110115D6011006614111016E7011107715111117F表表1.2.1表表1.2.1为为015个数码的不同进制表示。个数码的不同进制表示。2

14、022-6-26171.3 不同数制间的转换不同数制间的转换一、一、 二进制数、八进制数和十六进制数转换成十进制数二进制数、八进制数和十六进制数转换成十进制数数制转换：不同进制的数码之间的转换叫做数制转换数制转换：不同进制的数码之间的转换叫做数制转换1110111021nmiiimmonnmnnNNkNkNkNkNkkkkkkD)(例如：例如： 即将二进制数、八进制数和十六进制数转换成十即将二进制数、八进制数和十六进制数转换成十进制数，方法是将二进制数、八进制数和十六进制数进制数，方法是将二进制数、八进制数和十六进制数按下列公式进行展开即可按下列公式进行展开即可.2022-6-2618D).(

15、.)EC.AF(2H816880546875075015160512161416121615161016221012a. 十进制的整数转换：十进制的整数转换：二、十进制数转换成二进制数：二、十进制数转换成二进制数： 将十进制的整数部分用基数将十进制的整数部分用基数2去除，保留余数，再去除，保留余数，再用商除用商除2，依次下去，直到商为，依次下去，直到商为0为止，其余数即为对为止，其余数即为对应的二进制数的整数部分。应的二进制数的整数部分。 即将十进制数转换成二进制数，原则是即将十进制数转换成二进制数，原则是“整数除整数除2，小数乘小数乘2”。2022-6-2619b. 十进制的小数转换十进制的

16、小数转换 将小数用基数将小数用基数2去乘，保留积的整数，再用积的小数去乘，保留积的整数，再用积的小数继续乘继续乘2，依次下去，直到乘积是，依次下去，直到乘积是0为或达到要求的精度，为或达到要求的精度，其积的整数部分即为对应的二进制数的小数部分。其积的整数部分即为对应的二进制数的小数部分。例例1.3.1 将（将（173.39)D转化成二进制数转化成二进制数,要求精度为要求精度为1%。a. 整数部分整数部分1731732 22 286861 10 02 243431 121211 12 210102 20 02 25 52 22 21 11 11 10 02 20 0)(0k)(1k)(2k)(3

17、k)(4k)(5k)(6k)(7k解：其过程如下解：其过程如下即即(173)D=(10101101) B2022-6-2620b. 小数部分小数部分取取m7 满足要求，过程如下满足要求，过程如下0.392=0.780.392=0.780.782=1.560.782=1.56010.562=1.120.562=1.1210.122=0.240.122=0.2400.242=0.480.242=0.4800.482=0.960.482=0.9600.962=1.920.962=1.921)(1k)(2k)(3k)(4k)(5k)(6k)(7k即即(0.39)D=(0.0110001) B故（故（1

18、73.39)D =(10101101.0110001)B2022-6-2621三、三、 二进制转换成八进制和十六进制二进制转换成八进制和十六进制方法：由于方法：由于3位二进制数可以有位二进制数可以有8个状态，个状态，000111，正，正好是好是8进制，而进制，而4位二进制数可以有位二进制数可以有16个状态，个状态，00001111，正好是，正好是16进制，进制，依此类推，对于十进制转换成其它进制，只要把基数依此类推，对于十进制转换成其它进制，只要把基数2换成其它进制的基数即可。换成其它进制的基数即可。若将八进制或十六进制转换成二进制，若将八进制或十六进制转换成二进制，即按三位或四位转成二进制数

19、展开即可。即按三位或四位转成二进制数展开即可。2022-6-2622解：解：（1011110.1011001) B（001 011 110.101 100 100) 2 (136.544) O（1011110.1011001) B(0101 1110.1011 0010) 2 (5E.B2)H例例1.3.2 将（将（1011110.1011001) 2转换成八进制和十六进转换成八进制和十六进制。制。解：解：例例1.3.3 将（将（703.65)O 和（和（9F12.04A)H 转换成二进制数转换成二进制数（703.65)O（111000011.110101)B（9F12.04A)H=(1001

20、111100010010.00000100101)B2022-6-2623例例1.3.4 将将(87)D 转换成八进制数和十六进制数转换成八进制数和十六进制数解：先将解：先将87转化成二进制，过程如图转化成二进制，过程如图,则则2 287871 12 243431 121211 12 210102 20 02 25 52 22 21 11 11 10 02 20 0)(0k)(1k)(2k)(3k)(4k)(5k)(6k(87)D（1010111)B=（001 010 111)B (0101 0111)B= (127) O =(57)H若要将十进制转换成八进制或十若要将十进制转换成八进制或十六

21、进制，可先转换成二进制，再分组，转六进制，可先转换成二进制，再分组，转换成八进制或十六进制。换成八进制或十六进制。2022-6-26241.4.1. 二进制算术运算的特点二进制算术运算的特点 当两个二进制数码表示两个数量的大小，并且这两当两个二进制数码表示两个数量的大小，并且这两个数进行数值运算，这种运算称为个数进行数值运算，这种运算称为。其规则是。其规则是“逢二进一逢二进一”、“借一当二借一当二”。算术运算包括。算术运算包括“加减乘加减乘除除”，但减、乘、除最终都可以化为带符号的加法运算。，但减、乘、除最终都可以化为带符号的加法运算。如两个数如两个数1001和和0101的算术运算如下的算术运

22、算如下1001100101010101+ +111011101001100101010101- -010001001001100101010101100110010000000010011001000000000101101010110110011001010101011 10101010110001000. 1 1010101010110011001010101001000101 12022-6-26251.4.2 反码、补码和补码运算反码、补码和补码运算 在用二进制数码表示一个数值时，其正负是怎么区在用二进制数码表示一个数值时，其正负是怎么区别的呢？二进制数的正负数值的表述是在二进制数码别

23、的呢？二进制数的正负数值的表述是在二进制数码前加一位前加一位符号位符号位，用，用“0”表示正数，用表示正数，用“1”表示负数，表示负数，这种带符号位的二进制数码称为原码。这种带符号位的二进制数码称为原码。一、原码：一、原码：例如：例如：17的原码为的原码为010001，17的原码为的原码为110001二、反码二、反码反码是为了在求补码时不做减法运算。二进制的反码反码是为了在求补码时不做减法运算。二进制的反码求法是：求法是：正数的反码与原码相同，负数的原码除正数的反码与原码相同，负数的原码除了符号位外的数值部分按位取反，即了符号位外的数值部分按位取反，即“1”改为改为“0”，“0”改为改为“1”

24、。2022-6-2626例如例如7和和7的原码和补码为：的原码和补码为：7的的原码为原码为0 111，反码为，反码为0 1117的的原码为原码为1 111，反码为，反码为1 000注：注：0的反码有两种表示，的反码有两种表示，0的反码为的反码为0 000，0的反码为的反码为1 111三、补码：三、补码：1.模（模数）的概念：模（模数）的概念： 把一个事物的循环周期的长度，叫做这个事件的把一个事物的循环周期的长度，叫做这个事件的模或模数。模或模数。 当做二进制减法时，可利用补码将减法运算转换成当做二进制减法时，可利用补码将减法运算转换成加法运算。在讲补码之前先介绍模（或模数）的概念加法运算。在讲

25、补码之前先介绍模（或模数）的概念2022-6-2627钟表是以钟表是以12为一循环计数的，故模数为为一循环计数的，故模数为12。以表为例来介绍补码运算的原理：对于图以表为例来介绍补码运算的原理：对于图1.4.1所示的所示的钟表钟表12126 63 39 91 12 24 45 57 78 81010111110+7-12=510+7-12=510-5=510-5=5图1.4.1 补码的原理图1.4.1 补码的原理 当在当在5点时发现表停在点时发现表停在10点，若想拨回有两种方法：点，若想拨回有两种方法：a.逆时针拨逆时针拨5个格，即个格，即 1055，这是做减法。，这是做减法。b.顺时针拨七个

26、格，即顺时针拨七个格，即 10717，由于模是，由于模是12，故相当于进位故相当于进位12，也是，也是17125，这是做加法。，这是做加法。2022-6-2628 由此可见由此可见107和和105的效果是一样的，而的效果是一样的，而5712，将故，将故7称为称为5的补数，的补数，即补码，也可以说减法可以即补码，也可以说减法可以由补码的加法来代替由补码的加法来代替12126 63 39 91 12 24 45 57 78 81010111110+7-12=510+7-12=510-5=510-5=5图1.4.1 补码的原理图1.4.1 补码的原理2.补码的表示补码的表示正数的补码和原码相同，正数

27、的补码和原码相同，负数的补码是符号位为负数的补码是符号位为“1”，数值位按位取反，数值位按位取反加加“1”，即，即“反码加反码加1”例如：例如：+7-7原码原码0 1111 111反码反码0 1111 000补码补码0 1111 0012022-6-2629例例1.4.1 用二进制补码计算用二进制补码计算 ：7528 、7528 、 7528、 7528 （75）D（01001011）B （28）D（00011100）B （75）D（11001011）B （28）D（10011100）B 原码原码7 52 81 0 30 10010110 0011100 0 1100111（75）D（1011

28、0101） B ; （28）D（11100100） B ;解：先求两个数的二进制原码和补码（用解：先求两个数的二进制原码和补码（用8位代码）位代码）补码补码2022-6-26307 52 8 4 70 10010111 11001001 0 0101111 7 52 810 31 01101011 11001001 1 0011001溢出溢出 7 52 8 4 71 01101010 0011100 1 1010001溢出溢出补码补码补码补码注意：注意：P.122022-6-2631 用用4位二进制代码表示十进制的位二进制代码表示十进制的09个数码，即二个数码，即二十进制的编码。十进制的编码。

29、 4位二进制代码可以有位二进制代码可以有00001111十十六个状态，则表示六个状态，则表示09十个状态可以有多种编码形式，十个状态可以有多种编码形式，其中常用的有其中常用的有8421码、余码、余3码、码、2421码、码、5211码、余码、余3循环码等，其中循环码等，其中8421码、码、2421码、码、5211码为有权码，码为有权码，即每一位的即每一位的1都代表固定的值。都代表固定的值。表表1.5.1为几种编码形式为几种编码形式1.5 二进制编码二进制编码2022-6-2632表表1.5.1编码种类编码种类十进制数十进制数8421码8421码（BCD代码）（BCD代码）余3码余3码2421码2

30、421码5211码5211码余3循环码余3循环码0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9权权0000000000010001001000100011001101000100010101010110011001110111100010001001100184218421001100110100010001010101011001100111011110001000100110011010101010111011110011000000000000010001001000100011001101000100101110111100110011011101111011101111

31、1111242124210000000000010001010001000101010101110111100110011000100011001100110111011111111152115211001000100110011001110111010101010100010011001100110111011111111111101110101010102022-6-2633循环码循环码：也叫格雷码，它是无权码，每位代码无固定：也叫格雷码，它是无权码，每位代码无固定权值，其组成是格雷码的最低位是权值，其组成是格雷码的最低位是0110循环；第二位循环；第二位是是00111100循环；第三位是

32、循环；第三位是0000111111110000循环，以循环，以此类推可以得到多位数的格雷码。此类推可以得到多位数的格雷码。格雷码的特点是任格雷码的特点是任何相邻的两个码组中，仅有一位代码不同，抗干扰能何相邻的两个码组中，仅有一位代码不同，抗干扰能力强，主要用在计数器中。力强，主要用在计数器中。自然码自然码：有权码，每位代码都有固定权值，结构形式：有权码，每位代码都有固定权值，结构形式与二进制数完全相同，最大计数为与二进制数完全相同，最大计数为2n1，n为二进制为二进制数的位数。数的位数。2022-6-2634内容提要 本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基

33、本定理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数。2.1 概述2.2 逻辑代数中的三种基本运算2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式2.4 逻辑代数的基本定理2.5 逻辑函数及其表示方法2.6 逻辑函数的化简方法2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简 在数字电路中，1位二进制数码“0”和“1”不仅可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。 当二进制数码“0”和“1”表示二值逻辑，并按某种因果关系进行运算时，称为，最基本的三种逻辑运算为“与”、“或”、“非”，它与算术运算的本质区别是“0”

34、和“1”没有数量的意义。1. 逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表示变量，叫逻辑变量。2. 逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数，是进行十进制（09）数值运算。而逻辑代数中变量的取值只有两个：“0”和“1”。并且“0”和“1”没有数值意义，它只是表示事物的两种逻辑状态。 在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种逻辑运算。2.2.1 与运算 与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件都满足时，事件才会发生，即“缺一不可。ABY Y图2.2.1 与逻辑电路图2

35、.2.1 与逻辑电路 如图2.2.1所示电路，两个串联的开关控制一盏灯就是与逻辑事例，只有开关A、B同时闭合时灯才会亮。 表表2.2.1 与逻辑真值表与逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 11 10 00 00 0输出输出输入输入 从表中可知，其逻辑规律服从“有0出0，全1才出1” 这种与逻辑可以写成下面的表达式： BAY称为与逻辑式，这种运算称为与运算。ABY Y图2.2.1 与逻辑电路图2.2.1 与逻辑电路 逻辑真值表就是采用一种表格来表示逻辑函数的运算关系，其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能取值的组合，输出部分根据逻辑函数得到相应的输出逻辑变量

36、值。A AB BY Y图图2.2.2 与门逻辑符号与门逻辑符号A AB BY Y2.2.2 或运算 或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条件满足时，事件就会发生，即“有一即可”。若有n个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为nAAAY21ABY Y图2.2.3 或逻辑电路图2.2.3 或逻辑电路“有1出1，全0才出0” 其逻辑式为BAY表表2.2.2 或或逻辑真值表逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 11 11 11 10 0输出输出输入输入上式说明：当逻辑变量A、B有一个为1时，逻辑函数输出Y就为1。只有A、B全为0，Y 才为0。A AB BY Y图图2.

37、2.4 或门逻辑符号或门逻辑符号1A AB BY Y若有n个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为：nAAAY212.2.3 非逻辑运算 条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事件发生，这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反。 非逻辑运算也叫逻辑非、非运算、反相运算，即输出变量是输入变量的相反状态。其逻辑式为：AY Y图2.2.5 非逻辑电路图2.2.5 非逻辑电路R表表2.2.3 非逻辑真值表非逻辑真值表A AY Y0 01 11 10 0AY注：上式也可写成等或AYAYA AY Y图图2.2.6 非门逻辑符号非门逻辑符号1A AY Y2.2.4 与非（NAND）逻辑运算与非运算是先与运算后非运算

38、的组合。以二变量为例，布尔代数表达式为： )( ABY表表2.2.4 与非逻辑真值表与非逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 10 01 11 11 1输出输出输入输入2.2.5 或非（NOR）运算 或非运算是先或运算后非运算的组合。以二变量A、B为例，布尔代数表达式为： )(BAYA AB BY Y图图2.2.7 与非门逻辑符号与非门逻辑符号A AB BY Y表表2.2.5 或或非逻辑真值表非逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 10 00 00 01 1输出输出输入输入A AB BY Y图图2.2.8 或门逻辑符号或门

39、逻辑符号1A AB BY Y 与或非运算是“先与后或再非”三种运算的组合。以四变量为例，逻辑表达式为： )(CDABY图图2.2.9 与与或非门逻辑符号或非门逻辑符号A AB BY YC CD DA AB BY Y1C CD DBABABAY其门电路的逻辑符号其布尔表达式（逻辑函数式）为表表2.2.6 异或异或逻辑真值表逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 10 01 11 10 0输出输出输入输入图图2.2.10 异或异或门逻辑符号门逻辑符号A AB BY YA AB BY Y=1符号“”表示异或运算，即两个输入逻辑变量取值不同时Y=1，即不同为“1”相同

40、为“0”，异或运算用异或门电路来实现其真值表如表2.2.6所示BAABBABAY)(其布尔表达式为表表2.2.7 同同或或逻辑真值表逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 11 10 00 01 1输出输出输入输入A AB BY Y图图2.2.11 同同或或门逻辑符号门逻辑符号=A AB BY Y符号“”表示同或运算，即两个输入变量值相同时Y=1，即相同为“1”不同为“0” 。同或运算用同或门电路来实现，它等价于异或门输出加非门，其真值表如表2.2.7所示其门电路的逻辑符号如图2.2.11所示2.3.1 基本公式表2.3.1 逻辑代数的基本公式序号序号1 12

41、 23 34 45 56 67 78 89 9公 式公 式00AAA 1AAA0AAABBACBACBA)()(CABACBA)(BABA)(AA)(序号序号101011111212131314141515161617171818公 式公 式AA 0AAA1 AAABBACBACBA)()()()(CABACBABABA )(100111 AA 0 = 0A + 0 = AA 1 = AA + 1 = 12. 交换律、结合律、分配律a. 交换律： AB = BA A + B = B + Ab. 结合律：A（BC） =（ AB）C A +（ B C）= （AB） + Cc. 分配律：A ( B

42、+ C ) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C)说明：a. 互补律：10AAAAb. 重叠律：A A = A A + A = Ac. 非非律：AA)(d. 吸收律：A + A B = A A (A+B) = A BABAAe. 摩根定律：BAAB )(BABA )(注：以上定律均可由真值表验证表2.3.2为常用的一些公式序号序号212122222323242425252626公 式公 式ABABAABAA)(CABABCCABA ABAABABAA )()(ABAABABAACABABCDCABA 表2.3.2 常用公式1. AABA：在两个乘积项相加时，如果其

43、中一项包含另一项，则这一项是多余的，可以删掉；2. AABAB：在两个乘积项相加时，如果其中一项含有另一项的取反因子，则此取反因子多余的，可从该项中删除；3. ABA B A4. A（AB）A6. A（A B） A B (证明？)7. A （A B） A （证明？）以上的公式比较常用，应该能熟用，为以后逻辑函数的化简打好基础2.4.1 代入定理内容：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然成立。利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式证明：方程的左边有A的地方代入G得：B(A十D)十C B(A十D)十BCB

44、A十BD十BC方程的右边有A的地方代入G得：B(A十D)十BCBA十BD十BC故 B(A十D)十C B(A十D)十BC证明：设GBCBAAB )(代入公式左右的B中CBABCAGAABCAG)()(）（左CBACBACBA )()(同理设GBC代入式子左右的B可得CBABCAGA)(右故：CBAABC )(可得BABA)(内容：若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将Y式中所有的“”换为“+”, “+”换为“”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，所有原变量（不带非号）变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函数Y的反函数（补函数） Y 。注意：1. 变换中必须保持先与后或 的顺序；

45、 2. 对跨越两个或两个以上变量的“非号”要保留不变。解：由反演定理DCBDACADCBCCBDACADCCBAY)(或直接求反DCBDACADCBCCBDACADCCBADCCBADCCBADCCBAY )()()()()( )()(对偶式：设 Y 是一个逻辑函数，如果将 Y 中所有的“+”换成与“”， “”换成与“+” ，“1” 换成与“0”， “0” 换成与“1”，而变量保持不变，则所得的新的逻辑式 YD 称为 Y 的对偶式。如：CBAYCBAYD)()(1)(0)DYABACYA BA C)()( CBAYCBAYDACABGACABCBAYDD)(证明：设Y ABC，G (A+B)(

46、A+C)，则它们的对偶式为证明：设BAGBAAY则它们的对偶式为ABGABABAABAAYDD)(由于DDGY故YG，即BABAA),(21nAAAFY其中：A1, A2 An称为n个输入逻辑变量，取值只能是“0” 或是“1”，Y 为输出逻辑变量，取值也只能是“0”或 是“1”则 F 称为n变量的逻辑函数。 在数字电路中，输入为二值逻辑变量，输出也是二值变量，则表示输入输出的逻辑函数关系，即如 YAB C，表示输出等于变量B取反和变量C的与，再和变量A相或。2.5.1 逻辑函数逻辑函数的表示方法很多，比较常用的如下：逻辑函数的表示方法很多，比较常用的如下： 逻辑真值表就是采用一种表格来表示逻辑

47、函数的运算关系，其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能取值的组合，输出部分根据逻辑函数得到相应的输出逻辑变量值。 如表2.5.1表示的异或逻辑关系的函数，即YBA011101110000输出输入表2.5.1Y A B AB 一 、逻辑真值表 按一定逻辑规律写成的函数形式，也是逻辑代数式。与普通函数数不同的是，逻辑函数式中的输入输出变量都是二值的逻辑变量。如异或关系的逻辑函数可写成：YA B AB 三、 逻辑图法 采用规定的图形符号，来构成逻辑函数运算关系的网络图形。图2.5.1表示的是异或关系的逻辑图A AB BY Y=1图2.5.1图2.5.1 一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数

48、值随时间变化的规律，也称时序图。如图2.5.2表示异或逻辑关系的波形。ABOOttYOt图2.5.2 异或逻辑关系的波形 除上面介绍的四种逻辑函数表示方法外，还有卡诺图法、点阵图法及硬件描述语言等。在后面的课程中将重点介绍卡诺图法。已知真值表写出逻辑函数式；输入输出ABCY100001111001100110101010101101001表2.5.2输出Y200010111CBACBACBACBABACABBAABCCBACBACBAY )()()()()(1ABCBAABCBABAABCCABCBABCAY)()(2输入输出ABCY100001111001100110101010101101

49、001表2.5.2输出Y200010111由真值表写出逻辑函数式的一般方法（P.32）11 1A AB BC CY Y图2.5.4 例2.5.5的逻辑电路图2.5.4 例2.5.5的逻辑电路CA例2.5.5 已知逻辑电路如图2.5.4，试写出输出端的逻辑函数式。ABABCBCCAABY例2.5.7 已知逻辑函数Y的输出波形如图2.5.6所示，试分析其逻辑功能。ABttOOYtO图2.5.6 例2.5.7的波形图2.5.6 例2.5.7的波形ABttOOYtO图2.5.6 例2.5.7的波形图2.5.6 例2.5.7的波形表2.5.7ABBAY输入输出ABCY000011110011001101

50、01010111101000表2.5.6CBCABABACBABAACBACBACABACBACBACBACBBACBACBABACBACBACCBACBACBACBACBAY)()()()()(输入输出ABCY00001111001100110101010111101000表2.5.6111A AB BC C1Y Y图2.5.5 例2.5.6的逻辑电路图2.5.5 例2.5.6的逻辑电路标准型有两种：标准与或式和标准或与式一、最小项a. 定义: 在n变量的逻辑函数中，设有n个变量A1 An，而 m 是由所有这n个变量组成的乘积项（与项）。若m中包含的每一个变量都以Ai 或Ai 的形式出现一次

51、且仅一次，则称m 是n变量的最小项。注：n个变量构成的最小项有2n个，通常用 mi 表示第i 个最小项，变量按A1 An排列，以原变量出现时对应的值为“1”，以反变量出现时对应的值取“0”，按二进制排列时，其十进制数即为i 。A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mCBA)(1mCBA)(2mCBA)(3mBCA表2.5.11 三变量表2.5.11 三变量C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(4mCBA)(5mCBA )(6mCAB )(7mABC十进十进制数制数0 01 12 23 34

52、45 56 67 7A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mBA)(1mBA)(2mBA )(3mAB表2.5.10 二变量表2.5.10 二变量十进十进制数制数0 01 12 23 3A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mDCBA)(1mDCBA)(2mDCBA)(3mCDBA表2.5.12 四变量表2.5.12 四变量C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(4mDCBA)(5mDCBA)(6mDBCA)(7mBCDAA AB Bm mi0 00 00

53、01 10 01 11 11 1)(8mDCBA)(9mDCBA)(10mDCBA)(11mCDBA C C0 00 00 00 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(12mDCAB)(13mDCAB )(14mDABC )(15mABCDD D1 11 11 11 11 11 11 11 10 00 00 00 00 00 00 00 0D DA AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mBA)(1mBA)(2mBA )(3mAB表2.5.10 二变量表2.5.10 二变量十进十进制数制数0 01 12 23 3 n变量组

54、成的全体最小项之逻辑和为“1”。1120niim 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。 任意两个最小项的乘积为0。如ABBAmmBAY30),(CABCBABCACBACBAmmmmmCBAY65310),(DCABDCBABCDACDBADCBADCBAmmmmmmDCBAY13107310),(与或型特点：1. 式子为乘积和的形式；2. 不一定包含所有的最小项，但每 一 项必须为最小项。利用添项、真值表、卡诺图例2.5.10 将逻辑函数YAB C写成标准与或式。 除了上述标准与或式外，还需要将逻辑函数变换成其它形式。假如给出的是一般与或式，要用与非门实现，就需要将其变成

55、与非与非式。 一、与或式化为与非与非式利用反演定理 例2.5.10 将下式 Y=AC + BC 用与非门实现，并画出逻辑图。) ()() (BCACBCACY 解：用二次求反，) ()() (BCACBCACYACBCY图图2.5.10 输入有反变量输入输入有反变量输入ACBCY图图2.5.11 输入只有原变量输入输入只有原变量输入1 一个逻辑函数有多种不同形式的逻辑表达式，虽然描述的逻辑功能相同，但电路实现的复杂性和成本是不同的。逻辑表达式越简单，实现的电路越简单可靠，且低成本。因此在设计电路时必须将逻辑函数进行简化。随着集成电路的发展，集成芯片的种类越来越多。逻辑函数是否“最简”已无太大意

56、义。但作为设计思路，特别对于中小规模集成电路，逻辑函数的简化是不能忽视的逻辑函数的简化方法很多，主要有逻辑代数简化法（公式法）和卡诺图法 公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理、公式和运算规则，将逻辑函数进行简化。实现电路的器件不同，最终要得到的逻函数的形式不同，其最简的定义也不同。 对于要小规模集成门电路实现的电路，常用的门为与非门、或非门、与或非门等。由上一节可知，其最终都可以由与或式转换而成。故最常用的是最简与或式。最简与或式：最简的与或式所含乘积项最少，且每个乘积项中的因子也最少。a. 合并项法：利用ABABB消去一个变量；b. 消除法：利用A ABAB消去多余变量；c. 配项法：利用

57、AA 1 增加一些项，再进行简化ABCABCBCACABY配项ABC)()()(ABCABCABCBCAABCCABY)()()(CCABBCAABBACABBCAC解法一：配项法ABCABCBCACABY)(CCABBCACABBACACABABBCACAB)(ABBCCABBACCAB)(ABCBAABCBAB)()(ABBCAC二种方法结果一致，但过程繁简不同。尽量选择最佳方法，使化简过程简单DEABBCDACBACDBDCBACY) (解：DEABCBABACDBDCBAC)()1 ( DEABBCDACBACDBDCBACY) (DEABCDBDCBAAC多余项反演定理说明：一般化简

58、需要各种方法综合起来。化简需要技巧和经验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难以判断。BDCBA 公式法简化逻辑函数不直观，且要熟练掌握逻辑代数的公式以及简化技巧，而卡诺图法能克服公式法的不足，可以直观地给出简化的结果。一.卡诺图a. 定义：将逻辑函数的真值表图形化，把真值表中的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成二维图表，即为卡诺图，它是由卡诺（Karnaugh）和范奇（Veich）提出的。b. 卡诺图的构成：将最小项按相邻性排列成矩阵，就构成卡诺图实质是将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来。最小项的相邻性就是它们中变量只有一个是不同的。A AB B0m0 00 01 11

59、 11m2m3m表表2.6.1 二变量的卡诺图二变量的卡诺图A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mBA )(1mBA)(2mBA )(3mAB表2.5.10 二变量表2.5.10 二变量十进十进制数制数0 01 12 23 3A ABCBC00000101111110100 01 12m3m1m0m4m5m7m6m表表2.6.2 三变量的卡诺图三变量的卡诺图A AB Bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mCBA)(1mCBA)(2mCBA)(3mBCA表2.5.11 三变量表2.5.11 三变量C C0 00 00 00 01

60、10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(4mCBA)(5mCBA )(6mCAB )(7mABC十进十进制数制数0 01 12 23 34 45 56 67 7ABABCDCD000001011111101010102m3m1m0m4m5m7m6m表表2.6.3 四变量的卡诺图四变量的卡诺图00001111010114m15m13m12m8m9m11m10m 任意两个相邻的最小项在图上是相邻的，并且图中最左列的最小项与左右列相应最小项也是相邻的（如m0和m2， m8和m10 )。位于最上面和最下面的相应最小项也是相邻的（ m0和m8 , m2和m10)，所以四变