第三章交流电路

1、 交流电与直流电的区别在于：直流电的方向、交流电与直流电的区别在于：直流电的方向、大小不随时间变化；而交流电的方向、大小都随时大小不随时间变化；而交流电的方向、大小都随时间作周期性的变化，并且在一周期内的平均值为零。间作周期性的变化，并且在一周期内的平均值为零。 正弦电压和电流是按正弦规律周期性正弦电压和电流是按正弦规律周期性变化的，其波形如图示。变化的，其波形如图示。 t tu, iu, iO O + +u ui iR R + +u ui iR R 电路图上所标的方向是指它们的参考电路图上所标的方向是指它们的参考方向，即代表正半周的方向。方向，即代表正半周的方向。 负半周时，由于的参考方向与

2、实际方负半周时，由于的参考方向与实际方向相反，所以为负值。向相反，所以为负值。+ + 实实际际方方向向 表征正弦量的三要素有表征正弦量的三要素有 幅值幅值 初相位初相位 频率频率 3.1.1 3.1.1 频率与周期频率与周期T T周期周期 T T：正弦量变化一周所需要的时间；：正弦量变化一周所需要的时间；角频率角频率 : :正弦量每秒钟变化的弧度正弦量每秒钟变化的弧度 t t2 2 例例 我国和大多数国家的电力标准频率是我国和大多数国家的电力标准频率是 50 Hz50 Hz，试求试求其周期和角频率。其周期和角频率。解解 = = 2 2 f f =2 =2 3.14 3.14 50 = 50 =

3、 314 rad/s314 rad/sI Im mTf1 s 02. 01 fT t t i iO OT/T/2 2频率频率 f f：正弦量每秒内变化的次数；：正弦量每秒内变化的次数；fT 22 IIm m中国、香港、欧洲等中国、香港、欧洲等 220V220V、50HZ50HZ 我国电力的标准频率为我国电力的标准频率为50Hz50Hz；国际上多采用此标准，国际上多采用此标准，但美、日等国采用标准为但美、日等国采用标准为60Hz60Hz。下面是几个国家的电源情况：下面是几个国家的电源情况：印度印度 230V230V、50HZ50HZ澳洲澳洲 240V240V、50HZ50HZ日本日本 110V1

4、10V、60HZ60HZ台湾台湾 220V220V、60HZ60HZ美国、加拿大美国、加拿大 120V120V、60HZ60HZ3.1.2 3.1.2 幅值与有效值幅值与有效值瞬时值瞬时值是交流电任一时刻的值。是交流电任一时刻的值。用小写字母表示。用小写字母表示。如如 i i、u u、e e 分别表分别表示电流、电压、电动势的瞬时值。示电流、电压、电动势的瞬时值。最大值最大值是交流电的幅值。是交流电的幅值。用大用大写字母加下标写字母加下标m m表示。表示。如如 I Im m、U Um m、E Em m。有效值有效值)sin(im tIiTRItRiT202d TtiTI02d12mII 2mU

5、U t t2 2 I Im m t t i iO OT/T/2 2IIm m同理可得同理可得根据定义，有根据定义，有得得当电流为正弦量时：当电流为正弦量时：2mEE t ti iO 正弦量所取计时起点不同，其初始值正弦量所取计时起点不同，其初始值( (t t = 0)= 0)时的值及到时的值及到达幅值或某一特定时刻的值就不同。达幅值或某一特定时刻的值就不同。i i t tO OtIi sinm 00 i)sin(m tIi sinm0Ii 例如：例如：不等于零不等于零t t = 0 = 0 时时，t t = 0 = 0 时的相位角称为时的相位角称为初相位角或初相位。初相位角或初相位。 t t

6、和和( ( t t + + ) )称为正弦量的称为正弦量的相位角或相位。相位角或相位。它表明正弦它表明正弦量的进程。量的进程。若所取计时时刻不同，则正弦量若所取计时时刻不同，则正弦量初相位不同初相位不同O O t ti iu u 同频率正弦量的相位角之差或是同频率正弦量的相位角之差或是初相角之差，称为相位差，用初相角之差，称为相位差，用 表示表示。i iu u 2 2 1 1 图中图中u u 超前超前 i i 角角或称或称 i i 滞后滞后 u u 角角 t ti iO Oi i1 1i i2 2i i3 3i i1 1 与与 i i3 3 反相反相i i1 1 与与 i i2 2 同相同相)

7、sin(1m tUu)sin(2m tIi2121)() ( tt21 在一个交流电路中，电压电流频率相同在一个交流电路中，电压电流频率相同，而相位常不相同，如图示，而相位常不相同，如图示例例3.1 已知某正弦电压在已知某正弦电压在 时时为为110 V，初相角为，初相角为 ，求其，求其有效值。有效值。 0t230解：此正弦电压表达式为解：此正弦电压表达式为)30sin(mtUu30sin)0(mUu则则V2220V5 . 0211030sin)0(muUV220V222202mUU表示正弦量的方法：表示正弦量的方法：2、波形图：、波形图：优点：能够直观的反应正弦量的实际情况优点：能够直观的反应

8、正弦量的实际情况缺点：不便于波形的合成缺点：不便于波形的合成引入向量来表示正弦量！引入向量来表示正弦量！1、瞬时值表达法：、瞬时值表达法：优点：能够完整具体的表示正弦量的三要素优点：能够完整具体的表示正弦量的三要素 缺点：涉及到三角函数，计算较麻烦缺点：涉及到三角函数，计算较麻烦3.2.1复数及其运算复数及其运算1复数的实部、虚部和模复数的实部、虚部和模 有向线段有向线段A可用下面的复数表示可用下面的复数表示为为 A=a+jb 由图可见由图可见， 22bar 表示复数的大小，称为复数的模。表示复数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方向间的夹角，称有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角

9、，用为复数的幅角，用 表示。表示。rabarctan复数的指数形式复数的指数形式 ：jreA 复数的极坐标形式复数的极坐标形式 ： rA例例 写出下列复数的直角坐标形式。写出下列复数的直角坐标形式。485901 905 . 5（1） （2） （3） 解：解： 72. 335. 348sin548cos5485jj（1）jj90sin90cos901（2）5 . 5)90sin(5 . 5)90cos(5 . 5905 . 5jj（3)2复数的表达方式复数的表达方式 复数的直角坐标式复数的直角坐标式 ：)sin(cossincosjrjrrjbaA若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。若两个复数

10、相加减，可用直角坐标式进行。如：如： A1=a1+jb1 A2=a2+jb2 则则 A1A2=（a1+jb1）（）（a2+jb2）=（a1a2）+j（b1b2） 即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。复数的加减复数的加减复数的乘除复数的乘除两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。行。A1=a1+jb1= 11rA2=a2+jb2 =22r 如：如：212121rrAA)(2121221121rrrrAA 正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除用三角

11、正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除用三角函数式和正弦波形表示外，还可以用函数式和正弦波形表示外，还可以用相量相量来表示。来表示。正弦量的相量表示法就是用正弦量的相量表示法就是用复数复数来表示正弦量。来表示正弦量。3正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法结论：一个正弦量的瞬时值总可以用一个旋转的结论：一个正弦量的瞬时值总可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影来表示。有向线段在纵轴上的投影来表示。其中：有向线段的长度为这个正弦量的最大值其中：有向线段的长度为这个正弦量的最大值有向线段旋转的速度为这个正弦量的角频率有向线段旋转的速度为这个正弦量的角频率有向线段的起始位置为这个正弦量的初相位有

12、向线段的起始位置为这个正弦量的初相位a aO O+1+1+j+jA A b br r模模幅角幅角代数式代数式三角式三角式指数式指数式极坐标式极坐标式 sinrb cosra 22bar abarctan A = a + A = a + j jb b= r= r(cos(cos + + jsinjsin ) )= r= re ej j = r = r / / 设平面有一复数设平面有一复数复数复数可有几种式子表示可有几种式子表示其中：其中：3正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法 由以上分析可知，一个复数由模和幅角两个特征量确定。由以上分析可知，一个复数由模和幅角两个特征量确定。而正弦量具有幅值、频

13、率和初相位三个要素。但在分析线性电而正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。但在分析线性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，可不必考虑。因此，频率是已知的，可不必考虑。故，一个正弦量可用幅值和初相角两个特征量故，一个正弦量可用幅值和初相角两个特征量来确定。来确定。而且，向量可以用来表示正弦量，但它并不是而且，向量可以用来表示正弦量，但它并不是正弦量本身。正弦量本身。 比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为正弦量的幅值或有效值，复数的幅角即为

14、正弦量的初相角。为正弦量的幅值或有效值，复数的幅角即为正弦量的初相角。 为与复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并在大为与复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并在大写字母上打一写字母上打一 “ “”。 于是表示正弦电压于是表示正弦电压 )sin(mtUu的相量为的相量为 mmmm)sinj(cosUeUUUj或或 UUeUUj)sinj(cosmU：电压的幅值相量：电压的幅值相量 U：电压的有效值相量：电压的有效值相量例例3.3 试写出表示试写出表示 ， 和和 的相量，并画出相量图。的相量，并画出相量图。V)120314sin(2220BtuV)120314sin(2220Ctu解：分

15、别用有效值相量解：分别用有效值相量 、 和和 表示正弦电压表示正弦电压 、 和和 ，则，则AUBUCUAuBuCuV2200220AUV)23j21(220120220BUV)23j21(220120220CU相量图如图相量图如图4.9所示。所示。 按照正弦量的大小和相位关系画出的若干按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形，称为个相量的图形，称为相量图相量图。V)(314sin2220Atu 例例3.3 若已知若已知 i i1 1 = = I I1 m1 msin(sin( t t + + 1 1) = ) = 100sin(100sin( t t + 45+ 45 ) A) A，

16、i i2 2 = = I I2 2 m msin(sin( t t + + 2 2) = ) = 6060 sin(sin( t t 30 30 ) A ) A ，求求 i i = = i i1 1 + + i i2 2。 解解 正弦电量正弦电量 ( (时间函数时间函数) )所求所求正弦量正弦量变换变换相量相量( (复数复数) )相相量量结结果果反变换反变换相量相量运算运算( (复数复数运算运算) ) j30j452m1mme60e100IIIAe129)03j52()7 .70j7 .70(j18.3 A)3 .18sin(129 ti 于是得于是得正弦电量的运算可按下列步骤进行，首先把正弦

17、电量的运算可按下列步骤进行，首先把符号说明符号说明瞬时值瞬时值 - 小写小写u、i有效值有效值 - 大写大写U、I复数、相量复数、相量 - 大写大写 + “.”U最大值最大值 - 大写大写+ +下标下标mU正误判断正误判断Utu sin100瞬时值瞬时值复数复数)15sin(2505015teUj瞬时值瞬时值复数复数？45210I已知：已知：)45sin(10ti？4510 eIm？有效值有效值j45 则：则：已知：已知：)15(sin102tu10U1510jeU ？15 则：则：)50(sin100ti已知：已知：50100I？最大值最大值21002 IImiRu 本节从电阻、电感、电容两

18、端电压与电流一般关系本节从电阻、电感、电容两端电压与电流一般关系式入手，介绍在正弦交流电路中这些单一参数的式入手，介绍在正弦交流电路中这些单一参数的电压、电流电压、电流关系及关系及能量转换能量转换问题。问题。R R + +u ui i1. 1. 电压电流关系电压电流关系设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。（1 1）根据欧姆定律）根据欧姆定律设设tIi sinm tRIRiusinm则则（2 2）mmRIU 或或RIU uwtUsinmU UI I相量图相量图+1+1+j+jO Oi iu u波形图波形图 t tO OtUtRI

19、Riu sinsinmm （4 4） 电压与电流相量表达式电压与电流相量表达式 tIi sinm （3 3） 电压与电流相位相同。电压与电流相位相同。 uUUI RiIR 瞬时功率瞬时功率 平均功率（有功功率）平均功率（有功功率） 2. 2. 功率功率u u t tO Oi ip pO O t tP =U IP =U I转换成的热能转换成的热能tIi sinm tUu sinm )2cos1(tUIuip PtW R R + +u ui iRIRUUItpTPT220d1 （1 1）设设 O Of fX XL L感抗感抗1. 1. 电压电流关系电压电流关系由由，有，有感抗与频率感抗与频率 f

20、f 和和 L L 成正比。因此，成正比。因此，电感线电感线 圈对高频电流的阻碍作用很大，圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流可视为短路。而对直流可视为短路。tIi sinm tiLudd )90sin(cosmtLItILum mmm 2IXILULLXL fLXL 2设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。 + +u ui iL LX XL L与与 f f 的关系的关系)sin(umtU （3 3）电压超前电流）电压超前电流 9090 ；tIi sinm )90sin(m tUu （4 4）电压与电流相量式）电压与电流相量式 u

21、UUU U + 1+ 1+j+jO O相量图相量图I Iu ui i波形图波形图 t tO OoLiX I90LiX IjjLX I2. 2. 功率功率瞬时功率瞬时功率i iu u t tO Op p t tO O+ + +p p 0 , 0 , 电感吸收功率；电感吸收功率； p p p 0 , 0 , 电容吸收功率；电容吸收功率； p p X XC C ， 为正，电路中电压超前电流，电路呈电感性；为正，电路中电压超前电流，电路呈电感性；当当 X XL L XC ，或，或 XL XC , 或或 XL =XC 。CXLXCL1 、 为正为正时时电路电路中电压中电压电流相电流相量图量图I I U

22、UU UR RU UL L U UC CU UL LU UC CCLRUUUU IXIXIRCLjj 电压电压三角形三角形U UL L U UC CU UR R U U2. 2. 功率功率)2cos(cos tUIUIp TTttUIUITtpTP00d)2cos(cos1d1 cosUI RIUURcosttIUuip sin)sin(mm 瞬时功率瞬时功率 整理可得整理可得有功功率为有功功率为 于是于是2cosRRPUIU IRIP从从 R R、L L、C C 串联电路电压三角形可得出串联电路电压三角形可得出U UL L U UC CU UR R U ULCQQQSUI无功功率为无功功率为

23、 视在功率：视在功率：电压与电流的有效值之积电压与电流的有效值之积单位是单位是(V A)(V A)2()()sinLCLCLCU IU IUUIXXIUI22PQ无功功率的正负亦可以反应电路的性质无功功率的正负亦可以反应电路的性质RUULCU U电压三角形SQP功率三角形CLXX ZR阻抗三角形阻抗三角形RLCRULUCUIUR L C R L C 串联电路的三个三角形是相似三角形串联电路的三个三角形是相似三角形因为各个相量的相位不同因为各个相量的相位不同。 CLCLRXXIIRUUUU？CURUULUCLUUI在在R-L-C串联电路中串联电路中RLCRULUCUIUZIU？而复数阻抗只是一个

24、运算符号。而复数阻抗只是一个运算符号。Z 不能加不能加 “”反映的是正弦电压或电流，反映的是正弦电压或电流，IU、ZUI？ZUI Zui ？ZUI ？ZUI？正误判断正误判断在在 R-L-C 串联电路中，假设串联电路中，假设0II？222CLRUUUU？CLXXjRIU？22CLXXRIU在在R-L-C串联电路中，假设串联电路中，假设0II？UUUtgCL1？RCLtg1？RXXtgCL1？RCLUUUtg1 解解 例例 1 R R、L L、C C 串联交流电路如图所示。已知串联交流电路如图所示。已知 R R = 30 = 30 、L L = 127 mH= 127 mH、C C = 40 =

25、 40 F F， 。求：求：( (1) ) 电流电流 i i 及各部分电压及各部分电压 u uR R，u uL L，u uC C；(2) (2) 求功率求功率 P P 和和 Q Q。V)20314sin(2220 tu + +L L + +u uC CR Ri iu uL Lu uC Cu uR R + + + + 40101273143LXL 801040314116CXC )8040( j30)j( CLXXRZ 5350)40j30(V20220 UA73 4.4535020220 /ZUI A)73314sin(24 . 4 ti( (1) )于是得于是得30 4.4 2sin(314

26、73 )VRut40 4.4 2sin(314163 )VLut80 4.4 2sin(31417 )VCutCLRUUUU CLRUUUU )53cos(4 . 4220cos UIPW8 .5806 . 04 . 4220 )53sin(4 . 4220sin UIQvar4 .774)8 . 0(4 . 4220 注意：注意：( (2) )电容性电容性 A)73314sin(24 . 4 ti 例例22已知电压表已知电压表V1V1的度数为的度数为10V10V，V2V2的度数为的度数为10V10V，求，求V V的度数的度数V1V1V2V2 V V交交流流解解1 1RCUUU10 01090

27、10 245oooVI0oIIA V V的度数为的度数为14.1V14.1V。解解2 2IRUCUU2222101010 2RCUUUVV V的度数为的度数为14.1V14.1V。R RC C3.5.1 3.5.1 阻抗的串联阻抗的串联 + +Z ZIU + + + + Z Z2 2Z Z1 1IU1U2UIZZIZIZUUU)(212121 IZU 21ZZZ 21UUU 21ZZZ (a)(a)(b)(b)根据根据 KVL 可写出图可写出图(a)(a)电压的相量表示式电压的相量表示式图图(b)(b)相量表示式相量表示式 若图若图(b)(b)是图是图(a)(a)的等效电路，两电的等效电路，两

28、电路电压、电流的关系式应完全相同，由此可路电压、电流的关系式应完全相同，由此可得得若若 Z Z1 1 = = R R1 1 + j+ jX X1 1 Z Z2 2 = = R R2 2 + j+ jX X2 2则则 Z Z = = R R1 1 + j+ jX X1 1 + + R R2 2 + j+ jX X2 2 = (= (R R1 1 + + R R2 2 ) ) + j(+ j(X X1 1 + + X X2 2) )3.5.2 3.5.2 阻抗的并联阻抗的并联 + +Z ZIU + +Z Z1 1IUZ Z2 21I2I)11(212121ZZUZUZUIII ZUI 21111Z

29、ZZ 2121ZZZZZ 21III 21ZUZUZU 21111ZZZ (a)(a)(b)(b)根据根据 KCL KCL 可写出图可写出图(a)(a)电流的相量表示式电流的相量表示式图图(b)(b)相量表示式相量表示式 若图若图(b)(b)是图是图(a)(a)的等效电路，两电路的等效电路，两电路电压、电流的关系式应完全相同，由此可得电压、电流的关系式应完全相同，由此可得或或因为一般因为一般即即所以所以212()()LCLCjXRjXZRjXRjX53 101 10100LXL 5611100100.1 10CXC(130100)j100 (100100)30100jj)43(5)43(563

30、jjjZ 75. 45 . 5j,/314,100,10,500,10,100021sradVUFCmHLRR 1I2I3ICLU611318.47314 10 10CXC3314 500 10157LXL22(10157)LZRjXj3111()1000 (318.47)318.47 1090()1000318.471049.517.7CCRjXjZRjXj 303.4572.3(92.11289.13)j oU=100 0 V设2(10157)Zj 3 .5299.166 13.13211.102 21jZZZ 3 .5299.16601001ZUI211318.470.6 52.30.1

31、81201049.517.7CCjXjIIARjX AIII 7057. 02131I2I3ICjXLjXU1(92.11289.13)ZjsradVUFCmHLRR/314,10010,50010,100021 A 3 .526 . 01100100100 2 45oCABUUUjV1110 ,100 ,5 ,5 ,10ABLCIA UVRXX 已知已知求求,U II10j5j UA AB BI2I1I10j5j UA AB B100 0oABUV设设110 9010IjA 2100 010 24555ooABLUIARjXj1210 0oIIIA110100CCUIjXIjjV 100 2

32、UV10IA功率因数低引起的问题功率因数低引起的问题有功功率有功功率 P = UP = UN NI IN N coscos 功率因数功率因数1. 对电源：电源设备的容量将不能充分利用对电源：电源设备的容量将不能充分利用2. 对负载：增加输电线路和发电机绕组的功率损耗对负载：增加输电线路和发电机绕组的功率损耗在在 P P、U U 一定的情况下（负载在额定状态下运行），一定的情况下（负载在额定状态下运行）， coscos 越低，越低，I I 越大，损耗越大。越大，损耗越大。下，下，coscos 越低，越低，P P 越小，设备得不到充分利用。越小，设备得不到充分利用。P = UI P = UI co

33、scos 电压与电流的相位电压与电流的相位差角差角( (功率因数角功率因数角) )在电源设备在电源设备 U UN N、I IN N 一定的情况一定的情况( )例例40W白炽灯白炽灯 1COS40W日光灯日光灯 5 .0COSA364. 05 . 022040cosUPI发电与供电发电与供电设备的容量设备的容量要求较大要求较大A182.022040UPIcosUIP 供电局一般要求用户的不低于供电局一般要求用户的不低于 ，否则受处罚。否则受处罚。 9 . 0 COS纯电阻电路纯电阻电路)0( 1COS10COSR-L-C串联电路串联电路)9090(纯电感电路或纯电感电路或纯电容电路纯电容电路0C

34、OS)90(电动机电动机 空载空载 满载满载3 . 02 . 0COS9 . 07 . 0COS 日光灯日光灯 （R-L-C串联电路）串联电路）6 . 05 . 0COS常用电路的功率因数常用电路的功率因数提高功率因数的原则提高功率因数的原则： 1 1）必须保证必须保证原负载原负载的工作状态不变。即：加至负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压、电流和负载的有功功率、无功功率不变。上的电压、电流和负载的有功功率、无功功率不变。 2 2）线路）线路的有功功率不变，无功功率减小，电流减的有功功率不变，无功功率减小，电流减小小 。提高功率因数的措施提高功率因数的措施: :uiRLRuLu并联电容并联电容CI I I IC C I I1 1 U U 1 1 C =C = U U 2 2P P(tan(tan 1 1 tantan ) )i ii iC CL Lu uR R + +i i1 1C C电路功率因数低的原因电路功率因数低的原因感性负载的存在感性负载的存在提高功率因数的方法提高功率因数的方法 并联电容后，电感性负载的工作并联电容后，电感性负载的工作状态没变，但电源电压与电路中总电状态没变，但电源电压与电路中总电流的相位差角减小，即提高了电源或流的相位差角减