第二章 连续时间系统的时域分析信号与系统 GongpuWang BJTUv3

1、Dr. Gongpu WangPh.D. from University of AlbertaAssociate Professor in Beijing Jiaotong Universityhttp:/ 2课程内容课程内容 第一章 信号与系统的基本概念 第二第二章章 连续时间系统连续时间系统的时域分析的时域分析 第三章 傅里叶变换 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的s域分析 第七章 离散时间系统的时域分析 第八章 z变换、离散系统的z域分析 3第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.1 系统微分方程的建立与求解 2.2 零状态响应 和 零输入响应 2.3 冲激响应 和

2、 阶跃响应 2.4 卷积积分及其性质42.1 系统微分方程的建立与求解系统微分方程的建立与求解 许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。常系数微分方程来描述。 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元元件特性约束：表征元件

3、特性的关系式。例如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系，网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系，KCL，KVL。5例：求并联电路的端电压例：求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 )(tv) (tis tisRRiLLiCciab tv tis tisRRiRiLLiLiCciciab tv tv tvRtiR1解： d1 tLvLti ttvCtiCdd titititiS

4、CLR ttitvLttvRttvCSdd1dd1dd22 6n阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述：描述：)(te)(tr 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程均为常数，此方程为常系数的为常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtt

5、eEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 7求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法 分析系统的方法：列写方程，求解方程。分析系统的方法：列写方程，求解方程。 求解方程时域经典法就是：齐次解求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。特解。 变换域法利用卷积积分法求解零状态可利用经典法求零输入应零输入响应和零状态响经典法解方程网络拓扑约束根据元件约束列写方程: :,:8齐次解齐次解解：系统的特征方程为解：系统的特征方程为特征根：特征根：因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为 .12dd16dd7dd2233的的齐齐次次解解求求微微分分方方程程tetrtrttr

6、ttrt 01216723 03223 , 221重根 ttheAeAtAtr332219特解特解例题：给定微分方程式例题：给定微分方程式 如果已知：如果已知： 分别求两种情分别求两种情况下此方程的特解。况下此方程的特解。 tettetrttrttr dd3dd2dd22 , 2 ; 12tetettetttte2)(122代入方程右端，得到）将解：（选特解函数式：为使等式两端平衡，试 3221BtBtBtrp入方程得到：为待定系数。将此式代这里321, , BBBttBBBtBBtB23223432321212110联解得到联解得到所以，特解为所以，特解为等式两端各对应幂次的系数应相等，于是

7、有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有032223413321211BBBBBB2710 ,92 ,31321BBB 271092312tttrp。时，很明显，可选当ttBetrete)()()2(这里，这里，B B是待定系数。代入方程后有：是待定系数。代入方程后有：ttttteeBeBeBe3231B.31,te特解为于是 相加即得方程的完全解和特解齐次解trtrphtreAtrpnitii1112.2 零状态响应零状态响应 和和 零输入响应零输入响应 起始点的跳变 电容的等效电路 电感的等效电路 零输入响应 零状态响应 12回顾：知识点回顾：知识点 电容电流iC(t)为有限值时，电容电压

8、uC(t)不会发生突变； 电感电压uL(t)是有限值时，电感电流iL(t)是不会发生突变。 惯性特性 电容元件、电感元件称为惯性元件。 什么函数的取值为无限大？13当系统用微分方程表示时，系统的当系统用微分方程表示时，系统的 到到 状态有状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及及其各阶导数项。其各阶导数项。 0 0 t 起始点的跳变起始点的跳变一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则换路定则： 0对于一个具体的

9、电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中状态就是系统中储能元件的储能元件的储能情况储能情况; ; 00 到到但是当有但是当有冲激电流冲激电流强迫作用于电容或有强迫作用于电容或有冲激电压冲激电压强迫强迫作用于电感，作用于电感， 状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。 .00,00 LLCCiivv0_0 到00)(t0141 1电容电压的突变电容电压的突变由伏安关系：由伏安关系：C)(tvC)(tiC tcciCtv d)(1)( tccciCiCiC0000d)(1d)(1d)(1 tccciCiCv000d)(1d)(1)0( 0d)(1)0()0(,000 ccciCvvt

10、令令为为有有限限值值如如果果)(tic, 0d)(00 ci ttic 为为如如果果)(，CiCc1d)(100 )0()0( ccvv此此时时Cvvcc1)0()0( 此此时时15Evc )0(0)0( cv)(d)(d)(tCEttvCticc C)(tvC)(tiC)(tEu电流为冲激电流为冲激例题：例题：162 2电感电流的突变电感电流的突变如果为有限值， tLLvLti d)(1)( 00d)(1)0()0( LLLvLii)(tiL)(tvLL)(tvL 0d)(00， Lv，为如果 )()(ttvL 00 , 1d)(100LLLiiLvL此时此时 17例题：例题：)(tiL)(

11、tvLL)(tuIsttiLtvLLd)(d)( ttLILiisLLd)(1)0()0(00 sLIi )0()( d)(dtLIttvILss 18电容的等效电路电容的等效电路C)(tvC)(tiC0,0)0( tvC tcciCtv d)(1)(0011( )d( )dtcciiCC tcctiCv00d)(1)0 ( tuvc)0(电路等效为起始状态为零的电容器与电路等效为起始状态为零的电容器与电压源电压源 的串联的串联19电感的等效电路电感的等效电路)(tiL )(tvLL tLLvLti d)(1)( tLLtvLvL00d)(1d)(1 )0( ,d)(1)0(0 tvLitLL

12、 0 0)0( tiL，)(tiL)(tvLL)0( Li故电路等效为起始状态为零的电感故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源和电流源)()0 (tuiL的并联。的并联。20零输入响应零输入响应 零输入响应：零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值 决定的初始值求出待定系数。00LCiv和21零状态响应零状态响应 零状态响应：零状态响应：不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值 为零决定

13、的初始值求出待定系数。 00LCiv和22 系统的零状态响应系统的零状态响应= =激励与系统冲激响应的卷激励与系统冲激响应的卷积，即积，即 r r( (t t)=)=e e( (t t) )* * h h( (t t) ) 由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的线性的: :(1)(1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。响应可分解为：零输入响应零状态响应。(2)(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。状态响应对于各激励信号呈线性。(3)(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零

14、输入零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性响应对于各起始状态呈线性 t 线线性性时时不不变变系系统统 th te th tr23已已知知一一线线性性时时不不变变系系统统，在在相相同同初初始始条条件件下下，当当激激励励为为)(te时时，其其全全响响应应为为 tutetrt2sin2)(31 ；当当激激励励为为)(2te时时，其其全全响响应应为为 )(2sin2)(32tutetrt 。求求： ( (1 1) )初初始始条条件件不不变变，当当激激励励为为)(0tte 时时的的全全响响应应)(3tr，0t为为大大于于零零的的实实常常数数。 ( (2 2) )初初始始条条件件增

15、增大大 1 1 倍倍，当当激激励励为为)(5 . 0te时时的的全全响响应应)(4tr。 解：)()2sin(2)()()(31tutetrtrtrtzszi)()2sin(2)(2)()(32tutetrtrtrtzszi24)()()(03ttrtrtrzszi )()22sin()(300)(330ttuttetuettt )(5 . 0)(2)(4trtrtrzszi tutetuett2sin5 . 03233 )(3)(3tuetrtzi)()2sin()(3tutetrtzs tutet2sin5 . 05 . 53 252.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 冲激响应 阶

16、跃响应26一冲激响应一冲激响应定义：系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用应，一般用h h( (t t) )表示。表示。 H)(t )(th)(t明确冲激响应的定义明确冲激响应的定义: :零状态；单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。零状态；单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励的激励 ，看响应，看响应 。 不同说明其系统特性不同说明其系统特性不同，冲激响应可以

17、衡量系统的特性。不同，冲激响应可以衡量系统的特性。)(t)(th)(th27二阶跃响应二阶跃响应定义：系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，定义：系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。H)(tu)(tg28阶跃响应与冲激响应的关系阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性线性时不变系统满足微、积分特性 tt0,对对因因果果系系统统：积积分分，注注意意积积分分限限：阶阶跃跃响响应应是是冲冲激激响响应应的的tdtttu)()(tdtthtg)()(292.4 卷积积分及其性质卷积积分及其性质卷积（Convolution）积

18、积分分和和设设有有两两个个函函数数),()(21tftf d21 tfftf tftftftftftf2121)( 或或，记为，记为的卷积积分，简称卷积的卷积积分，简称卷积和和称为称为)()(21tftf利用卷积可以求解系统的零状态响应。利用卷积可以求解系统的零状态响应。30利用卷积求系统的零状态响应利用卷积求系统的零状态响应任意信号任意信号e(t)可表示为冲激序列之和可表示为冲激序列之和 d tete则则响响应应为为的的为为若若把把它它作作用用于于冲冲激激响响应应LTIS,)(th teHtr )( dteH dtHe d the这就是系统的零状态响应。这就是系统的零状态响应。 thteth

19、tetrzs 31卷积的计算卷积的计算 由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积卷积积分中积分限的确定是非常关键的。分限的确定是非常关键的。 利用图像来确定积分限。利用图像来确定积分限。32卷积的图解说明卷积的图解说明 用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式法分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式法作容易出错，最好将两种方法结合起来。作容易出错，最好将两种方法结合起来。 d21 tfftf 积分变量改为积分变量

20、改为),()(. 111ftf)()()()(. 22222 tffftf时延时延倒置倒置)()(. 321 tff相乘：相乘： d)(. )(. 421 tff乘积的积分：乘积的积分： 再移动再移动倒置为倒置为的图形不动，的图形不动， 2221, ffff33例题例题) 30 (,2)(,1011)(21 tttftttf)(*)(21tftf求0t tf1111 解：0 1f111 t0t tf2323 tt0 2f3 230 tf22334浮动坐标浮动坐标浮动坐标：浮动坐标：下限下限 上限上限t-3t-0t ：移动的距离移动的距离t=0 f2(t- ) 未移动未移动t0 f2(t- )

21、右移右移t-1时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限积分下限-1，上限，上限t ，t 为移动时间为移动时间;0 1f111 3tt tf2 d)()()(211 tfftgt d.21. 11 tt1422 t 41242 tt370 1f111 3tt tf21 t 2即即1 t 2 113tt tttg d.21.)(110 1f111 3tt tf22 t 4 1313tt即即2 t 4224d).(21. 1)(213 ttttgt 38t 4即即t 4t-3 1 0 tg0 1f111 3tt tf2 ttttttttttg其它其它0422242

22、1114124)(22)(tgt02421 10t tf1111 0t tf232339总结总结 求解响应的方法：求解响应的方法：时域经典法：时域经典法：双零法：双零法： thte 零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：完全解完全解=齐次解齐次解 + 特解特解解齐次方程，用初（起）始条件求系数；解齐次方程，用初（起）始条件求系数； thte 40卷积卷积的性质的性质)(*)( )( *)(thtxthtx)()(*)(txttxtdtthtxthtx)(*)( )(*)(请自学教材请自学教材74页页 2.8节节 卷积的性质。卷积的性质。Dr. Gongpu WangPh.D. from University of AlbertaAssociate Professor in Beijing Jiaotong UniversityEmail: 42一阶常系数微分方程的求解一阶常系数微分方程的求解。的函数。求是为阶跃函数，其中。求解)(t)()()(15)(2)(2tytytUtUtydttdy。求解)(15)(2)(2tUtydttdy43求解过