第27章相似总复习课件

1、1. 成比例的数（线段）：成比例的数（线段）：叫做四个数叫做四个数成比例。成比例。那么或若,:cbaddcbadcba=, , 若若 a、b、c、d 为四条线段为四条线段 ，如果，如果 （或（或a：b=c：d），那么这四条线段那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做叫做成比例的成比例的线段线段，简称，简称比例线段比例线段.a cb d = 其中其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的叫做组成比例的项项，a、d 叫做比例叫做比例外项外项，b、c 叫做比例叫做比例内项内项，比例的性质：比例的性质：bcaddcba= = =;a b=c d1.若若a, b, c, d成比例成比例,且且a=2, b=3

2、, c=4,那么那么d= 62、下列各组线段的长度成比例的是（、下列各组线段的长度成比例的是（ ）A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4 练习练习: :Dmn m= n56已知 ,求 的值.解解:方法方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：由对调比例式的两内项比例式仍成立得：mn 65=方法方法(2)因为因为 ,所以所以5m=6n m6 n5= 6mn=所以所以53、4、已知、已知 (1) x：(x+2)=(2x)：3，求，求x。(2)若若 ， 求求 。(3) 若若 ， 求求

3、 ，= =- -2x3y+ + yx12yxa+bb= =65aba-bb1或或-47/31/5,-4/5 ._,32,4321=+=-+-=zyxyzyxzyxzyx则53-31 ._32, 3:4:22222=+-=+yxyxyxyyx则已知，51156 已知已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。数，写出一个比例式。6或或2/3或或1.52.比例中项：比例中项：._82._82比例中项是的与线段的比例中项是与数cmcm4cm4当两个当两个比例内项相等比例内项相等时，时， 即即a bb c = ，(或或 a：b=b：c)，那么线段那么线段 b 叫做

4、叫做a 和和 c 的的比例中项比例中项.2acb = =即：即：定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似比：相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 ABC ABC,如果如果BC=3,BC=1.5,那么那么 ABC与与 ABC的相似比为的相似比为_.21三角形相似的判定方法有哪几种三角形相似的判定方法有哪几种? ?预备定理预备定理ABCDEDEABCDEBC, DEBC, ADEADEABCABC相似三角形判定定理相似三角形判定定理1 1：三边对应成比例的两：

5、三边对应成比例的两个三角形相似个三角形相似. .ABABDEDE= =ACACDFDF= =BCBCEFEFABCDEF相似三角形判定定理相似三角形判定定理2 2：两边对应成比例且夹角相等：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的两个三角形相似. .ABABDEDE= =ACACDFDF ABCDEF相似三角形判定定理相似三角形判定定理3 3：两个角对应相等的两个三角：两个角对应相等的两个三角形相似形相似 ABCDEF相似三角形判定定理相似三角形判定定理4 4：在直角三角形中，：在直角三角形中，一一条斜边条斜边和和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。一条直角边对应成比例的两直角三角形相似

6、。 ABCDEF相似三角形的判定：相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线截其）平行于三角形一边的直线截其它两边它两边(或两边的延长线或两边的延长线)相交；（相交；（2）两角对应相等；（两角对应相等；（3）两边对应成比）两边对应成比例且夹角相等；（例且夹角相等；（4）三边对应成比）三边对应成比例；例； （5）一条斜边和一条直角边对）一条斜边和一条直角边对应成比例。应成比例。ADEBACBABCDADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合ACB=RtCDAB相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾：相似三角形的性质：相似三角形的性质：1 1、相似三角形的

7、对应角相等，对应边成比例、相似三角形的对应角相等，对应边成比例2 2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、对应角平分线，对应中线的比都等于相似比对应角平分线，对应中线的比都等于相似比3 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。、相似三角形的面积比等于相似比的平方。定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做叫做.相似多边形的性质：相似多边形的性质： 相似多边形的相似多边形的对应角相等对应角相等，对应边的比相等对应边的比相等. . 相似多边形的相似多边形的周长之比周长之比等于等于相似比相似比; ;面积之比

8、面积之比等于等于相似比的平方相似比的平方. .相似多边形的判定：相似多边形的判定：对应角相等、对应边的比相等对应角相等、对应边的比相等1、 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫做连线相交于一点，这样的相似叫做位似位似,点点O叫做叫做位似中心位似中心2 2、利用位似的方法，可以把一个多边形、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或放大或缩小缩小l3.3.如何作位似图形如何作位似图形( (放大放大) ). .l5.5.体会位似图形何时为体会位似图形何时为正像正像何时为何时为倒像倒像. .l4.4.如何作位似图形如何作位似图形( (缩小缩小)

9、 ). .OPABGCEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFP1.1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点都交于一点, ,对应边互相平行，那么这样的两对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形个图形叫做位似图形, , 这个交点叫做位似中心这个交点叫做位似中心, , 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比比. .2.2.位似图形有以下性质：位似图形有以下性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比之比等于位似比. 位似图形的对应点

10、和位似中心在位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上同一条直线上, ,3.3.位似图形中不经过位似中心的对应线段平行位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. .位似变换中对应点的坐标变化规律位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果在平面直角坐标系中，如果位似变换是以位似变换是以原点为位似中原点为位似中心心，相似比为，相似比为k，那么位似，那么位似图形图形对应点的坐标的比等于对应点的坐标的比等于k或或k. 例例1 1、如图、如图,DEBC,EFAB,DEBC,EFAB,且且S SADEADE=25,S=25,SCEFCEF=36.=36.求求ABCABC的面积的面积. .A AB

11、 BC CD DE EF F25253636解：解：DEBCDEBC，EFABEFABA=CEFA=CEF，AED=CAED=CADEADEEFCEFC56A EC E=DEBCDEBCADEADEABCABC S SADEADE=25=25S S ABCABC=121=121SADESEFC=AE2AC2=25121SADESEFC=2536=AE2EC2115=ACAE例例2. 2. 过过ABCDABCD的一个顶点的一个顶点A A作一直线分别交对角线作一直线分别交对角线BDBD、边、边 BCBC、边、边DCDC的延长线于的延长线于E E、F F、G . G . 求证：求证：EAEA2 2

12、= EF EG .= EF EG .ABCDEFG 分析：要证明 EA2 = EF EG ，即 证明 成立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：AEDFEB， AEB GED.EAEG =EFEA 证明：证明： ADBF ABBC AED FEB AEB GEDEAEG =ABDG EFEA =BEED= ABDG EAEG =EFEA D D E E F F A A B BC C G G例例3 3、如图、如图, , 在在ABCABC中中,ACB= 90,ACB= 900 0，四边形，四边形BEDCBEDC为正为正方形方形, AE

13、, AE交交BCBC于于F, FGACF, FGAC交交ABAB于于G. G. 求证求证: FC=FG. : FC=FG. 证明证明: : 四边形四边形BEDCBEDC为正方形为正方形CFDE CFDE ACFACFADEADEAEAEAFAFDEDECFCF= 又又FG ACBEFG ACBEAGFAGFABEABEAEAFBEFG= BEFGDEFC=由可得：由可得：又又 DE=BEDE=BEFC=FGFC=FG D D E EA A B B C C例例4 4、如图、如图, AB/AD=BC/DE=AC/AE., AB/AD=BC/DE=AC/AE. (1) (1) 求证求证: BAD=

14、CAE;: BAD= CAE; (2) (2) 若已知若已知 AB=6, BD=3, AC=4, AB=6, BD=3, AC=4, 求求 CE CE 的长的长. .AEACDEBCADAB=(1) 得得ABCADEABCADE BAC=DAEBAC=DAE BAC-DAC=DAE-DACBAC-DAC=DAE-DAC 即即BAD=CAEBAD=CAEAEAEACACADADABAB=(2) (2) 由由AEADACAB=BAD=CAEBAD=CAE ABDACEABDACECECEBDBDACACABAB=2643=ABACBDCE 证明：证明： D QABCP1. 如图如图, 边长为边长为

15、4的正方形的正方形ABCD中中, P是边是边BC上的一点上的一点, QPAP 交交 DC于于Q, 设设 BP= x, ADQADQ的面积为的面积为y.y.(1) (1) 求求y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式, ,并求自变量并求自变量x x的取值范围的取值范围; ;(2) (2) 问问P P点在何位置时点在何位置时, ,ADQADQ的面积最小的面积最小? ?最最小小面积是多少面积是多少? 4 4、如图、如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一个动点边上的一个动点( (不与不与B B、C

16、C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使使ADE=45ADE=45A AB BC CD DE E（1 1）求证：）求证：ABDABDDCEDCE（2 2）设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量x x的取值范围，并求出当的取值范围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEAE取得最小值取得最小值（3 3）当）当ADEADE是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求AEAE的长的长拓展提高拓展提高1 1xy 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D

17、D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45（1 1）求证：）求证：ABDABDDCEDCEADCADC是是ABDABD的外角的外角ADC=ADE+2=B+1ADC=ADE+2=B+1）2 21 1证明：证明：AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90B=C=45B=C=45又又ADE=45ADE=45ADE=BADE=B1=21=2 ABDABDDCEDCEA AB BC CD DE E（2 2）设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变

18、量的函数关系式及自变量x x的取值范围，并求出当的取值范围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEAE取得最小值取得最小值解：解：ABDABDDCEDCE1 1xy1y-2x-ABBDCDCE=112xyx=-即12yxx-=-221yxx=-+2212202yxx=-+当当22x =时时12y=最小值 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45A AB BC CD DE

19、E（3 3）当）当ADEADE是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求AEAE的长的长AD=AEAD=AEAE=DEAE=DEDE=ADDE=AD 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=451 1xy1y-2x-A AB BC CD DE E分类讨论分类讨论5 5、如图、如图, ,在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中,AB,ABCD,CD, A=90A=900 0,AB=

20、2, ,AB=2, AD=5,PAD=5,P是是ADAD上一动点上一动点( (不与不与A A、D D重合重合),),，交于点交于点（）（）ABPABP与与DPEDPE是否相似？请说明理由是否相似？请说明理由；（）设（）设x x=y=y，求，求y y与与x x之间的之间的函数关系式函数关系式, ,并指出自变量并指出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3 3）请你探索在点）请你探索在点P P运动的过程中，四边形运动的过程中，四边形ABEDABED能否构成矩形？如果能，求出能否构成矩形？如果能，求出APAP的长；如果不能，的长；如果不能，请说明理由；请说明理由；（4 4）请你探索在点）请你探索在点

21、P P运动的过程中，运动的过程中，BPEBPE能否成为等腰三能否成为等腰三角形？如果能，求出角形？如果能，求出APAP的长，如果不能，请说明理由。的长，如果不能，请说明理由。C CA AB BD DP PE E2 25 5x xy y5-x5-x拓展提高拓展提高6.6.如图，梯形如图，梯形ABCDABCD中中 ADBCADBC ，ABC=90ABC=90，AD=9AD=9，BC=12BC=12，AB=10AB=10，在线段在线段BCBC上任取一上任取一P P，作射线，作射线PEPDPEPD，与线段，与线段ABAB交于点交于点E.E.（1 1）试确定）试确定CP=5CP=5时点时点E E的位置；

22、的位置；（2 2）若设）若设CP=xCP=x，BE=yBE=y，试写出，试写出y y关关于自变量于自变量x x的函数关系式，并求出的函数关系式，并求出自变量自变量x x的取值范围的取值范围. .提示提示：体会这个图形的：体会这个图形的“模型模型”作用，将会助你快速解题！作用，将会助你快速解题！BCADEPHCEPAD拓展提高拓展提高7.7.如图，已知抛物线与如图，已知抛物线与x x轴交于轴交于A A、B B两点，与两点，与y y轴交于轴交于C C点点. .（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）抛物线上有一点）抛物线上有一点P P，满足，满足PBC=90PBC=90，求点

23、，求点P P的坐标；的坐标；（3 3）在（）在（2 2）的条件下，问在）的条件下，问在y y轴轴上是否存在点上是否存在点E E，使得以，使得以A A、O O、E E为顶点的三角形与为顶点的三角形与PBCPBC相似？若相似？若存在，求出点存在，求出点E E的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由. .ABPCOxyX=423Q6拓展提高拓展提高8、某生活小区的居民筹集资金、某生活小区的居民筹集资金1600元元,计划在一块上、下底分别为计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如下图）的梯形空地上种植花木（如下图） （1）他们在）他们在AMD和和BMC地带种植太阳花，单价为地带种植太阳花