第2章 逻辑代数与硬件描述语言基础

1、第第2章章 2.1逻辑代数利用二值函数进行逻辑运算，通过数学逻辑代数利用二值函数进行逻辑运算，通过数学的方法将复杂的逻辑命题转化为简单的逻辑函数式。的方法将复杂的逻辑命题转化为简单的逻辑函数式。逻辑代数有一系列的定律和规则，并可以根据需逻辑代数有一系列的定律和规则，并可以根据需要采用不同的表示方法，在数字电路中完成对电路的要采用不同的表示方法，在数字电路中完成对电路的、和和。1.基本运算规则基本运算规则 ：0 0 = 0 1 = 1 0 1 1 = 1：0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 0 + 0 = 0 ：0 = 1 1 = 02.逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律：A+0 =A

2、 A+1=1 A 0 = 0 A = 0 A 1=A A+A=1 A+A=A A A = 0 A A = A A = A：A+B = B+A A B = B A：A+(B+C) = (A+B)+C A (B C) = (A B) C：A(B+C) = A B+A C )： A B = A+BA+B=A B：第第2章章 2.1AB+AC+BC = AB+AC名称名称公式及运算关系描述公式及运算关系描述交换率交换率结合率结合率分配率分配率变量常量运算变量常量运算因果互换关系因果互换关系如如 则则 ，ABCCBA ABCABC A BCABC1000AAAAAAAAABCACB BCA 0?1?1?

3、AAAe e第第2章章 2.1在任何一个逻辑恒等式中，任何一个变量用同样的一在任何一个逻辑恒等式中，任何一个变量用同样的一个逻辑函数代入后，恒等式同样成立！个逻辑函数代入后，恒等式同样成立！例如：例如：将将A代以代以D+EF，则，则恒等式同样成立！恒等式同样成立！ ABCABAC DEFBCDEFBDEFC利用反演规则，可以将逻辑式中利用反演规则，可以将逻辑式中L的的“” （“”）组合转换为组合转换为 “” （“”）组合，当然逻辑式）组合，当然逻辑式 也也对应的被转换为对应的被转换为 。L第第2章章 2.1如：如：如：如： LABC ABABC AB LABC ABABC ABABCABABC

4、A BLABC LABCABCABCgggg第第2章章 2.1如将逻辑式如将逻辑式L L中的中的“”换成换成“”， “ “”换成换成“” ” ；真；真值表中值表中 “ “1”1”换成换成“0”0”，“0”0”换成换成“1”1”后，得到的新逻辑式后，得到的新逻辑式就是原来逻辑式就是原来逻辑式L L的对偶式的对偶式 。利用对偶原则，可以获得更多的运算公式，以方便设计利用对偶原则，可以获得更多的运算公式，以方便设计和分析或等式证明。和分析或等式证明。L LABACBCABACLABACBCABAC gggg10LLLALALABCLA B C g gg g第第2章章 2.1对于任何一个逻辑式，都可以

5、得到唯一的一个真值表；反过来，对于任何一个逻辑式，都可以得到唯一的一个真值表；反过来，同一个真值表却可以变换或化简成为很多形式不同的逻辑式。同一个真值表却可以变换或化简成为很多形式不同的逻辑式。逻辑式的变换实质上就是将一种逻辑关系，用现有的逻辑门将逻辑式的变换实质上就是将一种逻辑关系，用现有的逻辑门将它表示出来。其方法就是利用逻辑运算规则和基本原理进行变换。它表示出来。其方法就是利用逻辑运算规则和基本原理进行变换。如：如：现有的逻辑门都是现有的逻辑门都是2 2输入输入“与非与非”门，则需等效变换原来的逻门，则需等效变换原来的逻辑式为：辑式为：LABCLABCABCA BCg gABC&

6、CVcc1LB&A第第2章章 2.1根据真值表就可写出逻辑式，从而组成组合逻辑门电路。但根据真值表就可写出逻辑式，从而组成组合逻辑门电路。但是，如果逻辑式不是最简式的话，则组成的电路将会复杂。为是，如果逻辑式不是最简式的话，则组成的电路将会复杂。为此，必须化简逻辑式为最简式！此，必须化简逻辑式为最简式！利用利用来化简逻辑式的方法被称为代来化简逻辑式的方法被称为代数法化简。数法化简。最简式：同一函数有最简式：同一函数有不同的逻辑最简式：不同的逻辑最简式：与与或或非非LACCD LACCDLAC CD g g LACCDLACCD第第3章章 3.1 应用应用 ，将两项合并为一，并消去一个或

7、两个变，将两项合并为一，并消去一个或两个变量。如：量。如：AA1 利用利用A+A=A，在逻辑式中加相同的项，然后合并化简。，在逻辑式中加相同的项，然后合并化简。如：如： YABCABCABCABCABCABCABC ABCD+ABCD AB CD+CDAB BC AAAC BBBCAC第第3章章 3.1 利用利用A+AB=A，消去多余的项。，消去多余的项。如：如： YBCABC DCBC 1A D+CBC 应用应用 ，将，将 与某乘积项相乘，而后展与某乘积项相乘，而后展开、合并化简。开、合并化简。 如：如： BB AA AA YABACBCABACAA BCABACABCABCAB 1CAC

8、1BABAC 使用使用来化简逻辑式通常在变量较少的情况下比较方便，来化简逻辑式通常在变量较少的情况下比较方便，如果变量数大于如果变量数大于3 3个，则此方法不实用；同时，代数法化简出的个，则此方法不实用；同时，代数法化简出的逻辑式很难判断是否为最简。而逻辑式很难判断是否为最简。而在化简中就比代数法更在化简中就比代数法更为简便！为简便！例：化简例：化简 Y=ABC+ABD+ABC+CD+BD解：解：Y=ABC+ABC+CD+B(AD+D)= ABC+ABC+CD+B(A+D)= ABC+ABC+CD+BA+BD=AB +ABC+CD+BD=B(A+AC)+CD+BD=B(A+C)+CD+BD=B

9、A+BC+CD+BD=BA+B(C+D)+CD=BA+BCD+CD=BA+B+CD=B(A+1)+CD=B+CD第第2章章 2.1A+AB=A+B利用A+AB=A利用A+AB=A+B利用利用AB=A+B第第2章章 2.1YABCDABDBCDABCBDBC ABC 1DBD 1ABCDBC ABCBDBCDBCB ACDCDC B ACDCCB ACD1BYABABAB A BBABAABAB 在在n个变量逻辑函数中，若个变量逻辑函数中，若为某一个包含为某一个包含n个因子个因子的乘积项，而且这的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在个变量均以原变量或反变量的形式在中出现一次，则称中出

10、现一次，则称为该组变量的最小项。为该组变量的最小项。 如如 Y= f (A, B) 共有共有4 4项最小项项最小项：AB、AB、AB、ABa a. . 在输入变量的任何一组取值下在输入变量的任何一组取值下, , 必有一个最小项必有一个最小项, , 而且仅有一个最小项取值为而且仅有一个最小项取值为1 1 ; ;b b. . 同一个逻辑函数任意两个最小项的乘积为同一个逻辑函数任意两个最小项的乘积为0 0 ; ;c c. . 全体最小项之和为全体最小项之和为1 1。第第2章章 2.2最小项编号：最小项编号： 任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项的和，即任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项的和

11、，即，它是一个标准，它是一个标准表达式，而且这种形表达式，而且这种形式是式是的。的。最小项的编号：最小项的编号： m0=AB m1=AB m2=AB m3=ABAB、AB、AB、AB对于最小项：对于最小项：例例1: Y=ABC+BC= ABC+ABC+ABC= m6+ m7+ m3 = m ( 3 , 6, 7 ) 最小项表达式最小项表达式=ABC+BC (A+A)第第2章章 2.21.熟记卡诺图的结构，绘画熟记卡诺图的结构，绘画2、3和和4输入变量的卡诺输入变量的卡诺图。图。2.能熟练地将逻辑式转化为能熟练地将逻辑式转化为“与与或或”形式，形式， 填填写该逻辑式的卡诺图。或者直接通过真值表准

12、确无写该逻辑式的卡诺图。或者直接通过真值表准确无误地填写卡诺图。误地填写卡诺图。3.利用卡诺图的对称性，特别是对称相邻性，圈图中利用卡诺图的对称性，特别是对称相邻性，圈图中的的“1”，或，或“0”。4.熟练转换每个所圈的圈代表的对应逻辑项。熟练转换每个所圈的圈代表的对应逻辑项。5.根据画圈的需要定义无关项的根据画圈的需要定义无关项的0、1状态。状态。第第2章章 2.2AB0 1 0 10132ABC00 01 11 100 10 1 3 24 5 7 60 1 3 24 5 7 612 13 15 148 9 11 10ABCD00 01 11 1000 01 11 10ABCD ABCD A

13、BCD ABCDABCD ABCD ABCD ABCDABCD ABCD ABCD ABCDABCD ABCD ABCD ABCDABC ABC ABC ABCABC ABC ABCAB AB AB AB 将逻辑函数的最小项按一定规律填入将逻辑函数的最小项按一定规律填入一个方框内，此方一个方框内，此方框称为框称为。ABC第第2章章 2.2ABCDE00000101101011011110110000011110第第2章章 2.2ABC00 01 11 100 10 0 0 00 Y=ABC+ABC+ABC由逻辑函数式得到其由逻辑函数式得到其如：如：第第2章章 2.2ABCDABCDABCDAB

14、CDABCD0 1 3 24 5 7 612 13 15 148 9 11 10 ABCD00 01 11 1000 01 11 10ABCD ABCDABCD ABCD ABCD ABCDABCD ABCD ABCD ABCDABCD ABCDABCD 根据相邻单元的特点，只要有两个几何相邻单元取值同根据相邻单元的特点，只要有两个几何相邻单元取值同为为1,1,可以将这两个最小项合并成一项可以将这两个最小项合并成一项, ,并消去一个变量。并消去一个变量。ABC00 01 11 100 11 1=BC(A+A)Y=ABC+ABC=BC利用利用A+A=1的关系的关系1AA第第2章章 2.2如果是四

15、个几何相邻单元取值同为如果是四个几何相邻单元取值同为1 1，则可以合并为则可以合并为 1 1项，并消去两个变量。项，并消去两个变量。ABC00 01 11 100 1 1 1 1 1ABC00 01 11 100 1 1 1 1 1Y=AY= ABC+ABC+ABC+ABC =AC(B+B)+AC(B+B)=AC+AC= CY=ABC+ABC+ABC+ABC第第2章章 2.2如果是八个几何相邻单元取值同为如果是八个几何相邻单元取值同为1 1，则可以合并为则可以合并为 1 1项，并消去三个变量。项，并消去三个变量。ABC00 01 11 100 11 1 1 11 1 1 1Y= 1ABC00

16、01 11 100 11 1Y= ABC+ABC = AC。第第2章章 2.2利用对称相邻性利用对称相邻性化简举例化简举例ABCD00 01 11 1000 01 11 10ABCD00 01 11 1000 01 11 10111 1 1 11 1 1 1Y= BCDY= D第第2章章 2.2利用对称相邻性利用对称相邻性化简举例化简举例ABCD00 01 11 1000 01 11 1011111 1Y = B DY = BCD + ACDABCD00 01 11 1000 01 11 101 1正确的圈法正确的圈法错误的圈法错误的圈法第第2章章 2.2(1) 写出最简写出最简“”逻辑式或逻

17、辑式或；(2) 填卡诺图；填卡诺图； 一般规则是：如果有一般规则是：如果有 2n 个最小项相邻个最小项相邻（n=1，2，3)并排成一个圈组并排成一个圈组,则它们则它们一定可合并为一项一定可合并为一项, 并消去并消去 n 个因子个因子, 合并合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。 (3) 合并最小项，即找出可以合并的合并最小项，即找出可以合并的 最小项圈组（简称画圈）。最小项圈组（简称画圈）。第第2章章 2.2（1）每个圈组应包含尽可能多的）每个圈组应包含尽可能多的“1”； （2）圈组的数目应尽可能少；）圈组的数目应尽可能少；（3）各）各1可以重复使用，

18、即同一个可以重复使用，即同一个 可以被圈在不同的圈组内；可以被圈在不同的圈组内；（4）所有等于）所有等于 1 的单元都必须被圈圈过；的单元都必须被圈圈过；（5）可以利用无关项。）可以利用无关项。第第2章章 2.2ABC000111100112753460例：化简例：化简Y=AC+ABY=ABC+ABC+ABC111ACAB00000Y=ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=AC(B+B)+AB (C+C)=AC+AB（1）卡诺图法）卡诺图法（2）公式法）公式法第第2章章 2.2ABC000111100111111100CB例例:第第2章章 2.2ABC000111100111

19、111100例例:B C第第2章章 2.2例：化简例：化简 Y=+ABC+解：解：Y=ABC+ABC+CD+B(AD+D)= ABC+ABC+CD+B(A+D)= ABC+ABC+CD+BA+BD=AB +ABC+CD+BD=B(A+AC)+CD+BD=B(A+C)+CD+BD=BA+BC+CD+BD=BA+B(C+D)+CD=BA+BCD+CD=BA+B+CD=B(A+1)+CD=B+CDABCD00 01 11 1000 01 11 101 11 111111111第第2章章 2.2 12ABACBCABACABACBCDABACABCD00 01 11 1000 01 11 101 0

20、1 11 1 1 1 0 1 0 11 1 1 1例例 ：某逻辑函数的表达式是：某逻辑函数的表达式是： Y=(A,B,C,D)= m ( 0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)试化简。试化简。解：解：Y=A+CD+BC+B D+BCDACDBCBDBCD第第2章章 2.2某些逻辑问题中输入变量的取值不是任意的，对某些逻辑问题中输入变量的取值不是任意的，对输入变量取值所加的限制称为无关。同时，把这输入变量取值所加的限制称为无关。同时，把这一组变量叫做具有无关的一组变量。一组变量叫做具有无关的一组变量。 例如，有三个变量例如，有三个变量A、B、C，它们分别表示，它们分别

21、表示一台电动机的正转、反转和停止命令，一台电动机的正转、反转和停止命令，A = 1表示表示正转，正转，B = 1表示反转，表示反转，C = 1表示停止表示停止。电动机在。电动机在任何时候只能执行其中的一条命令，所以不允许任何时候只能执行其中的一条命令，所以不允许两个或三个变量同时为两个或三个变量同时为 1，这样，这样 ABC 的取值只可的取值只可能是能是、或、或中的一种中的一种, 而不可能是而不可能是000、011、110、101或或111中的任何一种。因此中的任何一种。因此, ABC 是具有无关的一组变量是具有无关的一组变量.第第2章章 2.2 当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以当限制

22、某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们对应的最小项恒等于用它们对应的最小项恒等于0来表示。上面例子中的来表示。上面例子中的无关条件可表示为：无关条件可表示为： ABCABCABCABCABC= 0，= 0，= 0，= 0，= 0或写成或写成= 0 ABCABCABCABCABC+ ABC 的取值只可能是的取值只可能是001、010、或、或100中的一种中的一种, 而不能是而不能是000、011、110、101或或111中的任何一种。中的任何一种。 d ( 0, 3, 5, 6, 7 )第第2章章 2.2AB0101ABY00001110111x真值表真值表110 x解：（解：（1）不考虑无关

23、条件）不考虑无关条件Y=AB+ABY=AB+AB+AB =A+B（2）考虑无关条件）考虑无关条件第第2章章 2.2ABC000111100112753460真值表真值表ABCY0000001010111000111101001011111x0000把无关项视为把无关项视为0时，时，101 x例：某逻辑函数的真值表如下，例：某逻辑函数的真值表如下， 试写出最简试写出最简“与与或或”表达式。表达式。第第2章章 2.2ABC000111100112753460真值表真值表ABCY0000001010111000111101001011111 0000把无关项视为把无关项视为1时，时，把无关项视为把无

24、关项视为0时，时，101 例：某逻辑函数的真值表如下，例：某逻辑函数的真值表如下， 试写出最简试写出最简“与与或或”表达式。表达式。第第2章章 2.2例：设计一个逻辑电路，判断一位十进制数，要求：例：设计一个逻辑电路，判断一位十进制数，要求： 如十进制数是偶数则输出为如十进制数是偶数则输出为0，奇数输出为，奇数输出为1；解：解：1、用、用8421码代表该十进制数，输出码代表该十进制数，输出L按要求输出。按要求输出。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9输输入入ABCD0000000100100011010001010110011110001001输输出出L0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

25、真值表真值表MSBLSB第第2章章 2.22、填写卡诺图、填写卡诺图0111CD11100100AB010L10000100111如将无关项全部视为如将无关项全部视为0，则：，则：LADBCD如为方便化简，将无关项有区别如为方便化简，将无关项有区别地视为地视为1和和0，则：，则：11101001110101CD10111001L00AB00011000LD 第第2章章 2.2将等式两端逻辑式的真值表写出，如果将等式两端逻辑式的真值表写出，如果完全相等，则恒等式成立。完全相等，则恒等式成立。也可以直接将两边的逻辑式也可以直接将两边的逻辑式的卡诺图填好，如果两者是一样的，则恒等式成立。的卡诺图填好

26、，如果两者是一样的，则恒等式成立。将等式两端逻辑式进行化简或变换，使将等式两端逻辑式进行化简或变换，使它们成为等式。它们成为等式。将等式两端的逻辑式的对偶式写出，将等式两端的逻辑式的对偶式写出，利用对偶原则，如对偶式恒等，那么原式恒等利用对偶原则，如对偶式恒等，那么原式恒等。第第2章章 2.2第第2章章 复习复习第第2章章 复习复习1.1.求逻辑式：求逻辑式： 的对偶式的对偶式 。2.2.化简化简 最简与或式为：最简与或式为： 。3. 化简：化简：4. 逻辑式逻辑式 的最简与或式为：的最简与或式为： 。 5. 化简：化简： 。 6. 逻辑式：逻辑式： ，其对偶式为，其对偶式为 。7. 化简：化

27、简： 的最简与或式为的最简与或式为 。8. 异或式异或式 共有共有2011个个1 ，则其结果为，则其结果为 ； 同或式同或式 共有共有2011个个1 ，则其结果为，则其结果为 。 FAB FABCABC A ABB BCBLABC eeee AABCACDCDABABCABABAB111 111e ee ee e L L9.逻辑函数的五种基本逻辑表达式逻辑函数的五种基本逻辑表达式有：有： 、 、 、 、 。10. 逻辑代数的三个重要规则是逻辑代数的三个重要规则是 、 、 。11. 逻辑函数逻辑函数F=A(B+C)1 的反函数的反函数= 。12. 逻辑函数逻辑函数F=A(B+C)1 的对偶函数的

28、对偶函数= 。13. 用编号法写出函数用编号法写出函数F(A、B、C)= 的最小项标准的最小项标准式式m( )。 14.卡诺图中的卡诺图中的“四角对称，上下边对应位置对称四角对称，上下边对应位置对称”是属于是属于卡诺图中的卡诺图中的 类型对称。类型对称。15.逻辑式逻辑式 的反函数的反函数 = ,对偶式对偶式 L= 。16. ， 。ABC LABABABABL1A1A e e1. 逻辑图与真值表是唯一的。逻辑图与真值表是唯一的。 （ ）2. 由由A+AB=A+AC可得出可得出B=C。 （ ）3. 判断两个逻辑函数是否恒等的原则是看它们的真值表是否相同。判断两个逻辑函数是否恒等的原则是看它们的真值表是否相同