第3章量纲分析

1、力学CAT基础二00七年三月第三章 测量单位与相似模拟1 SI制单位2 物理量单位换算与力学量标定3 相似模型与量纲分析第三章 测量单位与相似模拟1 SI制单位物理量表征着物体运动状态与过程的特性， 具有可测性和度量性。通过获取与测量单位的比较倍数V 实现物理量X的测量 X=VE测量单位长期不统一：米制，英制，中国制1）国际通用单位：必要性、发展历史）国际通用单位：必要性、发展历史第三章 测量单位与相似模拟1 SI制单位科学要求测量单位稳定性“如果我们想取得长度、时间和质量的绝对不变的单位，我们不能在我们星球的大小、运动和质量中去寻找，而只能在永久的、不变的、完全同种的原子的波长、频率和质量中

2、去寻找。”麦克斯韦(18311879)指出：量子单位1）国际通用单位：必要性、发展历史）国际通用单位：必要性、发展历史第三章 测量单位与相似模拟1 SI制单位1960法国法国11届巴黎国际计量大会届巴黎国际计量大会 SISystme International dUnits制定制定SI制单位制单位 确定七个基本物理量单位中国1984.1决定1990.1开始采用SI制1）国际通用单位：必要性、发展历史）国际通用单位：必要性、发展历史第三章 测量单位与相似模拟1 SI制单位基 本 量 量 纲 单 位 名 称 单 位 符 号 长 度 L 米 m 质 量 M 千 克 kg 时 间 T 秒 s 电 流

3、强 度 I 安 (培 ) A 温 度 开 (尔 文 ) K 物 质 的 量 N 摩 (尔 ) mol 光 强 J 坎 (德 拉 ) cd 表3-1 SI基本单位2) 七个SI基本单位第三章 测量单位与相似模拟2)七个SI基本单位n1米是光在1299792458秒时间内在真空中所通过的距 离（1983，17th，精度109 ）n1千克是国际千克原型的质量(1889，巴黎铂铱柱，精度109)n1秒是同位素铯cs133原子基本状态的两个超精细结构能级 之间的跃迁相对应的放射周期的9192631770倍（1967,13th）n1安培电流是指在两根无限长的、在真空中平行间隔为一 米的、截面可忽略不计的圆

4、形导线中所流过的直流电流 强度，该电流强度能使每米长的两根导线之间产生 0.2l06N的电动洛伦兹力（1948，9th）n1开尔文绝对温度单位是水的三态点的热动态温度的 273.16分之一（1967）,摄氏温度t=T-273.16K第三章 测量单位与相似模拟1 SI制单位3) SI的导出单位基本单位的倍数如MPa, km, cm, mm, mm词头 记号 数值 词头 记号 数值 Exa-艾可萨 E 1018 Deci-分 d 10-1 Peta-拍它 P 1015 Centi-厘 c 10-2 Tera-太拉 T 1012 Milli-豪 m 10-3 Giga-吉咖 G 109 Micro-

5、微 m10-6 Mega-兆 M 106 Nano-纳 n 10-9 Kilo-千 k 103 Pico-皮 p 10-12 Hecto-百 h 102 Femto-飞 f 10-15 Deca-十 da 10 Atto-阿 a 10-18 (1)基本单位的词头第三章 测量单位与相似模拟1 SI制单位3) SI导出单位(2)根据基本单位和物理规律的导出单位中文物理量 中文符号 英文名称 SI导出 单位 关系式 温度 摄氏度 Temperature 平面角度 弧度 Angle rad 1rad=1m/m 度 Angle deg 1deg=/180rad 角速度 angle rate deg/s

6、频率f 赫兹 Frequency Hz 1Hz=1/s 力F 牛顿 Force N 1N=1kgm/s2(1kgf=9.81N) 千牛 Force kN 1kN=103N 位移d 毫米 Displacement mm 1mm=10-3m 厘米 cm 1cm=10-2m 第三章 测量单位与相似模拟1 SI制单位3) SI导出单位(续1)第三章 测量单位与相似模拟1 SI制单位3) SI导出单位(续2)第三章 测量单位与相似模拟2 物理量单位换算与力学量标定 1) 单位的换单位的换算算一个测量数值为V1、单位为E1的测量结果: XV1E1 可忽略写法以单位E2来表示: X=V1E1=V2E2则：

7、V2K12V1 K12 = 1E1/E2 如果E1和E2为同类物理量单位，则K12为单位E2的倍数。如果E1和E2不同类，则K12是一个定常单位转换量。第三章 测量单位与相似模拟2 物理量单位换算与力学量标定 2) 力学力学CAT的力学量标定的力学量标定 在CAT系统中常用物理量电压的单位E2为伏特v，那么力学量单位E1与电压量单位E2之间存在换算因子K12。CAT通道力学量未知电压量可测电压量可测CAT通道力学量可知获得转换关系K12力学量K12电压量 力学CAT系统测量电压与测量力或位移间须具线性关系，因此K12为一个满足特定条件的定常物理量，该常量由标定装置来测量。CAT灵敏度K？ K1

8、/K12第三章 测量单位与相似模拟2 物理量单位换算与力学量标定 2) CAT的力学量标定的力学量标定测量标定量 K12的方法： 使引伸计竖向夹持在位移标定器上并将引伸计输出导线接通电压放大器的输入端口； 旋转标定器位移刻度盘使位移读数为零取出引伸计引伸杆初始限位插销； 电压表接通电压放大器的输出端口，调试电压放大器的电压输出为零； 旋转位移标定器刻度盘，使电压表读数为电压放大器电压量程的百分数。第三章 测量单位与相似模拟2 物理量单位换算与力学量标定 3-2 标定系数 K12的误差分布 输入指令的量程百分数 /% 传感器测值的误差 2) CAT的力学量标定的力学量标定第三章 测量单位与相似模

9、拟2) CAT的力学量标定的力学量标定第三章 测量单位与相似模拟3 量纲分析与相似试验模型1) 特征单位令 ET=VTE1于是折算系数 K1T= E1/ET=1/VT则物理量可表为 X=V1E1 =K1TV1ET =(V1/VT)ETET 广义导出单位或特征单位VT 特征值K1T 特征系数K1T=1/VT 物理量相似放大倍数(1)(1)无量纲相似无量纲相似物理量无量纲化物理问题数学抽象模型用途：简化问题，数学求解称谓：无量纲相似或归一化处理方法：设定特征物理量VTE12 2)单物理量的相似模拟单物理量的相似模拟3 量纲分析与相似试验模型 e=s/E+a(s/E)nnsse特征应变为屈服应变e0

10、mm/mm特征应力取为屈服应力s0MPa无量纲数据 =e/e01, =s/s01es物理量还原：e =ee0，s=ss0 例：材料单轴本构方程3 量纲分析与相似试验模型2) 单物理量的相似模拟单物理量的相似模拟(1) 无量纲相似无量纲相似3 量纲分析与相似试验模型2) 单物理量的相似模拟单物理量的相似模拟(1) 无量纲相似无量纲相似类似设备的灵敏度类似设备的灵敏度放大倍数放大倍数(2)(2) 等量纲相似工程构件相似模型几何尺寸放大与缩小，力学量 放大与缩小方法：（1）设定特征物理量 (特征单位) （2）对构件物理量无量纲化（3）构建等量纲量 结构几何坐标系：(x,y,z)mm 设定一个特征长度

11、VTmm 无量纲新坐标系：(x/VT,y/VT,z/VT) 等量纲坐标系： (x/VT,y/VT,z/VT)mm3 量纲分析与相似试验模型2) 单物理量的相似模拟单物理量的相似模拟3 量纲分析与相似试验模型(2)(2) 等量纲相似2) 单物理量的相似模拟单物理量的相似模拟(3)(3)不等量纲相似CAT物理测试通道的模拟量测试方法： （1）设定特征物理量PT=VTE1 比如100kN/10v测试系统，可设PT=VTkN=10kN （2）对物理量无量纲化PV (=VP/VTA/D采集到的数值结果） （3）构建不等量纲量PPVE2 (E2=v,PV采集电压值） （4） 转换系数K12=P/ P =V

12、PkN/(PVv)=VTkN/v （5） 还原 P=K12P =VTPVkN3 量纲分析与相似试验模型2) 单物理量的相似模拟单物理量的相似模拟(3)(3) 不等量纲相似2) 单物理量的相似模拟单物理量的相似模拟3 量纲分析与相似试验模型单物理量相似：单物理量相似：被测量特征值被测量特征值模拟量模拟量还原：P=VT E1P3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）单物理量相似设计特征物理量长度无量纲化几何相似应力无量纲化力学相似工程结构同时涉及长度、力、时间，因此结构模型应考虑多个物理量的综合相似。多物理量相似如何设计物理量的特征物理量使得结构模型可以

13、在现象上相似地描述结构原型的力学行为确定特征物理量之间的关系3 量纲分析与相似试验模型3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）模型与原型现象相似的条件(1)(1) 相似条件例1：设有两个截面不同的拉伸试样，受到不同的拉伸轴力两个试样拉伸应力：s1=N1/A1，s2=N2/A2A：横截面面积，N：横截面上的轴力3 量纲分析与相似试验模型3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(1)(1) 相似条件例1：设特征应力、特征轴力、特征面积分别为 VsMPa、VNN、VAmm2它们满足：s2=s1/VsN2N1/VN

14、A2=A1/VA整理得：(VN/VsVA)s1=N1/A1 3 量纲分析与相似试验模型3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(1)(1) 相似条件力学现象相似的条件：力学现象相似的条件：相似系数相似系数k=VN/Vs sVA=1 或：或： 相似判据相似判据 =s s2A2/N2=s s1A1/N1相似第一定理：如果模型在现象上与原型相似，则特征物 理量构成的相似系数等于1，或相似判据 是一个不变量。3 量纲分析与相似试验模型3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(1)(1) 相似条件例2：简支梁原型中心

15、受到一个集中力P，梁截面的高宽为h和b，梁的跨度为l，若模型长度特征值为10（即原型在几何上缩小10倍）以及应力特征值为1（模型与原型的应力相等），模型的载荷特征值应取为多少才能保证弹性变形现象的相似呢？3 量纲分析与相似试验模型PP3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(1)(1) 相似条件例2： 原型和模型应力计算公式为s=Pl/(4W) w:抗弯截面模数 sm=Pmlm/(4Wm)已知sm= s、Pm=P/VP、lm=l/10、bm=b/10 Wm=bmhm2/6=W/1000代入上式得： s=(P/VP)(l/10)/4(W/1000)=(

16、100/VP)Pl/(4W) 则相似系数k=100/VP=1, 故VP100。3 量纲分析与相似试验模型3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(1)(1) 相似条件相对复杂的力学原型，描述现象相似的相似判椐不止一个例3：有一等截面直杆两端受有一对偏心的轴向力，其偏心矩为L，则此杆件外侧面的应力s可表为s= PL/W+P/A，其中W为抗弯截面模数，A为杆件截面积。请给出应力相似的相似判据。3 量纲分析与相似试验模型3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(1)(1) 相似条件例3 题解：3 量纲分析与相似试

17、验模型3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(2(2)基于量纲分析的相似条件力学相关的基本物理量记为：力F、长度L、时间T则一些力学量的量纲：速度的量纲：V=L/T=LT-1应力量纲：s=F/L2=FL-2应变的量纲:e=L/L=L0扭矩M的量纲：M=FL集中力的量纲:P=F分布力的量纲： q=FL-13 量纲分析与相似试验模型3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(2(2)基于量纲分析的相似条件设力学原型某物理量 X 与物理量 X1、X2、X3满足 X=f(321321pppXXX) 则量纲关系为 X

18、=321321pppXXX （p1、p2、p3为待定常数） 将 X 、X1、X2、X3的量纲F、L、T带入，得： FaLbTc=333322221111)()()(PcbaPcbaPcbaTLFTLFTLF 可得如下三阶线性方程组： 321331321321c c cb b ba a apppcba 该式可以求出所有待定常数 p1、p2、p3。 3 量纲分析与相似试验模型3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(2(2)基于量纲分析的相似条件将X取为无量纲量形式X： X=f(321321pppXXX) X的量纲指数a,b,c 均为零，量纲方程为齐次线

19、性方程。 令p2=m2p1，p3=m3p1, 有 X=f(13121321pmpmpXXX) =g（32321mmXXX） 显然乘积32321mmXXX是一个无量纲量。 3 量纲分析与相似试验模型3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(2(2)基于量纲分析的相似条件无量纲化的现象方程的无量纲项就是相似判据，如：例如：s=APWPL，可将s作除数使该式无量纲化， 得：1=APWPLss，右式中的两项正是相似判椐。 3 量纲分析与相似试验模型相似第二定理： 描述物理现象的关系方程均可转化为无量纲方程，则无量纲方程的各无量纲乘积项就是相似判椐。3)相似模

20、型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(2(2)基于量纲分析的相似条件一般地，物理量 X 可表为级数： X= )(2121niiipnppiXXXf 1in, n2 若 pJi 1Jn0, 上式无量纲后得： X= )(11niimnmJiXXXg 1in, n2 相似判椐i表为： i=nkJkmkJkiXX1 1?in, 1?J?n,n2 3 量纲分析与相似试验模型3)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(2(2)基于量纲分析的相似条件3 量纲分析与相似试验模型当描述物理现象的关系方程未知时，假定各物理量满足抽象函数：X=f(X1,.,Xn)取X1,.,Xn中的m个不同量纲的基本物理量Xj,j=1,2,.,m作为基本物理量，则相似判椐可以设为n-m个：mamaiiXXX 113)相似模型与量纲分析相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）多物理量的相似模拟）(2(2)基于量纲分析的相似条件3 量纲分析与相似试验模型当Xi为X1,2,m之一时相似判椐无意义。独立相似判椐最多有n-m个。以受均布载荷简支梁为例，如果事先不知关系式，则可设：s=f(q,M,