第六章分子扩散

1、第六章分子扩散分子扩散 扩散：流体中含有物质（示踪剂、扩散质）从含量多处向含量少处传输转移的现象。 扩散包括分子扩散：分子运动产生 紊动扩散：紊流中流体微团的紊动 分子扩散慢，除微观的生化作用外，在环境问题中并不发生实质性影响。但许多情况下，环境中的物质分散问题可以按分子扩散来描述，因为它们与分子扩散有强烈的相似之处。6.1分子扩散现象与扩散方程1 分子扩散现象两种不同物质通过分子运动而互相渗透的现象。物质分子扩散的原因：浓度扩散（存在浓度梯度）温度扩散（存在温度梯度）压力扩散（存在压力梯度）强制扩散（存在其它作用力梯度）imxcDQscm /22 分子扩散基本规律：Fick第一定律1855年

2、Fick 提出：单位时间通过单位面积的扩散质与其在该面法向的浓度梯度成正比。负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反，即从浓度高处向浓度低处扩散；Dm为分子扩散系数（ ），随溶质、溶液种类及温度压力条件而变化。见表4.13 分子扩散方程：Fick第二定律浓度分布不均匀引起分子扩散，建立浓度随时空变化的关系式。dxdydzozxy在静止流体中取微元六面体空间，中心点浓度c(x,y,z,t)，扩散通量(Qx,Qy,Qz)。根据扩散质质量守恒原理，分析各面的扩散质通量dxdydzdtxQdydzdtdxxQQdydzdtdxxQQMxxxxxx)21()21(dxdydzdtyQMyydxdydzdtzQ

3、MzzdxdydzdtzQyQxQMMMMzyxzyx)(0zQyQxQtcMMzyx222222zcDycDxcDtczcDQycDQxcDQmzmymxmzzmyymxxdxdydzdttcdxdydzcdxdydzdttccM)(mmzmymxDDDD2222222)(xcDtcycxcDtccDtcmmm若扩散为各向同性，即三维扩散二维扩散一维扩散6.2静止流体中的分子扩散求解 分子扩散方程中，若扩散系数为常数，方程可线性化。在简单的初边值条件下，可求得解析解。对复杂条件下求解只能借助数值解法。 扩散方程求解和污染源的存在形式密切相关： 空间上：点源、线源、面源、体积源（空间分布源）

4、时间上：瞬时源、时间连续源（恒定、非恒定）22xcDtcm)4(4tDxftDMcmm1 瞬时面源的一维扩散xco从正交于扩散方向的一个面源均匀集中投入质量M的扩散质，形成细管中的一维扩散。扩散方程由量纲分析得解的结构：代入扩散方程中求函数 f0)2(022414)(4124222222fddfdddfdddffdfdttDMxcDddffttDMtctDxmmmm方程为右端左端令正态分布（高斯分布）扩散解为扩散质质量守恒解为特解tDxmmetDMtxccMcdecMdecMcdxMecffddf40000022224),(1, 02浓度解的分析（1）浓度分布曲线0 xct1 t2随时间增长，

5、扩散范围变宽而峰值浓度降低，浓度分布曲线愈趋扁平。cdxxMppMcdxM0 xcdxM1（2）各阶浓度矩cdxxM22零阶浓度矩一阶浓度矩二阶浓度矩（表示浓度分布曲线与x轴所包围的面积，即扩散质量M，各时刻为常数）01MM001M（3）质量中心坐标0 xc例：以源平面为坐标原点，则浓度分布曲线以纵轴为对称。2222022222xmmeMctDtDMM（4）浓度分布的方差和标准差浓度分布可表示为方差体现了浓度分布曲线的扩展宽度，随时间的增加而增大。所以各时刻的浓度分布曲线可用不同的标准差表示。1221222221)(212tttDtDmm（5）实测浓度计算扩散系数在不长的时间间隔内，测知t1、

6、t2 时刻的浓度分布，求得方差，据上式可计算分子扩散系数值。2（6）浓度分布曲线的宽度0 xc24分布宽度分布宽度245面积百分比0.3830.68260.95460.9876理论上两端可延伸至无穷远。实用上认为其分布宽度为 。2222ycDxcDtcyx),(),(),(21tyctxctyxc0)()(2121222221222121221221xcDtccycDtccyccDxccDtcctccxyyx2 瞬时线源的二维扩散从 z 方向的一条线源均匀投入质量为 M 的扩散质，在 xy 平面上扩散。二维扩散方程设平面上任意点浓度代入扩散方程)44exp(4),(22tDytDxDDtMty

7、xcyxyx.22constyx上式中两项分别为零，即c1、c2各自满足一维扩散方程的解。所以二维扩散解为二维扩散的浓度分布呈钟形体。源点处浓度最大，随着离点源距离的增加，浓度以负指数衰减。等浓度线为同心圆：oxyc222222zcDycDxcDtczyx3 瞬时点源的三维扩散在坐标原点瞬时投入质量为 M 的扩散质，在三维空间扩散。扩散方程：浓度解：)444exp()(8),(22223tDztDytDxDDDtMtzyxczyxzyx000)0 ,(, 00 xcxxct4 瞬时分布源的扩散瞬时投入的污染物质不是集中在一点，而是分布在一定的空间范围之内。可考虑为若干集中源的叠加。（1）一维起

8、始无限分布源的扩散分布源扩散区xocxdp左半部各点初始浓度相同，均为c0，右半部为清水区（扩散区）。ddcdM0)4exp(4),(20DtDtdctdc)2(1 2)2(2)4()4exp()4exp(4),(0024020DtxerfcDtxerfccDtdDtcDtDtdctxcDtxx微小污染源的质量。扩散到p点的浓度)(1)(2)(1)(0)0()()(2)(220 xerfxerfcdzexerfcerferfxerfxerfdzexerfxzxz误差函数性质：余（补）误差函数二者关系0ccDtx219976. 09953. 0)2(, 220ccerfDtx012-1-210.

9、522Dtx当则故在的部分，浓度几乎没有降低。axaxaxacxct,0)0 ,(, 00（2）一维起始有限分布源的扩散0-aax存在初始浓度均匀、分布宽度为2a的有限分布源。设坐标原点在有限分布源的中心，即与一维无限分布源的区别仅在于积分区间不同。)4()4(2)4()4(2)4()4exp(),(0040042440DtxaerfDtxaerfcDtaxerfDtaxerfcDtdDtctxcDtaxDtaxDtaxDtaxbyaxbyaxcyxct,0,)0 ,(, 00)4()4()4()4(4),(0tDyberftDyberftDxaerftDxaerfctyxcyyxx（3）二维

10、起始有限分布源的扩散xy0-aa-bbdzbyaxdzbyaxczyxct,0,)0 ,(, 00（4）三维起始有限分布源的扩散2a2b2dxyzo)4()4()4()4()4()4(8),(0tDzderftDzderftDyberftDyberftDxaerftDxaerfctzyxczzyyxx22xcDtcm)0(, 00, 00tccxct5 时间连续源的扩散（1）等强度连续源的一维扩散初始条件：边界条件：)()(),(00fctDxfctxcm由量纲分析得解的结构：代入扩散方程中求函数 f2202200002dfdtDcxcddftDcxddfcxcddftctddfctcmm02

11、122ddfdfd0,1, 0ff),(),(0)4(0txctxcxtDxerfcccm21tt 方程边条件：浓度解t1t2xcc0（2）变强度连续源的一维扩散可看为无数不同强度的瞬时源产生的扩散在时间上叠加的结果。见式（4.84）。（3）变强度分布连续源的一维扩散既考虑空间分布源的叠加，又考虑时间连续源的叠加，两次积分构成。见式（4.86）。对于连续源的二维、三维扩散，可按上述方对于连续源的二维、三维扩散，可按上述方法看作无数个相应瞬时源扩散的叠加，用相法看作无数个相应瞬时源扩散的叠加，用相应瞬时源的浓度分布公式进行时间积分计算。应瞬时源的浓度分布公式进行时间积分计算。)444exp()(

12、 8),(22223tDztDytDxDDDtMtzyxczyxzyx)4exp()4(),(223tDrtDMtrcmm（4）等强度连续点源的三维扩散瞬时点源三维扩散解为分子扩散各向同性，则)(4exp)(4223tDrtDmddcmm将连续点源看作无数瞬时点源的叠加：设单位时间投入扩散质的质量m 为常数，则在任意时刻以后的 d 时段内投入量为 md，此即一个瞬时源的强度。经过（t-) 的时间扩散以后，在 r 处产生的浓度解为从0t 时间的连续点源产生的浓度为dtDrtDmdctrcmmtt)(4exp)(4),(22300)(4tDrm,4, 0,)(21423ttDrdtDrdmm)4(

13、4),(24),(42tDrerfcrDmtrcderDmtrcmmtDrmm求此积分：令无量纲变量扩散解为：扩散解为：6.3分子扩散的随机游动分析从扩散根源上研究：分析分子运动的概率密度，符合正态分布。与前述费克分子扩散理论的浓度解分布一致。（自学教材中4.3节）6.4有边界反射情况下的扩散上述扩散解指无限空间中的扩散，无固体边界的影响（或边界很远，其影响可忽略）。但实际问题是有限空间，存在如河岸、河底等固壁的影响。边界对污染物质的扩散影响有三种情况：完全吸收完全吸收：扩散质到达边界后被边界吸收或粘附在边界上；完全反射完全反射：扩散质遇到边界后全部反射回去；一般是介于二者之间的不完全吸收和不

14、完全反射不完全吸收和不完全反射。吸收和反射与扩散质及边界的性质有关。最不利情况是完全反射，以下仅考虑此种情况。1 一侧有边界的一维扩散xoL2Lc在x=0处有瞬时面源沿x方向一维扩散，在x=L处存在全反射的固体边界，此处扩散质通量为零。根据平面镜像定理，设想在x=2L处有一等强度的像源。真源和像源在固壁处的通量大小相等、方向相反，故满足边界面净通量为零的边界条件。4)2(exp4exp4),(22DtLxDtxDtMtxc)4exp(42),(2DtLDtMtLc按叠加原理，实际情况等价于无边界影响时（真源+像源）的解：在边界x=L处，浓度为是无边界情况下浓度的2倍。Lx22 两侧有边界的一维扩散oL2Lxc-L-2L在处有两个像源，像源产生的浓度遇到另一侧边界时发生第二次反射，形成二次像源，逐次反射以至无穷。最终浓度解为4)2(exp4),(2DtnLxDtMtxcn实际问题中L较大，一般只考虑一、二次反射即可。一次反射：n=-1,0,1 二次反射：n=-2,-1,0,1,26.5层流移流扩散ciimiiFxxcDxcutc2)(1 移流扩散方程扩散质不仅有分子扩散，还有随流输移：扩散物质随流体质点