第三章随机过程的功率谱密度

1、第三章 随机过程的功率谱密度 主要内容：随机过程的功率谱密度函数平稳随机过程功率谱密度函数的性质功率谱密度函数与自相关函数的关系平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽联合平稳随机过程的互功率谱密度白噪声与色噪声3.1 功率谱密度函数3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度 3.1 功率谱密度函数3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度 确定信号 是在 的非周期实函数， 的傅立叶变换存在的充要条件是：(1). 满足狄利赫利条件(2). 总能量有限，即 txt tx dttx dttx2则信号 的傅立叶变换为傅立叶反变换为根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式) 称为信号的能量谱密度。

2、 tx dtetxjwFjwtx dwjwFdttxx22212jwFx dtejwFtxjwtx213.1.2 随机过程的功率谱密度 随机过程的样本函数 不满足傅立叶存在的绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在。 tx txt0图 3-1 样本函数 采取截断函数 规范化随机信号，使之满足傅立叶变换条件。截断函数定义为： othersTttxtxT, 0, txT0 txtTT图 3-2 及截断函数 tx 保留有限区间的数据置其它区间为0 当T为有限值时，截断函数满足傅立叶变换条件，傅立叶变换为 傅立叶反变换为 由巴塞伐定理得 对上式两边除2T TTjwtjwtTxdtetxdtetxTjwF,

3、 dteTjwFtxjwtxT,21 dwTjwFdttxdttxxTTTT222,21 dwTTjwFdttxdttxTxTTTT2,2121222 样本函数在时间区间 的平均功率。 由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数，取决于随机试验，平均功率具有随机性。 可采用集合平均消除样本函数的随机性，即两边取极限 dwTTjwFdttxdttxTxTTTT2,2121222TT, dwTTjwFEdttXTExTT2,212122 dwTTjwFEdttXETxTT2,lim2121lim22若设上式表示为 称为随机过程 的功率谱密度。如随机过程是宽平稳过程时，则 TTjwFEwSXTX2,l

4、im2 XS tX dwwSPdttXETXXT2121lim2 dwwStXEdttXETXT2121lim223.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系及其性质 自相关函数是从时间域上描述随机过程统计特性的重要特征。 功率谱密度是从频率域上描述随机过程统计特性的重要特征。 自相关函数 功率谱密度？自相关函数功率谱密度随机过程?timefrequency图3-3 功率谱密度与自相关函数3.2.1 维纳辛钦定理 平稳各态历经随机过程 的自相关函数 和功率谱密度 有如下关系： 证明：由功率谱密度函数定义 tX XB XS deSBjXX21 deBSjXX TdtetXtXEdtTdtetXtXd

5、tETdtetXdtetXETTjFTjFETTjFESTTttjTTTTTttjTTTTTtjTTtjTXXTXTX2lim2lim2lim2,lim2,lim1122112222112121221功率谱密度与自相关函数是傅立叶变换对在区间 定义则有令 则 得证。 otherstXtXETttttBtXtXEX0,21212121TT, TdtdtettBTdtdtettBSTTttjTTXTTTttjTTXTX2,lim2,lim212121211212 12tt ddt 2 各态历经性平稳随机过程令1111111111,21lim2,limdeBdeBdettBttdtdettBTTdd

6、tettBSjXjXjXjTTXTtTtTjTTXTX功率谱密度与自相关函数时间平均值是傅立叶变换对 deSBjXX213.2.2 功率谱密度的性质1. 功率谱密度为非负实函数，即证明: 根据功率谱密度定义2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即 0XS TTjFESXTX2,lim2 XXSS 证明 : 由功率谱与自相关函数的关系同理 dttBdttBdjttBdettBSXXXjXXsin,cos,sincos,sinsincoscos,ttBttBXXdttBSXXcos, dttBSXXcos, XXSS平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值

7、有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即 dSX dStXEX212 dSX4. 功率谱与相关函数 随机过程平稳随机过程平稳各经历态过程 ,ttBSXX XXBS XXBSttX0图3-4 随机过程及其功率谱密度函数0 wSX非负实数可积偶函数3.2.3 功率谱 与 平均功率平均功率是功率谱在频率空间的积分证明： XSXP dSPXX21 dSdeStXEtxAPXtjXX2121022平稳各态历经2.特定频率 上平均功率3.单边谱密度 与双边谱密度 21,212,X dSXX2121,112 XS XS 0002XXSS物理谱密度函数 dSPXX021 dSXX2121,212 函数功率谱密度

8、指单位带宽上平均功率；直流与周期平稳随机过程在频率轴有离散谱线；ttX0图3-5 周期平稳随机过程及其功率谱密度0 wSX零带宽上有限功率 无限的功率谱密度 随机过程的功率谱密度不一定可积，即 函数 dSX othersxx00 1dxx 0fdxxfx 10jjede 2121210jjede jxexfxif, xjexfxif , 21 21x0图3-6 函数 利用 函数，含有直流分量或周期分量的平稳随机过程的功率谱密度可表示为 2_0tXBBXX 2_02tXSSXX _0tXtXtX ttXtX00cos 00cos21XXBB 00021XXSS XS0图 3-7 直流分量 XS0

9、图 3-8 周期分量 若功率谱密度函数为常数，则自相关函数为 函数。 0nSX 0nBX0 XS图3-9 常功率谱函数0 XB图3-10 自相关函数例3-1 平稳随机过程 的自相关函数为求该随机过程的功率谱密度函数。解：由维纳辛钦定理，有 tX 0,eBX 220021100jjjejedeedeedeedeBSjwjwjwjwjwjwXX0 XB XS0图 3-11 例3-13.2.4 几种常见的 与 XB XS XB XS0 XB0 XB XB XB XS XS XS XS0000000,e222TT0cos1222sin4TT00例3-2 已知平稳随机过程 ，具有功率谱密度为求该过程的自

10、相关函数。解：由上例可知，若自相关函数具有 的形式，则功率谱密度为 ，本题中则自相关函数具有如下形式 tX 36131624XS 0,AeBX 222ASX 951645169416361316222224XS 2121eAeABX显然因此所以自相关函数为915832951645422451622223,158; 2,542211AA 3215854eeBX3.3 平稳随机过程的自相关函数时间和等效功率谱带宽 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关联程度。 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率沿频率轴的分布。自相关时间从数量上直观描述随机过程的在时间上关联范围。等效功率带宽从数量上直观描述随机过

11、程在频率上分布范围。3.3.1 自相关时间 tXEtXE21相同的数学期望相同的方差(a)0t tX1(b)0t tX2 tXDtXD21图3-12 和 的样本函数曲线 tX1 tX2(b)图 3-13 和 的自相关函数 tX2 tX1(a)0 1XB0 2XB因为 ，有由于 扩展比 要大一些，因此 dBBXXk11021 dBBXXk22022 02111XXkBdB 02222XXkBdB tXEtXE21 tXDtXD21 tXEtXDBX12101 tXEtXDBX22202 0021XXBB 1XB 2XB dBdBXX2121kk 能描述相关程度1k(b)2k2k0 2XB(a)1

12、k1k0 1XB图 3-14 自相关时间自相关时间定义：通常，当 时，可认为 与 的相关性已经很弱，实际上已经不相关了。 02002XXXXkBSBdBk tXtX3.3.2 等效功率谱带宽(a)(b)t0 tX10t tX2 tXEtXE21图3-15 和 的样本函数曲线相同的数学期望 tXDtXD21相同的方差 tX1 tX2 2XS0 1XS0(a)(b)图3-15 功率谱110 1XS220 2XS因为 ，且所以 dSSXX11021 dSSXX22022 02200220211111101XXXjXXXSBSdeSSdS 02200222222XXXXSBSdS 0021XXBB 0

13、021XXSS21 能描述出随机过程起伏程度图3-15 等效功率带宽等效功率带宽定义：通常， 说明了 中起伏的最高频率。 02XXSdS 022XXSdSff tX3.3.3 时间带宽乘积 变化缓慢， 变化快， ； 起伏频繁程度低， 变化起伏频繁程度高， 。 时间带宽乘积： tX1(a)(b)0t tX10t tX2 tXEtXE21图3-16 和 的样本函数曲线相同的数学期望 tXDtXD21相同的方差 tX1 tX2 tX221kk21ff 41020020XXXXkSBBSf常数 tX1 tX2例3-3 设随机过程 的自相关函数为试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽。解：由自相关函

14、数定义 tX 0,0TeBBTXX TdeBdeBBSBdBTXTXXXXXk22020020020等效功率谱带宽 TTBBSBSSfXXXXXX4104002002 TBSXX020 例3-4 已知平稳过程 的谱密度为求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。解：由自相关函数与功率谱关系有 tX othersSX, 010,101208 tX 10101010101010101010sincos2sincos20821101208211012082121djdjdedededeSBjjjjXX 22222100210010010010055sin10045sin22410cos124010co

15、s24sin210sin2010sin2404sin2010sin210sin2404sin2010sin2404cos2cos2404dddddBX _20tXBBXX 20_255sin1004XBtX 10000XB othersSX010101200 2000XS 102002002000XXkBS 254010002000XXSBf0 0XS10100 0XB555252图 3-17 例3-43.4 联合平稳过程的互功率谱密度 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关联程度。 互相关函数反映多个随机过程在不同时刻的关联程度。功率谱密度函数互功率谱密度函数3.4.1 互功率谱 随机过程的样

16、本函数不满足傅立叶存在的绝对可积和能量可积条件。 采取截断函数规范化随机信号，使之满足傅立叶变换条件。0 txtTT a 保留有限区间的数据置其它区间为00 tytTT图 3-18 样本函数及截断函数 保留有限区间的数据置其它区间为0 b othersTttytyT0othersTttxtxT0 截断函数 和 满足傅立叶变换的绝对可积和能量有限条件，即 傅立叶变换分别为 txT tyT dttxdttxTT2 dttydttyTT2 TTtjtjTxdtetxdtetxTjF, TTtjtjTydtetydtetyTjF,在时间范围 内， 和 的互功率为据巴塞伐定理用 代换 ，则有互功率也可表

17、示为TT, tx ty dttytxTdttytxTTPTTTTTTxy2121 dTjFTjFdttxtxxxTT,21 tyT txT dTjFTjFdttytxyxTT,21 dTTjFTjFdttytxTTPyxTTxy2,2121 由于 和 具有随机性， 、 和 也具有随机性； 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计平均来得到随机过程 和 的互功率。 将时间范围扩展至 ，即 设 则 tx tyTjFx,TjFy, TPxy tX tY dTTjFTjFEdttYtXTETPYXTTXY2,2121,T dTTjFTjFEdttYtXETPYXTTTTXY2,lim2121lim TT

18、jFTjFESYXTXY2,lim dSPXYXY21 互功率谱密度 XYS3.4.2 互功率谱的物理意义设实随机过程 ，它由两随机过程 和相加：自相关函数为 TTjFTjFESYXTYX2,lim XYYXYXPdSP21 tW tX tY tYtXtW ttBttBttBttBtYtYEtXtYEtYtXEtXtXEtYtXtYtXEtWtWEttRYYXXYXW, 对自相关函数取时间平均 则 的功率谱密度为 是 和 绞联、耦合部分在频率空间上的表现。,ttBttBttBttBttRYYXXYXW tW YYXXYXWSSSSS YXXYSS和 tY tX3.4.3 互功率谱与互相关函数的

19、关系1.两个随机过程 和 的互相关函数 和互功率谱 之间满足其中 tX tYttBXY, XYS dettBSjXYXY, deSttBjXYXY21,TTXYTXYdtttRTttB_,21lim,证明：根据互功率谱定义有由傅立叶变换 deBttttdedtTttBdtdteTttBTdtdtetYtXETdtetYdtetXETTjFTjFESjTTXYTjTTTTXYTttjTTTTXYTTTttjTTTtjTTtjTTTYXTXY 21212121212211lim,2,lim2,lim2lim2lim2,lim121221 deSttBjXYXY21,2. 若随机过程 和 联合平稳，

20、互相关函数 和互功率谱 之间满足证明：据联合平稳过程的性质，有将其带入一般关系式，就可得此关系。 tX tY XYS deBSjXYXY deSBjXYXY21 XYTTXYTTTXYTXYBdtBTdtttBTttB21lim,21lim, XYXYBttB,3.4.4 互功率谱性质1.2.3.若随机过程 和 正交，则4.若随机过程 和 不相关，且的均值为常数 ，则 YXXYSS YXYXXYXYSSSSReReReRe YXYXXYXYSSSSImImImIm 0, 0YXXYSS tX tX tY tYYXmm , YXYXXYmmSS20,21ttBXY YXXYmmtXEtXEttB2121,3.5 白噪声和色噪声 按功率谱密度函数的形状，可分为白噪声和有色噪声； 白噪声可分为理想白噪声和带限白噪声。功率谱函数形状理想白噪声带限白噪声0 XS(a)0 XS(b)图 3-19 色噪声(a)和白噪声(b)0 XS(a)0 XS(b)图 3-20 理想白噪声(a)和带限白噪声(b)3.5.1 理想白噪声 定义： 若 为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在 的整个区间，即 其中 为一正实