第3讲频率域稳定判据

1、 奈魁斯特稳定判据是奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判用开环频率特性判别闭环系统的稳定性别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。的途径。一、奈氏判据的数学基础一、奈氏判据的数学基础如图，如图，n阶系统的开环传递函数为：阶系统的开环传递函数为： )()()(sHsGsGk闭环传递函数为：闭环传递函数为： )()(1)()(sHsGsGs)(sR)(sC)(sG)(sH令：)()()(,)()()(2211sNsMsHsN

2、sMsG则开环传递函数为：则开环传递函数为：)()()()()(2121sNsNsMsMsGk (a)闭环传递函数为：闭环传递函数为：212121)(NNMMNMs (b)显然，辅助方程的阶数为辅助方程的阶数为n阶，且分子分母同阶。阶，且分子分母同阶。还可以写成：由上页由上页(a)、(b)及及(c)式可以看出：式可以看出： F(s)的极点为开环传递函数的极点；的极点为开环传递函数的极点； F(s)的零点为闭环传递函数的极点；的零点为闭环传递函数的极点； 因此，如果因此，如果F(s)的零点都位于的零点都位于S平面的左半部平面的左半部，系，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。统就是稳定的，否则系统便

3、不稳定。构造构造闭环特征方程为闭环特征方程为辅助方程：辅助方程：2121212211111)(NNNNMMNMNMGGHsFk .(c)njjniipszssF11)()()(。式中， 为F(s)的零、极点。jipz ,假设复变函数假设复变函数F(s)为单值函数，且除了为单值函数，且除了S平面上有限的奇点外，平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数，也就是说处处都为连续的正则函数，也就是说F(s)在在S平面上除奇点外平面上除奇点外处处解析，那么，对于处处解析，那么，对于S平面上的每个平面上的每个解析点解析点，在，在F(s)平面上平面上必有一点（称为必有一点（称为映射点映射点）与之对应）与之对

4、应。 例例辅助方程为：辅助方程为： ，则，则s平面上平面上 点（点（-1，j1），映射），映射到到F(s)平面上的点平面上的点 为（为（0，-j1）,见下图：见下图：sssF2)(sdfd) 1, 1(jds) 1, 0(jdf平面s平面)(sFS平面与平面与F(s)平面的映射关系平面的映射关系 对于对于s平面上任意一条不通过平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线任何奇异点的封闭曲线 ，可在可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （称为（称为 的的映射）。映射）。sfs同样我们还可以发现以下事实：同样我们还可以发现以下事实：s平面上平面上 曲

5、线曲线 映射到映射到F(s)平面的曲线为平面的曲线为 ，如下图：，如下图：ssssssssHGFEDCBAsfsAsBsCsDsEsFsGsH12平面s顺时针s逆时针f平面)(sF示意图 曲线曲线 是顺时针运动的，且包围了是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（的一个极点（0），），不包围其零点（不包围其零点（-2）；曲线）；曲线 包围原点，且逆时针运动。包围原点，且逆时针运动。sf再进一步试探，发现：若再进一步试探，发现：若 顺时针包围顺时针包围F(s)的一个极点（的一个极点（0）和）和一个零点（一个零点（-2），则），则 不包围原点顺时针运动；若不包围原点顺时针运动；若 顺时针只顺时针

6、只包围包围F(s)的一个零点（的一个零点（-2），则），则 包围原点且顺时针运动。包围原点且顺时针运动。sfsfScF柯西幅角原理：柯西幅角原理：设在平面的右半侧：有设在平面的右半侧：有F(s)的的个零点个零点(闭环极点闭环极点)和个极点和个极点(开环极点开环极点)被闭曲线包围，当被闭曲线包围，当某点沿一周时有：某点沿一周时有：njjniipszssF11)()()(。式中，式中， 为为F(s)的零、极点。的零、极点。jipz ,原点的圈数原点的圈数为包围为包围令令SFRpzR)(),(pzpzpszsSFjpjiZi360*)(360*360)()()(11*D若若R0，表示，表示逆逆时针运

7、动，包围原点；时针运动，包围原点； 若若Rm时，无穷大半圆弧在时，无穷大半圆弧在GH平面上的映射是它的坐标原平面上的映射是它的坐标原点（点（K为系统开环放大系数）。为系统开环放大系数）。 s 在在GHGH平面上的映射平面上的映射mIGHGHmIeReR)2()2(00)1 ()1 ()3()3(0K0Kkmna)(mnb)(GHGH奈氏轨迹奈氏轨迹 s 在在GH平面上的映射称为平面上的映射称为奈奎斯特曲线奈奎斯特曲线或或奈氏曲线奈氏曲线。2、当、当G(s)H(s)在在S平面的虚轴上（包括原点）有极平面的虚轴上（包括原点）有极点时，由于奈氏轨迹不能经过开环极点点时，由于奈氏轨迹不能经过开环极点(

8、奇异点奇异点)，轨，轨迹必须避开虚轴上的所有开环极点。迹必须避开虚轴上的所有开环极点。下版图表示当有开环极点为零时的奈氏轨迹和对应的下版图表示当有开环极点为零时的奈氏轨迹和对应的奈氏曲线映射，其中（奈氏曲线映射，其中（1）（）（2） 和（和（3）部分的定）部分的定义与前面相同，义与前面相同，第（第（4）部分为用一个半径为无穷小）部分为用一个半径为无穷小的弧绕开原点（包括虚轴）上的极点。的弧绕开原点（包括虚轴）上的极点。 图图1 1中第（中第（4 4）部分）部分无穷小半圆弧无穷小半圆弧在在 GHGH平面上的映射为平面上的映射为顺时针旋转的无穷顺时针旋转的无穷大圆弧大圆弧，旋转的弧度为旋转的弧度为

9、 弧度弧度。图。图2 2（a a）、（）、（b b）分别表示当）分别表示当v=1v=1和和v=2v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是 s 的无穷小半圆弧在的无穷小半圆弧在GHGH平面上平面上的映射。的映射。图图1 1 虚轴上有开环极点虚轴上有开环极点 时的时的奈氏轨迹奈氏轨迹mI 000R01veR)(aGH图图2 2 时的时的奈氏曲线奈氏曲线0vj000) 1 ()2(R) 3()4(0r Ss 0 010R0GH2veR)(bmI奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 闭环系统稳定的充分必要条件是，闭环系统稳定的充分必要条件是， 平面上的开环频率平面上的开环频率

10、特性，特性，按逆时针方向包围按逆时针方向包围 点点P P周周。 当位于当位于S S平面右半部的开环极点数平面右半部的开环极点数 P=0P=0时时，即当系统的开环传递函数，即当系统的开环传递函数的全部极点均位于的全部极点均位于S S平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定的平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定的充分必要条件是充分必要条件是奈氏曲线不包围奈氏曲线不包围GHGH平面的平面的 点点。)()(jHjG), 1(j), 1(j)()(jHjG从上面的分析可知，奈氏曲线实际上是系统从上面的分析可知，奈氏曲线实际上是系统开环频率特性开环频率特性 极极坐标图的扩展坐标图的扩展。当已知

11、系统的开环频率特性后，根据它的当已知系统的开环频率特性后，根据它的极坐标图极坐标图和和系统的性质系统的性质（是否含（是否含有积分环节、开环传递函数中分子分母的最高阶次等）有积分环节、开环传递函数中分子分母的最高阶次等） 便可方便地在便可方便地在 GHGH平面上绘制出奈氏曲线。平面上绘制出奈氏曲线。由此得到基于开环频率特性的奈氏判据如下：由此得到基于开环频率特性的奈氏判据如下：例例1设开环系统传递函数为：设开环系统传递函数为： ，试用奈氏，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。判据判断闭环系统的稳定性。)52)(1(52)(2ssssGk解解：开环极点为：开环极点为-1， -1 j2， 都在都在s左

12、半平面，左半平面，所以所以 P=0。奈氏图如右。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕顺时针围绕 (-1,j0)点点2圈。圈。所以闭环系统在所以闭环系统在s右半极右半极点数为：点数为： Z=P-R=0+2=2，闭环系统，闭环系统是不稳定的。是不稳定的。例例2系统结构图如右：试判断闭系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系。的关系。1sk-)(sR)(sC解解：开环系统奈氏图：开环系统奈氏图是一个半径为是一个半径为 ，圆心，圆心在在 的圆。显然，的圆。显然，k=1时，包围时，包围(-1,j0)点，点，k1时，时，奈氏曲线

13、逆时针包围奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，点一圈，R=1，而，而 P=1，则，则 Z=P-R=0, 闭环系统是稳定的。闭环系统是稳定的。当当k=1时，奈氏曲线通过时，奈氏曲线通过(-1, j0)点，属点，属临界稳定状态。临界稳定状态。当当k1K1时，时，N= NN= N+ + - N - N - - =1-1/2= -1/2 =1-1/2= -1/2，如已知，如已知P=1P=1，所以，所以Z= P-2N=0Z= P-2N=0，闭环系统稳定；，闭环系统稳定； K1K0dbL()0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越地穿越-180-180线。

14、线。ImRe0 ( 1, 0)j()()G jHj()L( ) dB00c参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈氏判据可表参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈氏判据可表述如下：述如下： 闭环系统稳定的充要条件是：当闭环系统稳定的充要条件是：当 由由0 0变到变到 时，时，在在开环对数幅频特性开环对数幅频特性 的频段内的频段内，相频特性相频特性 穿越的次数（正穿越穿越的次数（正穿越 与负穿越与负穿越 次数之差）为次数之差）为 。 P P为为开环传递函数在开环传递函数在s s右半平面的极点数。右半平面的极点数。 0)(L)(NN2P0P0)(L)( 若开环传递函数无极点分布在若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即右半平面，即 ，则闭环系统稳定的充要条件是：在则闭环系统稳定的充要条件是：在 的频段内，的频段内，相频特性相频特性 在在 线上正负穿越次数代数和为零。线上正负穿越次数代数和为零。或不穿越或不穿越 线线 。例：某系统有两个开环极点在例：某系统有两个开环极点在S S右半平面右半平面（P=2P=2） N N+ +- N- N- -=1-=1-2 2= -1