投资问题数学建模

1、投资问题摘要本次建模解决的是某公司在未来五年内的最优投资组合问题：在20亿的原始资金约束以及各个项目的投资约束下，选择最优的投资组合方案，使得第五年末所得利润最大。为此，我们综合运用了线性规划、时间序列预测、灰色预测的方法进行求解。对于问题一：根据附录一表1提供的实验数据，我们建立了单目标最优化模型。综合考虑每个项目的投资规则、投资上限以及每年年初可用于投资的总金额约束，并以第五年末的利润，即第五年末的本利和与20亿原始资金的差值，为目标函数，建立最优化模型。通过lingo求得第五年末的最大利润为153255万元，具体投资组合见表三。对于问题二：我们先运用excel软件对历年数据进行了处理，得

2、到单独投资时各项目近20年的到期利润率时间序列，以及项目相互影响下的到期利润率时间序列，发现其服从正态分布。运用时间序列预测的简单序时平均数法，定义：今后五年的到期利润率为该正态分布的期望值；未来五年的风险损失率用往年数据利润率的标准差来衡量，运用MATLAB软件求出到期利润率，并利用excel求出风险损失率。具体结果见表四、表五。对于问题三：根据问题二的预测结果，建立了与问题一相同的目标函数，考虑到公司争取到的资金捐赠，以及项目之间的相互影响，修改约束条件，依照该模型用Lingo求解，得到该公司在第五年末利润为，具体投资方案见表对于问题四：在问题三的基础上，考虑投资风险，即需要考虑到风险损失

3、率。根据问题二中对风险损失率的定义可知，其反映的是利润率的波动情况，所以我们以预计到期利润率与风险损失率之差作为各项目的实际利润率，通过修改模型三得到单目标优化模型四，用Lingo解得考虑风险时该公司第五年末的利润为，具体投资组合见表六。对于问题五：在上述情况的基础上，公司增加了存款和贷款两种资金运作的方式。由于题目未给出具体的银行利率，我们从网上收集了中国人民银行近年来存贷的利率数据，并利用灰色预测模型预测了未来五年贷款和存款的利率。贷款和存款金额没有限制，因此我们假设每年年初投资后没有不用于投资的资金。以第五年末的最大利润为目标函数，建立单目标优化模型，得到第五年末的利润为，具体方案见表七

4、。关键词：线性规划 时间序列预测 灰色预测模型1.问题重述1.1问题背景某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、）可供公司作投资选择。各个项目的投资规则：(1) 项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；(2) 项目3、项目4每年初投资，到第二年末回收本利；(3) 项目5、项目6每年初投资，到第三年末回收本利；(4) 项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；(5) 项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。1.2需要解决的问题问题一：根据 附录一表1 的实验数据，确定5年内的投资组合方案，使第五年末所

5、得利润最大。问题二：公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。8个项目独立投资的往年数据见 附录一表2 。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见 附录一表3 。注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目。试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。问题三：未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同

6、时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。各投资项目的投资上限见 附录一表4 。在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资，使得第五年末所得利润最大？问题四：考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？问题五：为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策。2. 基本假设与符号说明2.1基本假设(1)

7、题目中所给的数据真实有效；(2) 每次投资的实际收益与预计收益相等；(3) 公司第五年末结束投资活动，不存在仍在运作的项目；(4) 除了题目中提及到的项目之间相互影响的情况，其他项目同时投资不存在相互影响；(5) 某项目的投资上限是对同一投资期存在的投资额的约束，不包括到期投资；(6) 投资过程的手续费用忽略；(7) 假设今后五年独立投资及项目相互影响下的到期收益率和风险损失率保持不变；(8) 假设仅在每年年头进行定期一年的贷款或存款投资。2.2符号说明在各问题中实际值存在不同符号符号说明 i投资年份，i=1,2,3,4,5 j投资项目，j=1,2,3,4,5,6,7,8第i年对项目j的投资金

8、额项目j的预计到期利润率，在问题四、五中表示项目j的实际到期利润率项目j在问题二中求出的到期利润率项目j在第i年末的到期本利项目j的投资上限第i年的投资总额第i年末拥有的本利和第i年的贷款金额第i年的存款金额第i年的存款利率第i年的贷款利率同时投资项目j和m时，项目j的到期利润率同时投资项目j,m,n时，项目j的到期利润率第i年初可用于投资运作的总金额项目j的风险损失率同时投资项目j和m时，项目j的风险损失率同时投资项目j,m,n时，项目j的风险损失率3. 问题分析此题研究的是公司的投资组合问题：在20亿的原始资金约束以及各个项目的投资约束下，选择最优的投资组合方案，使得第五年末所得利润最大。

9、针对问题一，我们要建立一个以第五年末的最大利润为目标函数的单目标最优化模型。对于约束条件，首先，不得违背各个项目的投资规则：(1) 项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；(2) 项目3、项目4每年初投资，到第二年末回收本利；(3) 项目5、项目6每年初投资，到第三年末回收本利；(4) 项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；(5) 项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。其次，每个项目的投资额不大于其投资上限，且非负。由于每年年末到期的本利可用于下一年的投资，所以每年初投资总额不大于可用于投资的总金额。针对问题二，要对各个项目独立投资以及项目之间相互影响下的

10、投资的到期利润率和风险损失率进行预测，首先，要求出对应的各项目历年投资的到期利润率，经过检验，我们发现历年的投资到期利润率服从正态分布。运用简单序时平均数法，以该正态分布的期望值作为未来5年相应的到期利润率。考虑衡量风险的标准应为与所期望值距离的大小，我们选择往年利润率的标准差来表示风险损失率。针对问题三，不考虑投资风险的情况下，若项目1投资超过20000王，则可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目5的单次投资额固定为500万元。在模型一的基础上，修改约束条件建立模型三求解。针对问题四，需要考虑投资风险，此时预计到期利润与实际出现偏差，我们以预计到期利润率与风险损失率之差

11、作为各项目的实际利润率，仍以第五年末的利润最大化为目标，建立单目标优化模型，对问题四求解。针对问题五，公司增加了存款和贷款的考虑。由于题目未给出具体的银行利率，我们需要收集中国人民银行近年来存贷的利率数据，并利用灰色预测模型预测未来五年贷款和存款的利率。题设中贷款和存款金额没有限制，由于存款的存在，每年年初投资后没有不用于投资的资金。在此基础上，建立以第五年末的最大利润为目标函数的单目标优化模型。4. 问题一的解答4.1模型一的建立为解决问题一，我们建立了模型一。由题目可以得到下列表格：表一：第i年年初可以投资的项目年份12345项目1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 71 2 3

12、4 5 6 81 2 3 41 2表二：第i年末可回收本利的项目年份12345项目1 21 2 3 41 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 8更直观的展示：点处表示该项目可投资，射线延伸表示为投资运作期i j1、2 3、4 5、678123454.1.1确定目标函数第i年年末拥有的本利和取决于之前的投资决策，其中由表二，项目j在第i年末的到期本利如下：由于第五年末的利润等于第五年末到期回收的本利和（即第六年年初可用于投资的总金额）与原始资金的差额，即第五年末的利润,所以问题一的目标函数为：max 4.1.2确定约束条件1) 每年年初的投资总额不大于可用于投资的

13、总金额，2) 不违反各项目的投资规则（表一），且在投资期结束时不存在运行中的项目，即3) 每次投资非负，即4) 同一投资期存在的对该项目的投资额不大于对应项目的投资上限：对于项目1,2,7,8,每年的投资额独立考虑；对于项目3,4,考虑相邻两年的投资额；对于项目5,6,考虑相邻三年的投资额。记满足约束2)、3)、4)的的集合为L4.1.3得到优化模型Max s.t.其中，4.2模型一的求解运用lingo软件编程对模型一求解（源程序见附录二）得到第五年末的最大利润为15325万元，具体投资方案如下表三：项目年份第一年第二年第三年第四年第五年项目一6000045544600006000060000

14、项目二3000030000300003000030000项目三4000000400000项目四30000025254647460项目五3756026244600项目六200000000项目七040000000项目八0030000005. 问题二的解答5.1模型二的建立5.1.1数据处理1) 运用excel软件对附录一表2、表3中的数据进行处理，得到单独投资时8个项目近20年的到期利润率时间序列（附录三表1），以及项目相互影响下的到期利润率时间序列（附录三表2），以及各自的标准差（附录三表3、表4）。2) 对附录三表1、表二中的数据进行分析并利用数学软件MATLAB进行正态分布判断的处理（源程序

15、见 附录三表5）。5.1.2相关定义1) 今后五年的到期利润率为该正态分布的期望值。2) 未来五年的风险损失率用往年数据利润率的标准差来衡量。5.1.3到期利润率表示观察到项目1近20年的利润率数据与正态分布相近，猜想项目1的历年利润率服从正态分布。通过MATLAB对猜想进行检验，得到项目1的历年利润率服从正态分布。由正态分布的公式：得到到期利润率,即期望值。5.1.4风险损失率表示对于风险损失率，假如一个公司对市场上的一些项目进行投资，他所期望的利润为，而实际上的利润与出现偏差，不论是小于，还是大于，均认为是投资的风险，而不单单只考虑公司亏本的这种情况。因此，衡量风险的标准应为实际值与期望值

16、距离的大小，即用往年数据利润率的标准差来衡量未来五年项目投资风险率。5.2模型二的求解运用MATLAB求解今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率，运用excel求出对应的风险损失率，结果如下表：表四：今后五年各项目独立投资的到期利润率和风险损失率 表五：今后五年项目之间相互影响下的投资的到期利润率和风险损失率6. 问题三的解答6.1模型三的建立6.1.1确定目标函数由问题分析可知，问题三与问题一拥有相同的目标函数，即第五年末所得最大利润值。由此可得第三问的目标函数为：max 6.1.2确定约束条件1) 由于项目的回收年限不变，所以项目j在第i年末的到期本利仍为：但因为存在

17、项目之间的相互影响，所以我们对的取值做如下规定： 2) 由于存在资金捐赠，对于此时第i年末拥有的本利和与第i+1年年初可用于投资的总金额不一定相等，以每年年初的投资总额不大于该年可用于投资的总金额为约束条件：由于只考虑未来五年的投资计划，我们假设第六年停止投资活动，此时可以得到，所以不需要修正目标函数。 但为了便于理解，我们还是将目标函数表示为。3) 项目5的投资额固定为500万，即：4) 问题三仍然存在问题一中的投资规则约束、投资上限约束以及非负约束：即仍然成立6.1.3得到优化模型三 max 6.2模型三的求解 7. 问题四的解答7.1模型四的建立7.1.1确定目标函数由于问题四考虑投资风

18、险时，不改变目标函数，所以模型四的目标函数仍为：7.1.2确定约束条件1) 每年的投资总额不得超过可用于投资的总金额：2) 仍满足投资运行规则的相关约束：3) 对项目5的约束仍然存在：4) 但是引入了实际利润率，1 对于项目3、4、5、6、8存在不同的实际利润率：j=3,4,5,6,8时，同时投资项目5、6、8：同时投资项目3、4或者项目5、6：投资项目不同时存在项目3、4或项目5、6：2 对于项目1、2、7实际利润率是不变的：由此得到模型四的约束条件。7.1.3得到优化模型四Max s.t. j=3、4、5、6、8时 7.2模型四的求解8. 问题五的解答8.1模型五的建立8.1.1数据准备由

19、于题目中未给出银行的具体存贷利率数据，我们在搜索引擎上搜索到近年中国人民银行近年来贷款和存款的利率数据，由于数据过于庞大，我们进行了一定的筛选和处理，根据之前假设仅在每年年头进行定期一年的贷款或存款投资，我们决定仅选用期限为一年的利率作为计算数据，见附录四。我们利用灰色预测模型在数学软件matlab中计算出未来五年贷款和存款的利率，使用的源程序见附录五。结果如下：第1年第2年第3年第4年第5年贷款年利率0.059380.057980.057630.056890.0556存款年利率0.052580.047320.042810.039440.032368.1.2确定目标函数由于问题五引入了公司的存

20、贷问题，我们在模型四的基础上对目标函数进行修正，考虑五年内因存款获得的利息以及因贷款付出的利息，得到目标函数：Max 8.1.3确定约束条件考虑到公司可以进行存款和贷款，对约束条件进行修正。1) 每年年初投资总额不超过该年可用于投资的总金额的约束仍然成立，但表达式发生变化，此时表示下列约束中右边相应的表达式。第一年： 第二年：第三年： 第四年：第五年其他约束条件仍然适用：2) 项目5的投资额固定为500万，即：3) 仍满足投资运行规则的相关约束：4) 实际利润率的表示： j=3、4、5、6、8时 8.1.4得到优化模型五Max S.t. j=3、4、5、6、8时 8.2模型五的求解9. 模型的

21、评价、改进与推广参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第四版），高等教育出版社，2011.1附录附录一：题目所给数据表1 投资项目预计到期利润率及投资上限注：到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。表2 各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元）表3 一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润（万元）表4 各投资项目的投资上限附录二：问题一的解答表1：模型一Lingo求解的源程序model:sets:nian/1.5/:aa,bb;!aa表示A，bb表示B;xiangmu/1.8/:p,b;links(nian,xiangmu):x,a;endsetsda

22、ta:p=0.1,0.11,0.25,0.27,0.45,0.5,0.8,0.55;b=60000,30000,40000,30000,30000,20000,40000,30000;enddata!投资约束;for(links(i,j)|i#ne#2:x(i,7)=0);for(links(i,j)|i#ne#3:x(i,8)=0);!不超过投资上限;x(2,7)<=b(7);x(3,8)<=b(8);for(links(i,j)|j#le#2:x(i,j)<=b(j);for(links(i,j)|(i#ge#2#and#i#le#5)#and#(j#eq#3#or#j#

23、eq#4):x(i,j)+x(i-1,j)<=b(j);for(links(i,j)|(i#ge#3#and#i#le#5)#and#(j#eq#5#or#j#eq#6):x(i,j)+x(i-1,j)+x(i-2,j)<=b(j);!表示a(i,j);a(5,7)=x(2,7)*(1+p(7);a(5,8)=x(3,8)*(1+p(8);for(links(i,j)|(i#ge#1#and#i#le#5)#and#(j#le#2):a(i,j)=x(i,j)*(1+p(j);for(links(i,j)|i#ge#2#and#(j#eq#3#or#j#eq#4):a(i,j)=x

24、(i-1,j)*(1+p(j);for(links(i,j)|i#ge#3#and#(j#eq#5#or#j#eq#6):a(i,j)=x(i-2,j)*(1+p(j);!表示A(i);for(nian(i):aa(i)=sum(xiangmu(j):x(i,j);!表示bb(i);bb0=200000;bb(1)=bb0-aa(1)+sum(xiangmu(j):a(1,j);for(links(i,j)|i#ge#2:bb(i)=bb(i-1)-aa(i)+sum(xiangmu(j):a(i,j);sum(xiangmu(j):x(1,j)<=bb0;for(links(i,j)|

25、i#ge#2:aa(i)<=bb(i-1);max=bb(5)-200000;end附录三：问题二的解答表1 各投资项目独立投资时历年的到期利润率表2 一些投资项目同时投资时历年的利润率表3 各投资项目独立投资时历年的到期利润率的标准差表4 一些投资项目同时投资时历年的利润率的标准差表5 MATLAB判断正态分布的源程序load data1.txtsave data1A=data1n=length(A)m=mean(A)s=std(A)h,p = kstest(A, A,normcdf(A,m,s);plot(sort(A),'*')hold onplot(linspac

26、e(0,n,300),norminv(linspace(0,1,300),m,s),'r.')if h= 0 disp('该数据源服从正态分布。')else disp('该数据源不服从正态分布。')endm附录四：问题五的解答表1：中国人民银行历年存款及贷款利率变化表单位（年利率）短期贷款中长期贷款调整日期六个月（含）六个月至一年（含）一至三年（含）三至五年（含）五年以上1991年4月21日8.18.6499.549.721993年5月15日8.829.3610.812.0612.241993年7月11日910.9812.2413.8614.04

27、1995年1月1日910.9812.9614.5814.761995年7月1日10.0812.0613.515.1215.31996年5月1日9.7210.9813.1414.9415.121996年8月23日9.6810.0810.9811.712.421997年10月23日7.658.649.369.910.531998年3月25日7.027.9299.7210.351998年7月1日6.576.937.117.658.011998年12月7日6.126.396.667.27.561999年6月10日5.585.855.946.036.212002年2月21日5.045.315.495.5

28、85.762004年10月29日5.225.585.765.856.122006年4月28日5.45.856.036.126.392006年8月19日5.586.126.36.486.842007年3月18日5.676.396.576.757.112007年5月19日5.856.576.756.937.22007年7月20日6.036.847.027.27.382007年8月22日6.217.027.27.387.562007年9月15日6.487.297.477.657.832007年12月22日6.577.477.567.747.832008年9月16日6.217.27.297.567.742008年10月9日6.126.937.027.297.472008年10月30日6.036.666.757.027.22008年11月27日5.045.585.675.946.122008年12月23日4.865.315.45.765.942010年10月20日5.15.565.65.966.142010年12月26日5.355.815.856.2