6d_9习题课学习教案

1、会计学16d_9习题课习题课第1页/共21页第2页/共21页第3页/共21页第4页/共21页2 , 1,|2121iVVVii)dim()dim()dim() 4(;0) 3(0V0212121212122112121VVVVVVVWVV，；）等式（是直和；）（第5页/共21页)()(;)()()(kk)()(,0)0()1(第6页/共21页n习题举例习题举例r,21)(,),(),(21r第7页/共21页ExEx.1；证明，复数域C C作为实数域R R上的向量空间，与V V2 2同构。ExEx.2；设 是线性空间V到W的一个同构映射，U U是V V的一个子空间，证明： 是W W的一个子空间。

2、; 证明：线性空间FxFx可以与它的一个真子空间同构。 V= FxV= Fx，W=W= WVf:)(Uf)(| )(xFxfxxf)()(;:xxfxfWV第8页/共21页ExEx.4 P Pn n的任意一个子空间都是某一含n n个末知量的齐次线性方程组的解空间。证明：设V V是P Pn n的任意一个子空间，维（V V）=r r,令V=V=L L( )其中 ， ， ， r,21121111naaa222122naaanrrrraaa21第9页/共21页构造线性方程组：其解向量构成n-rn-r维线性空间，设由下面n-rn-r个向量组成 显然, 0, 0, 0221122221121221111n

3、nrrrnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxanrnrnrnnnbbbbbbbbb)(2)(1 )(2222111211,V是线性方程组 的解空间。 ,0,0,0)(11)(22221211212111nnrnrnnnnnxbxbxbxbxbxbxbxb第10页/共21页Ex.Ex.5;求线性空间的维数1）数域P上所有反对称矩阵组成的线性空间。2）数域P上所有上三角形矩阵组成的线性空间。 2)1(nn2)1(nn第11页/共21页ExEx.6;证明：P Pn n的任意一个真子空间都是若干个n-1n-1维子空间的交。证明：设V V是P Pn n的任意一个真子空间，不仿设 V=V=L L(

4、)，它是线性方程组 的解空间，记 为线性方程组k=1,2n-r的解空间,是P Pn n的n-1n-1维子空间,V V恰是这n-rn-r个n-1n-1维子空间的交 r,21)(nr , 0, 0, 0)(11 )(22221211212111nnrnrnnnnnxbxbxbxbxbxbxbxbkW02211nknkkxbxbxb第12页/共21页ExEx.7;设 是n n维线性空间V V中的n n个向量，V V中的每个向量都可以由它们线性给出，求证： 是V的一组基。证明：只须证明 线性无关，事实上，如果 是 的一个极大线性无关组，则 是V的一组基，所以 ，向量组 就是向量组 是线性无关。 n,2

5、1n,21n,21rkrr,21n,21rkrr,21nkrkrr,21n,21第13页/共21页ExEx.8;在 中求齐次线性方程组 的解空间的维数与一组基。 5R02203224022543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx第14页/共21页解空间的维数是3，一组基是 211213224111122A533605336021121000003511202112100000351120310001)6 , 0 , 0 , 5 , 2(),0 , 2 , 0 , 1, 0(),0 , 0 , 2 , 1 , 0(321解：由于第15页/共21页EX.9;已知 ，求向量 生成

6、的 的子空间 与向量 生成的 的子空间 的交与和空间的维数与一个基。 ) 2 ,10, 0 (),1 , 2 , 1, 3 (21) 6, 1 , 3, 2 (),3 , 1 , 0 , 1 (2121,4R),(211LV 21,4R),(212LV 第16页/共21页ExEx.10;设 证明：实数域上矩阵A A的全体实系数多项式 组成的空间与复数域C C作为实数域R R上的线性空间 同构。 0110A)(Af 0110| )(AAfV,|RbabiaV第17页/共21页证明：注意到 ，则，建立V V到 的映射： 是同构映射；所以V V与 同构 偶数当奇数当kEkAAk,VRbabAaEAfbiaz,)(:V RbabAaEAf,)(第18页/共21页作成实数域作成实数域R上的线性空间上的线性空间. 把实数域把实数域R看成是自身上的线性空间看成是自身上的线性空间.,kababk aa 例例全体正实数全体正实数R+ + 关于加法关于加法与数量乘法：与数量乘法： 证明：并写出一个同构映射证明：并写出一个同构映射. ,RR 证：作对应证：作对应 :,ln ,RRaaaR 易证为的易证为的11对应对应. RR 到到且对有且对有,a bRkR 第19页/共21页 lnlnlnababababab lnlnkkk aaakaka 所以，为的同构映射所以，为的同构映射. R