机械振动合成

1、1、作业题、作业题时间：时间：第一周星期五第一周星期五地点：网络或地点：网络或U U盘盘说明：说明：计算题检查重点计算题检查重点2、答疑、答疑时间：时间：星期五星期五 下午下午1:00 3:00 地点：地点： 科技大夏二楼教师休息室科技大夏二楼教师休息室说明：时间可以商定说明：时间可以商定3、课堂要求、课堂要求量子现象量子现象 与与量子规律量子规律实物运动规律实物运动规律基基本本粒粒子子相互作用和场相互作用和场振动振动 与与波动波动多粒子多粒子体系的体系的 热运热运 动动 物理概念、物理思想深化物理概念、物理思想深化 更加贴近物理前沿和高新科技更加贴近物理前沿和高新科技 对自学能力的要求提高对

2、自学能力的要求提高机械振动基础机械振动基础本章内容：本章内容：5.1 简谐振动简谐振动5.2 简谐振动的合成简谐振动的合成5.3 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介5.1.1 简谐振动简谐振动 定义定义: : 特点特点: (1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动5.1 简谐振动简谐振动x是描述位置的物理量是描述位置的物理量,如如 y , z 或或 等等.) cos()(tAtx m)()(Ttxtxl 谐振子谐振子1. 受力特点受力特点机械振动的力学机械振动的力学特点特点线性恢复力线性恢复力kxFmxO2. 动力学方程动力学方程makxF0dd222xtx) cos()(tAt

3、x动力学方程动力学方程其中其中 为为 固有固有(圆圆)频率频率mk 3. 速度和加速度速度和加速度 ) sin( tAv)2 cos( tA)cos(vvtA)cos(2tAa)cos(aatA5.1.2 谐振动谐振动的振幅、周期、频率和相位的振幅、周期、频率和相位 1. 振幅振幅 A2. 周期周期T 和频率和频率 vv = 1/T (Hz)3. 相位相位(1) ( t + + ) 是是 t 时刻的相位时刻的相位 (2) 是是 t =0 时刻的相位时刻的相位 初相初相mxO相位的意义相位的意义:) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tAvv 相位确定了振动的状态相位确定了振动的状

4、态. .v 相相位每改变相相位每改变 2 2 振动重复一次振动重复一次, ,相位相位 2 2 范围内变化范围内变化, ,状态不重复状态不重复. . txOA-A = 2 xtoA1A2- A2x1x2T同相同相v 相位差相位差 )cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt12时）（当12m1xOm2当当 212k当当- A1x2TxoA1- A1A2- A2x1t反相反相两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相。同相。) 12(12k两振动步调相反两振动步调相反 , , 称称反相。反相。5.1.3 振幅和初相位的确定振幅和初相位的确定) cos()(tAtxcos0A

5、x ) sin( tAvsin 0Av22020vxA)arctan(00 xv注意注意:如何确定最后的如何确定最后的 .5.1.4 谐振动的能量谐振动的能量( (以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例) )1. 动能动能221vmEk)(sin2122tkA2max21kAEk2 41d1kAtETETttkk2. 势能势能221kxEP)(cos2122tkA3. 机械能机械能221kAEEEPk（简谐振动系统机械能守恒）（简谐振动系统机械能守恒）0minkE5.1.5 谐振动旋转矢量表示法谐振动旋转矢量表示法 t + oxxtt = 0 Ava)sin(tAv)2cos(tA)cos(2t

6、Aa)cos(vvtA)cos(aatA特点特点:直观方便直观方便.)cos()(tAtx例例 物理摆物理摆如图所示如图所示, 设刚体对轴的转设刚体对轴的转 动惯量为动惯量为J. 设设 t = 0 时摆角向右最大为时摆角向右最大为 0.求求振动周期和振动方程振动周期和振动方程.解解JhmMsing0singJhm sin,5 时0gJhm JhmghmJTg2单单摆摆g2lT振动方程振动方程t cos0Cgmh例例如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为离为12cm的两点的两点A和和B，历时，历时2s，并且在，并且在A，B两点处具

7、有两点处具有相同的速率；再经过相同的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过后，质点又从另一方向通过B点。点。AB解解Ox质点运动的周期和振幅。质点运动的周期和振幅。求求由题意可知，由题意可知，AB的中点为平衡位置，周期为的中点为平衡位置，周期为T = 4 2 = 8 (s)cm6Axcm6Bx设平衡位置为坐标原点，则设平衡位置为坐标原点，则)2cos(tAx设设 t = 0 时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为t = 1 时时, 质点位于质点位于B点点, 所以所以 ) 282cos(6 A)282cos(tAcm 26A 质点同时参与两个振动，只研质点

8、同时参与两个振动，只研究两个同方向同频率的振动合成。究两个同方向同频率的振动合成。)cos(111tAx)cos(222tAx振动合成振动合成21xxx分振动分振动合成后仍为谐振动，角频率不变。合成后仍为谐振动，角频率不变。)cos(tAx5.2 谐振动的合成谐振动的合成1. .利用旋转矢量法求合振动利用旋转矢量法求合振动xo2A A1A A12A A2A A)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg)cos(tAxxx1x2(1). .当当k212时（同相）时（同相）, , )cos(212212221AAAAA),2,1,0(k21AAA合振

9、动振幅最大。合振动振幅最大。oxtxo2A A1A AA A21(2). .当当）（1212k时（反相）时（反相）, , )cos(212212221AAAAA),2,1,0(k21AAA合振动振幅最小。合振动振幅最小。21AA若若0Aoxtxo2A A1A AA A合振动初相随振幅大者。合振动初相随振幅大者。22.2.和差化积求合振动和差化积求合振动适用于：两个分振动等振幅时。适用于：两个分振动等振幅时。分振动分振动21xxx合振动合振动)2cos()2cos(22112tA)cos(11tAx)cos(22tAx210200k)cos()(21tAAxA21AAA01A2AT1）同同相位相

10、位21020k), 2 1 0( ，k讨论两种特殊情况讨论两种特殊情况xxtoo)cos(21020212221AAAAA21AAA200)cos()(12tAAxT2A201AA2 2）反相位反相位) 12(1020k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAxxxtoo)cos(21020212221AAAAA例：例：两同方向、同频率谐振动合成，两同方向、同频率谐振动合成，求：合成谐振动方程求：合成谐振动方程解：解：合成后合成后 不变，不变，)3cos(tAx)cos(212212221AAAAA)03/cos(242242272tx3cos41)3/3cos(22tx221

11、12211coscossinsinAAAAtg3/cos20cos43/sin20sin45333.0合振动方程合振动方程)33.03cos(72tx5.2.2 5.2.2 两同方向不同频率的简谐振动的合成两同方向不同频率的简谐振动的合成频率相差较小频率相差较小 设分振动设分振动tAx111costAx222cos 合振动合振动21xxx)2cos(2)(21tAtA令令)2cos(cos21tt)2cos()2cos(22121ttA合振动特点：合振动特点：（1 1）合振动频率）合振动频率21212（2 2）合振幅）合振幅)2cos(2)(21tAtA合振动的合振动的振幅振幅在在0-2A之间

12、随之间随t周期性变化周期性变化，时强时强时弱，合振动不是简谐振动。时弱，合振动不是简谐振动。合振幅在单位时间内变化的次数称合振幅在单位时间内变化的次数称拍频拍频。合振幅时强时弱的现象称为合振幅时强时弱的现象称为拍。拍。21拍频拍频5.2.2 5.2.2 同方向不同频率谐振动的合成同方向不同频率谐振动的合成 拍拍tAx cos111tAx222cost11 A2 At2Ax2x1x21xxxO2121xxx当当 时时, , 21AAA21AAA2 )(12kt ) 12( )(12ktt )(122 )(12T12122vvvr tAtAxxx2121coscos，令，令其中其中 )2cos(2

13、)(12tAtA)2cos(cos12ttttAxcos)(r tAx11costAx22costtA)2cos()2cos(21212 5.2.3 两个相互两个相互垂直谐振动的合成垂直谐振动的合成 利萨如图利萨如图1.1.分振动分振动2. 合运动合运动)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAxr 讨论讨论 当当 = 2 1= k (k为整数为整数)时时: 0221222212AyAxAyAx当当 = ( 2k +1 ) /2 (k为整数为整数)时：时： 1222212AyAx021AyAx)cos(11tAx)cos(22tAyxy 用旋转矢量描绘振动合成图用旋转矢量描

14、绘振动合成图 = 0(第一象限第一象限) = /2 = = = 3 = 3 /2/2(第二象限第二象限)( (第三象限第三象限) )( (第四象限第四象限) )(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx125.3 阻尼振动和受迫振动简介阻尼振动和受迫振动简介5.3.1 阻尼振动阻尼振动1. 阻尼力阻尼力xf 2. 振动的微分方程振动的微分方程 xkxxm 022xxnx 式中，式中，2=k/m , n = /(2 m) (阻尼系数阻尼系数) 3. 几种阻尼振动模式几种阻尼振动模式 （1）小阻尼）小阻尼（3）大阻尼）大阻尼fvl0 x（2）临界阻尼）临界阻尼（2）临界阻尼）临界阻尼（1）小阻尼）小阻尼 在过阻尼和临界阻尼时在过阻尼和临界阻尼时无振动无振动. .XtO大阻尼大阻尼临界阻尼临界阻尼XtOntAe（3）大阻尼）大阻尼r 阻尼的应用阻尼的应用5.3.2 受迫振动受迫振动1. 受力分析受力分析 弹性力弹性力阻尼力阻尼力 x 周期性干扰力周期性干扰力tFxkxxm sin 0 kx2. 受迫振动的微分方程受迫振动的微分方程tfxxnxsin220 tFFsin0）2(00；令：mFfmnmkkxF xF pNtFsin0 xl0 x3.3.受迫振动微分方程的受迫振动微分方程