同态滤波与时谱技术

1、青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术第九章第九章 同态滤波与时谱分析同态滤波与时谱分析 以上所述滤波器主要是采用以上所述滤波器主要是采用线性非时变系统线性非时变系统达到对信号的滤波处理。线性非时达到对信号的滤波处理。线性非时变系统易于分析和表征，能完成许多信号处理功能，有极为重要和广泛的应用。线性变系统易于分析和表征，能完成许多信号处理功能，有极为重要和广泛的应用。线性系统对于分离系统对于分离相加性组合相加性组合的信号尤为成功，这是由于系统具有叠加特性。的信号尤为成功，这是由于系统具有叠加特性。 本章内容本章内容：介绍同态处理的基本概念以及

2、对乘积性和卷积性信号的同态：介绍同态处理的基本概念以及对乘积性和卷积性信号的同态滤波的方法和应用。滤波的方法和应用。第一节第一节 同态滤波系统同态滤波系统 问题问题：对于对于非非相加性组合相加性组合的信号，例如，的信号，例如，相乘性相乘性或或卷积性组合卷积性组合的信号，单纯靠的信号，单纯靠线性滤波器来分离或处理，无法达到预期的效果。这时，必须求助于线性滤波器来分离或处理，无法达到预期的效果。这时，必须求助于非线性滤波非线性滤波。 同态系统及其应用同态系统及其应用 同态系统同态系统是是一类特殊的一类特殊的非非线性系统，它遵从广义的叠加原理。线性系统，它遵从广义的叠加原理。在代数上，它用输入与输出

3、的矢量空间之间的线性变换来表征。在代数上，它用输入与输出的矢量空间之间的线性变换来表征。应用：应用：用于用于对对乘积性乘积性和卷积性（非叠加性）的信号和卷积性（非叠加性）的信号进行滤波处理，这类信号进行滤波处理，这类信号在语言、图像、雷达、声纳、在语言、图像、雷达、声纳、地震以及振动工程等领域广泛存在。地震以及振动工程等领域广泛存在。按某种运算按某种运算规则规则(乘法乘法或或卷积卷积)混杂在混杂在一起的信号一起的信号叠加性叠加性信号信号具有某种变换特具有某种变换特性的特征系统性的特征系统滤 波滤 波结果结果线性滤波线性滤波方法处理方法处理用特征系统的逆用特征系统的逆系统进行变换系统进行变换原

4、始原 始信号信号青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术 典型的同态滤波系统典型的同态滤波系统 子系统子系统D 线性系统线性系统 L子系统子系统DO-112121( )( )( )( )( )D x nx nD x nD x nx n2 ( )x n 1 1）子系统子系统D D 是遵从广义叠加原理的一种运算，它把输入信号是遵从广义叠加原理的一种运算，它把输入信号x1(n)和和x2(n)按按规则规则的组合，变换成信号的组合，变换成信号D x1(n)和和D x2(n)的一般线性组合，即的一般线性组合，即2 2）线性系统）线性系统L 满足线性叠加原理

5、满足线性叠加原理3 3）子系统子系统D -1 将加法变换到运算将加法变换到运算，即，即1( )L x n 2 ( )x n1( )L x n2( )L x n1 ( )y n 2 ( )y n11( )Dy n2 ( )y n11( )Dy n12( )Dy n1 ( )y n2 ( )y n输入信号分量输入信号分量彼此组合的运彼此组合的运算规则算规则(加法加法、乘法乘法、卷积卷积)输出信输出信号彼此号彼此组合的组合的运算运算系统由三个子系统组合而成系统由三个子系统组合而成同 态同 态滤 波滤 波系统系统和和皆为卷积皆为卷积卷积卷积同态系统同态系统和和皆为乘积皆为乘积乘积乘积同态系统同态系统和

6、和皆为加法皆为加法线性线性系统系统“同态系统同态系统”从代数上讲，同态系从代数上讲，同态系统一名是根据输入和输出的矢量空间统一名是根据输入和输出的矢量空间之间的同态（亦即线性）映射的定义之间的同态（亦即线性）映射的定义提出的。同态变换就是输入与输出这提出的。同态变换就是输入与输出这两个信号矢量空间之间的变换。两个信号矢量空间之间的变换。青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术 【例【例】 若想从若想从x(n)=x1(n)x2(n)中恢复出中恢复出x1(n)，必须选择一个线性系统，使，必须选择一个线性系统，使其输出为其输出为 y n 1 ( )x

7、 n再使再使D -1=D -1 111( )( )y nDx nx n 为了分离为了分离x1(n)和和x2(n)，必须用一个线性滤波器来分离，必须用一个线性滤波器来分离 和和 。至。至于如何达到这一目的，还要看运算于如何达到这一目的，还要看运算以及信号以及信号x1(n)和和x2(n)的特性。特征系统的特性。特征系统D 和和D -1仅仅完成运算仅仅完成运算和和分别对线性系统分别对线性系统L的输入端和输出端的相加运算的输入端和输出端的相加运算的匹配作用，而滤波作用主要靠线性系统来完成。的匹配作用，而滤波作用主要靠线性系统来完成。1 ( )x n 2 xn第二节第二节 解解乘积乘积同态系统同态系统

8、输入信号特征：输入信号特征：两个或多个分量相乘。两个或多个分量相乘。【例【例】在有衰减的传输信道中，可在有衰减的传输信道中，可以把衰减效应看作是一个缓变分量与被传输信号的相乘；调幅信号为载波信以把衰减效应看作是一个缓变分量与被传输信号的相乘；调幅信号为载波信号与调制信号（包络）的乘积等。号与调制信号（包络）的乘积等。匹配于这种相乘性信号的特征系统匹配于这种相乘性信号的特征系统D 应具有以下特性：应具有以下特性： 什么运算什么运算具有这样具有这样的特性？的特性？1212( )( ) ( )( )Dx nx nD x nD x n式式(9-6)输入信号的一般形式：输入信号的一般形式：)()()(2

9、1nxnxnx青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术 对数运算对数运算 若若x1(n)和和x2(n)为为实的正序列实的正序列，对于任意实际标量，对于任意实际标量 和和 ，有，有 复信号的情况复信号的情况：复信号要求特征系统取复对数，以适应更一般的情况。因：复信号要求特征系统取复对数，以适应更一般的情况。因此，以相乘作为输入和输出运算的同态滤波系统的一般规范形式如下图。此，以相乘作为输入和输出运算的同态滤波系统的一般规范形式如下图。 一般，当处理一般，当处理实正信号序列实正信号序列时，特征系统运算只要满足时，特征系统运算只要满足式式(9-6)就

10、可以了。因就可以了。因此，特征系统的输出，并加至线性系统的信号将是：此，特征系统的输出，并加至线性系统的信号将是： 1212( )( )lnln( )l(n)x nx nx nx n自然对数自然对数复数量复数量 复数量复数量 复数量复数量 复数量复数量 1 ( )x n2 ( )x n( )x n 22 ( )ln( )x nx n11 ( )ln( )x nx n其中 同样，对于这类系统的线性滤波部分同样，对于这类系统的线性滤波部分(冲激响应冲激响应)也应是实的，并根据也应是实的，并根据x1(n)和和x2(n)的特性以及滤波要求适当选择。例如，若需分离各分量或对各分量作独的特性以及滤波要求适

11、当选择。例如，若需分离各分量或对各分量作独立的处理，其前提条件是，立的处理，其前提条件是， 和和 的频谱不得有严重的重叠，的频谱不得有严重的重叠，即只有当即只有当一个分量变化快，而另一个分量相对化缓慢时，相乘性同态滤波才有效一个分量变化快，而另一个分量相对化缓慢时，相乘性同态滤波才有效。1 ( )x n 2 xn青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术第三节第三节 解解卷积卷积同态系统同态系统 输入信号特征：输入信号特征：两个或多个分量卷积。两个或多个分量卷积。【例【例】(1)(1)在多径或混响环境中在多径或混响环境中的通信、录音定位时所产生的

12、失真效应，可看作是一种干扰与所需信号的卷的通信、录音定位时所产生的失真效应，可看作是一种干扰与所需信号的卷积；积；(2)(2)在语音处理中，经常需要分离声道冲激响应和激励的影响，至少在一在语音处理中，经常需要分离声道冲激响应和激励的影响，至少在一段时间内，可以认为语音波形是由二者卷积形成的；段时间内，可以认为语音波形是由二者卷积形成的；(3)(3)地震信号可看作震源地震信号可看作震源能量脉冲和一个包含地层构造信息的冲激响应的卷积；能量脉冲和一个包含地层构造信息的冲激响应的卷积；(4)(4)机器的振动响应或机器的振动响应或噪声等，都可视为由振源或声源与传输通道的冲激响应的卷积；等等。噪声等，都可

13、视为由振源或声源与传输通道的冲激响应的卷积；等等。1 1、特征系统、特征系统D* * 解卷积同态滤波系统的规范形式图解卷积同态滤波系统的规范形式图 12121( )( )( )D x nx nD xnD xnx n2 ( )x n( ) ( )( ):D c x ncD x ncx n符号符号“:”:”代表常数代表常数c与与x(n)的代数运算的代数运算一、解卷积同态系统一、解卷积同态系统设输入设输入x(n)为离散卷积序列：为离散卷积序列： 1212( )( )( )( )()kx nx nx nx k x nkD*的的特性条件为：特性条件为：青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章

14、 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术特征系统特征系统D* *的运算过程的运算过程: :12( )( )x nx n12( )( )( )X zX z XzZ变换运算可看成以卷积作输入运变换运算可看成以卷积作输入运算和以相乘作输出运算的同态变换算和以相乘作输出运算的同态变换 Z变换变换相乘同态系统相乘同态系统。由于由于X(z)通常通常是复数，故必须采用复对数是复数，故必须采用复对数用相乘同态系统处理用相乘同态系统处理12( )ln( )ln( )ln( )X zX zX zXz逆逆Z变换变换( )x n 1 ( )x n 2 ( )x n 和和 分别为分别为lnX1(z)和和lnX2(z)的逆

15、的逆Z变换。可见，特征系统变换。可见，特征系统D* *的作的作用在于，同态系统的输入端实现时域上的用在于，同态系统的输入端实现时域上的由卷积至相加运算由卷积至相加运算的同态变换，以的同态变换，以便和后面的线性系统匹配。便和后面的线性系统匹配。1 ( )x n2 ( )x n( )x n1 ( )x n2 ( )x n 称为实信号称为实信号x(n)的复时谱。的复时谱。 和和 分别称为分别称为x1(n)和和x2(n)的复时谱，的复时谱，它们都是信号它们都是信号x(n)的复时谱分量。从工程的观点，的复时谱分量。从工程的观点， 应是实序列，而且，更应是实序列，而且，更重要的是，它和实信号序列重要的是，

16、它和实信号序列x(n)应是唯一的对应。既然应是唯一的对应。既然 是对是对x(n)顺次作三顺次作三次变换次变换(Z变换变换、复对数复对数和和逆逆Z变换变换)后回到时域后回到时域(n)的映射，那么必须避免在取的映射，那么必须避免在取复对数时可能出现的模糊性（复变函数的对数是多值函数）。复对数时可能出现的模糊性（复变函数的对数是多值函数）。( )x n( )x n青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术2 2、线性系统、线性系统L 线性系统线性系统L的选择的选择：依据信号的：依据信号的复时谱复时谱的特性及滤波处理要求而定。实际上，的特性及滤波处理要求

17、而定。实际上，包含在信号的复时谱内的各个分量往往有显著的差异，它们沿时间轴包含在信号的复时谱内的各个分量往往有显著的差异，它们沿时间轴(n)的分的分布是不完全重叠的。这就为线性系统提供了有效滤波的可能性。布是不完全重叠的。这就为线性系统提供了有效滤波的可能性。 卷积同态系统中线性系统卷积同态系统中线性系统L的特殊性的特殊性：用用Z变换或傅氏变换将卷积同态系统转变换或傅氏变换将卷积同态系统转换为乘积同态系统，它的线性系统不是在换为乘积同态系统，它的线性系统不是在离散时域离散时域，而是在，而是在连续频域连续频域（或（或离散离散频域频域）作周期性卷积运算。）作周期性卷积运算。 卷积同态系统中线性系统

18、卷积同态系统中线性系统L的作用的作用：完成完成复时谱复时谱 在时域上的加权。如在时域上的加权。如果令果令l(n)表示其加权函数，线性系统的输出序列表示其加权函数，线性系统的输出序列 应为：应为：( )x n( )y n式两边取式两边取Z变换变换( )Y z( )( )L zX z()jY e或()()jjL eX e 即即 等于等于 和和 的的周期性卷积周期性卷积。 是是非频变非频变线性系统的线性系统的冲激响应。冲激响应。()jL e()jL e()jY e()jX e 通常限定通常限定x(n)、 、y(n)、 都是都是实的稳定序列实的稳定序列，实际上也能满足这一，实际上也能满足这一要求。因此

19、，要求。因此，l(n)也应是实序列，通常也应是稳定的也应是实序列，通常也应是稳定的。这意味着这意味着L(z)的收敛域的收敛域包括单位圆，包括单位圆，L(ej)的实部和虚部分别是的偶函数和奇函数。的实部和虚部分别是的偶函数和奇函数。( )x n( )y n)( )()( nxnlny青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术 几种典型的几种典型的线性非频变系统线性非频变系统的的l(n)曲线如曲线如下下图图。它们分别具有。它们分别具有“短通短通”“”“长长通通”和和“梳状梳状”型型复时谱复时谱滤波特性。滤波特性。短通型短通型长通型长通型梳状型梳状型3

20、 3、逆特征系统、逆特征系统D* *-1-1逆特征系统完成逆特征系统完成特征系统特征系统D* *的逆运算，根据定义，有的逆运算，根据定义，有1 ( )( )DD x nx n 由于认定由于认定x(n)和和 是稳定的，因此是稳定的，因此y(n)和和 也必然也必然是是稳定稳定的的序列序列。这。这样，样，Y(z)和和 的收敛域必定包括单位圆，而有的收敛域必定包括单位圆，而有( )x n( )y n( )Y z1( ) ( )( )exp ( )y nZY zY zY z以及 注意注意：在卷积同态滤波在卷积同态滤波处处理中，无论是将信号用理中，无论是将信号用Z变换表示，或仍用时序上变换表示，或仍用时序

21、上的序列表示，都将遇到对的序列表示，都将遇到对复量复量X(z)取复对数的问题，于是都有可能出现模糊性。取复对数的问题，于是都有可能出现模糊性。因而在应用中必须设法避免在取复对数时出现模糊性的可能性。因而在应用中必须设法避免在取复对数时出现模糊性的可能性。青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术二、解卷积同态滤波在去混响中的应用二、解卷积同态滤波在去混响中的应用剔除回声干扰的解剔除回声干扰的解卷积同态滤波分析卷积同态滤波分析设复合信号设复合信号x(n)为为 设设s(n)为因果性、实的指数衰减序列：为因果性、实的指数衰减序列：00( )( )()(

22、 ) ( )()x ns ns nns nnnn0( )( )()p nnnn冲击响应( )( )( )x ns np n主波主波回声波回声波s(n-n0)，为为衰减系数，为实数衰减系数，为实数主波主波00( )1,0nns naanZ变换1( ) ( )1 (1),S zZ s nazza11( )ln ( )ln(1)nnnaS zS zazzn 取复对数，并按幂级数展开取复对数，并按幂级数展开青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术11( )ln ( )ln(1)nnnaS zS zazzn 观察观察z-n项的系数，得到其逆变换项的系数，

23、得到其逆变换s(n)的的复时谱复时谱 对于干扰回声，冲激响应对于干扰回声，冲激响应p(n)的的Z变换、变换的变换、变换的复对数复对数、复时谱复时谱分别为分别为100( ) ( )0nns nZS zann它它仍仍然是一个然是一个因果性、实的因果性、实的衰减序列，衰衰减序列，衰减速度为原序减速度为原序列列s(n)的的n倍倍0( )1nP zz p(n)的的Z变换：变换：0011( )ln ( )ln1( 1)knknkkP zP zzzkZ变换的复对数变换的复对数: :1010,0( )1(),0kkknp nnknnkZ变换的复时谱：变换的复时谱：它在它在n=kn0处呈现正、负处呈现正、负相间

24、的尖峰相间的尖峰 图图(e)(e) 青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术 在特征系统中对信号在特征系统中对信号x(n)作同态变换后，其复时谱作同态变换后，其复时谱 将是两个复时谱将是两个复时谱分量分量 与与 之和之和图图(f)。如果同态滤波系统的目的是要剔除回声干扰，。如果同态滤波系统的目的是要剔除回声干扰，恢复主波恢复主波s(n)，就应当选择线性系统，就应当选择线性系统L的加权函数的加权函数l(n)具有梳状型具有梳状型. .它把它把 分分布在布在n=kn0处的分量滤除，保留处的分量滤除，保留 时谱滤波输出为：时谱滤波输出为：( )x n(

25、 )s n( )p z( )s n( )p n( )s n( )y n 再经逆特征系统的运算再经逆特征系统的运算同态系统的滤波输出为：同态系统的滤波输出为：1( )exp( ( )( )y nZZ y ns n 解混响解混响从混响中分离开主波和多径的从混响中分离开主波和多径的冲激响应。如果认为混响是对主波的失真，冲激响应。如果认为混响是对主波的失真，那么解混响的目的是要那么解混响的目的是要取出主波取出主波；但有时冲；但有时冲激响应包含着表征环境的物理结构或过程的激响应包含着表征环境的物理结构或过程的信息，这时解混响的目的便是信息，这时解混响的目的便是取出冲激响应取出冲激响应。例如例如，在地震测

26、量或地质勘测中，爆炸产生，在地震测量或地质勘测中，爆炸产生的地震能量脉冲沿地球传播，在地壳的地层的地震能量脉冲沿地球传播，在地壳的地层间的边界处发生反射，是一系统不规则的冲间的边界处发生反射，是一系统不规则的冲激脉冲，它包含了地壳结构的信息，而地震激脉冲，它包含了地壳结构的信息，而地震主波取决于激励扰动和在传播中发生衰减和主波取决于激励扰动和在传播中发生衰减和色散的性质。由于主波和一系列回声在时间色散的性质。由于主波和一系列回声在时间上的重叠而掩饰了的结构，需滤波分离上的重叠而掩饰了的结构，需滤波分离.地震信号记录地震信号记录地震信号的复时谱地震信号的复时谱同态解卷积后的同态解卷积后的地震主波

27、波形地震主波波形青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术 时谱技术时谱技术 ? ? 卷积同态系统的关键就在于通过特征系统的同态变换，把卷卷积同态系统的关键就在于通过特征系统的同态变换，把卷积组合的几个分量变换为各个分量的积组合的几个分量变换为各个分量的复时谱复时谱(complex cepstrum)之和，通常将之和，通常将这种方法称为这种方法称为时谱技术时谱技术，也称，也称二次谱分析二次谱分析，主要包括，主要包括复时谱复时谱和和功率时谱功率时谱分析分析. .一、复时谱一、复时谱 实际应用中的情况及限定条件实际应用中的情况及限定条件：实际应用中的

28、输入信号序列：实际应用中的输入信号序列x(n)往往是往往是实的，而且也希望它的实的，而且也希望它的复时谱复时谱是实的。此外，为了便于用是实的。此外，为了便于用FFT作作复时谱复时谱运算，运算，必须限定积分回线必须限定积分回线c为单位圆。于是，这些限制归纳为：为单位圆。于是，这些限制归纳为：第四节第四节 时谱技术时谱技术 序列序列x(n)的的复时谱复时谱 仍是一个在时域上的离散序列，它定义为仍是一个在时域上的离散序列，它定义为x(n)的的Z变变换的复对数的逆变换，即换的复对数的逆变换，即( )x n在在 的收敛域上的闭合回线的收敛域上的闭合回线( )ln ( )x zX z( )x n( )x

29、n （1 1）x(n)和和 是实的、稳定的；是实的、稳定的； （2 2）因而因而Xz和和lnX(z)在单位圆上收敛；在单位圆上收敛； （3 3）lnX(z)必须在包括单位圆在内的某个环形域内是解析的，而必须在包括单位圆在内的某个环形域内是解析的，而 正正是对应着是对应着lnX(z)在该域上的逆在该域上的逆Z变换而唯一地存在。变换而唯一地存在。 ( )x n 注意（一）注意（一）：名为复时谱的名为复时谱的 通常却是实序列，通常却是实序列，“复复”的含义系指定义的含义系指定义式中的式中的X(z)和和lnX(z)都是复的。都是复的。cndzznxZjnxZZzXZnx111)(ln21)(ln)(l

30、n)( 青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术 在特征系统中，采用时谱技术之后，两个（或多个）序列的卷积被转换为在特征系统中，采用时谱技术之后，两个（或多个）序列的卷积被转换为序列的序列的复时谱之和复时谱之和，以便在复时谱的，以便在复时谱的时域时域n上用线性系统的方法作分离和滤波，上用线性系统的方法作分离和滤波，故故卷积同态滤波卷积同态滤波又称为又称为复时谱滤波复时谱滤波，即，即 特点特点：复时谱是从复谱得来的，不像：复时谱是从复谱得来的，不像功率时谱功率时谱那样，它不损失相位信息。因此，获那样，它不损失相位信息。因此，获得复时谱的过程是可逆

31、的，在作滤波处理之后还能恢复所需的信号分量。所以复时谱得复时谱的过程是可逆的，在作滤波处理之后还能恢复所需的信号分量。所以复时谱可用来消除动态信号传输过程中的卷积和多重效应。可用来消除动态信号传输过程中的卷积和多重效应。 注意（二）注意（二） 是是x(n)从从时域至频域时域至频域、频域至频域频域至频域、频域至时域频域至时域的三次映的三次映射。因在频域上作了一次射。因在频域上作了一次单向的非线性变换单向的非线性变换复对数变换复对数变换， 仅仅是仅仅是x(n)的三次映射，而不等于的三次映射，而不等于x(n)本身。因此严格说来，卷积同态滤波是一种本身。因此严格说来，卷积同态滤波是一种非线非线性滤波性

32、滤波，但它遵从广义叠加原理，在这个意义上，它又属于线性滤波范畴，但它遵从广义叠加原理，在这个意义上，它又属于线性滤波范畴.( )x n( )x n 复复时谱滤波时谱滤波12( )( )( )x nx nx n时谱技术时谱技术( )x n 1 ( )x n 2 ( )x n 应用应用：1）从所测信号的复时谱中减去信号传输途径（环境、物理结构或过程）的从所测信号的复时谱中减去信号传输途径（环境、物理结构或过程）的冲激响应复时谱，去掉信号传输途径的影响，而设法使得信号源处的信号保真或除噪；冲激响应复时谱，去掉信号传输途径的影响，而设法使得信号源处的信号保真或除噪；2）从所测信号的复时谱中减去信号源处

33、信号的复时谱，设法提取出反映信号传输途径从所测信号的复时谱中减去信号源处信号的复时谱，设法提取出反映信号传输途径特征的冲激响应信息，为了解传输途径特性和对其进行改进提供依据。特征的冲激响应信息，为了解传输途径特性和对其进行改进提供依据。 优点优点：（1 1）只需对一个函数作运算，而不必分别对幅值和相位做运算；只需对一个函数作运算，而不必分别对幅值和相位做运算；（2 2）冲激冲激响应通常是在复时谱的低端，只需在复时谱的有限范围内予以消除即可。响应通常是在复时谱的低端，只需在复时谱的有限范围内予以消除即可。青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术二

34、、功（率）时谱二、功（率）时谱（Power Cepstrum）或功率倒谱或功率倒谱 定义定义：序列的：序列的Z变换的变换的幅度幅度平方的对数的逆平方的对数的逆Z变换的平方，即变换的平方，即 功时谱与复功时谱与复时谱的关系：时谱的关系： 功时谱分析技术的特点功时谱分析技术的特点：比复时谱分析技术简单，因为它不需计算谱的相位，不存：比复时谱分析技术简单，因为它不需计算谱的相位，不存在多值性问题。在多值性问题。|X(ej)|2代表确定性序列的功率谱（常数因子除外）。由于代表确定性序列的功率谱（常数因子除外）。由于ln|X(z)|为为 的的实部，它的逆实部，它的逆Z变换是变换是 的偶分量的偶分量 ，即

35、，即( )X z( )x n ( )ex n1ln( )( )eZX zx n1 ( )2x n ()xn212121 ( )ln( ) 2ln( )pcxnZX zZX zZ2()xn 24exn( )x n 应用应用：可用于多径回声检测，延时估计，振动和噪声的源识别，机械结构系统动态：可用于多径回声检测，延时估计，振动和噪声的源识别，机械结构系统动态特性识别，机械故障诊断与预报，以及地震分析等方面。对检出功率谱中的周期分量，特性识别，机械故障诊断与预报，以及地震分析等方面。对检出功率谱中的周期分量，如谐波及边带，尤其是混合有不同族的谐波和边带的复杂信号的分析，很有效。如谐波及边带，尤其是混

36、合有不同族的谐波和边带的复杂信号的分析，很有效。 缺点缺点：尽管可以：尽管可以通过测得的响应特性识别源特性或系统的传输特性，但由于通过测得的响应特性识别源特性或系统的传输特性，但由于功率时功率时谱丧失了相位信息谱丧失了相位信息，所以不能用来恢复波形所以不能用来恢复波形。221)(ln)(zXZnxpc青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术三、时谱技术的工程应用三、时谱技术的工程应用1 1、功时谱功时谱时频域时频域转换的物理意义转换的物理意义 以傅里叶变换为基础，在连续时间域内进一步讨论以傅里叶变换为基础，在连续时间域内进一步讨论功时谱功时谱问

37、题。此时功时问题。此时功时谱表达式为谱表达式为 故故功时谱功时谱可称作可称作对数功率谱的功率谱对数功率谱的功率谱。工程上常用到上两式的平方根，即。工程上常用到上两式的平方根，即21212 ( )log( )log( )xpcFxX fSfqF自功率谱密度函数自功率谱密度函数Sx(f)本身是偶函数，其对数也是实偶函数，本身是偶函数，其对数也是实偶函数，故其故其FT和和IFT相等，并且也是实偶函数相等，并且也是实偶函数2 ( ) log( )pcxxqSfF1( )log( )log( )xxxC qSfSfFF称幅值功时谱称幅值功时谱或幅值或幅值倒倒频谱频谱 可见，可见，幅值幅值倒倒频谱频谱与与

38、自相关函数自相关函数有类似之处。所不同点是，自相关函数是有类似之处。所不同点是，自相关函数是直接从自功率谱求傅里叶逆变换，而幅值倒频谱则是对自功率谱的对数求傅直接从自功率谱求傅里叶逆变换，而幅值倒频谱则是对自功率谱的对数求傅里叶变换。里叶变换。信号信号x(t)的自相关函数为的自相关函数为1( )( )xxRFSf青岛大学机电工程学院青岛大学机电工程学院第九章第九章 同态滤波与时谱技术同态滤波与时谱技术 倒频谱倒频谱：幅值倒频谱中的自变量：幅值倒频谱中的自变量q称为倒频率称为倒频率, ,其量纲与其量纲与x(t)及其及其Rx()中中的的t及及 相同，一般以毫秒计。相同，一般以毫秒计。q值大，称为高倒频率，表示频谱图上的快速波值大，称为高倒频率，表示频谱图上的快速波动和密集频谱；动和密集频谱；q值小，称为低倒频率，表示频谱图上的缓慢波动和疏散频谱值小，