函数的连续性与间断点65164PPT学习教案

1、会计学1函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点65164v变量的增量 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量为 在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量 DxDy第1页/共16页v函数的连续性定义提示:设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 Dy=f(x0+Dx)-f(x0) 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= 0lim0=D

2、Dyx0lim0=DDyx0)()(lim00=-xfxfxx0)()(lim00=-xfxfxx)()(lim00 xfxfxx= 第2页/共16页讨论: 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？ e 0 d 0 当|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e 提示:v函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= )()(lim00 xfxfxx= 第3页/共16页左连续与右连续结论 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0

3、处左连续且右连续 v函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= 如果)()(lim00 xfxfxx=- 则称 y=f(x)在点0 x处左连续 如果)()(lim00 xfxfxx=+ 则称 y=f(x)在点0 x处右连续 第4页/共16页注:v连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续连续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点

4、 x0处有定义 并且 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 )()(lim00 xPxPxx= 第5页/共16页 2 函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有定义 并且v连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续连续函数举例sin)sin(limlim00 xxxyxx-D+=DDD0)2cos(2sin2lim0=D+D=Dxxxx 第6页/共16页间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果函数 f(x)有下列三

5、种情形之一 (1)在x0没有定义则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点 (2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在 0limxx (3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0)0limxx0limxx第7页/共16页间断点举例y=x 例1 正切函数tan 在2 p=x处没有定义x所以点2 p=x是函数 tan 的间断点x故称2 p=x为函数 tan 的无穷间断点 因为=xxtanlim2p 第8页/共16页 函数xy1sin=在点 x=0 没有定义 例2 当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次 所以点x=0是函数的间断点 所以点x=0

6、称为函数的振荡间断点 间断点举例xy1sin=第9页/共16页所以点x=1是函数的间断点 如果补充定义 令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续 所以x=1称为该函数的可去间断点 例3 函数112-=xxy在 x=1 没有定义 间断点举例112-=xxy 因为11lim21-xxx2) 1(lim1=+=xx 第10页/共16页所以x=1是函数f(x)的间断点 如果改变函数f(x)在x=1处的定义 令f(1)=1 则函数在x=1成为连续 所以x=1也称为此函数的可去间断点 例4 间断点举例例例 4 设函数=1 211 )(xxxxfy 因为1lim)(lim11=xxfxx21) 1 (

7、=f ) 1 ()(lim1fxfx 第11页/共16页 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点 例5 间断点举例例例 5 设函数+=-=0 10 00 1)(xxxxxxf 因为1) 1(lim)(lim00-=-=-xxfxx 1) 1(lim)(lim00=+=+xxfxx )(lim)(lim00 xfxfxx+- 所以极限)(lim0 xfx不存在 x=0 是函数 f(x)的间断点 不存在 x=0 是函数 f(x)的间断点 第12页/共16页 通常把间断点分成两类 设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点 v间断点的类型第13页/共16页1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点