直线的倾斜角与斜率12

1、 上饶市一中上饶市一中高一年级高一年级数学必修数学必修2 我们用我们用坐标坐标来确定点的位置。来确定点的位置。形形 数数这种用代数方法解决几何问题的学科就是这种用代数方法解决几何问题的学科就是解析几何解析几何xy0A(0,0)B(1,1)11北北km西西南南东东km450问题问题1 1：点的位置是如何确定的？：点的位置是如何确定的？知识点回顾知识点回顾（建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系）探索确定直线位置的几何要素探索确定直线位置的几何要素问题问题2：仅过一点：仅过一点P能作多少条直线？能作多少条直线？若只想确定其中的一条直线，除了再用一个点外，还有其它若只想确定其中的一条直线，除了再用一个

2、点外，还有其它方法吗？方法吗？确定直线的方法归纳确定直线的方法归纳：（：（1 1）已知直线上两点）已知直线上两点xy0PQl1l2l3用什么量来刻画直用什么量来刻画直线的倾斜程度？线的倾斜程度？新课引入新课引入（2）已知直线上）已知直线上一点一点和直线的和直线的倾斜程度倾斜程度定义定义: :在平面直角坐标系中，对于一条与在平面直角坐标系中，对于一条与x x轴相交的直轴相交的直线，把线，把x x轴（正方向）按轴（正方向）按逆时针逆时针方向绕着交点旋转到方向绕着交点旋转到和直线重合所成的角，叫作和直线重合所成的角，叫作直线的倾斜角直线的倾斜角. .一、一、直线的倾斜角直线的倾斜角 知识探究一知识探

3、究一注意点：注意点：角的形成元素：角的形成元素：（1）一个顶点）一个顶点(2)角的两边：初始边与终边，逆时针旋转角的两边：初始边与终边，逆时针旋转OyxOyxyxOyx 0 l l l lO （1 1）已知直线上）已知直线上两点两点xy0PQl1探究小结探究小结（2）已知直线上）已知直线上一点一点和直线的和直线的倾斜角倾斜角探索确定直线位置的方法归纳：探索确定直线位置的方法归纳： 日常生活中，除了倾斜角还有没有日常生活中，除了倾斜角还有没有其它表示倾斜程度的量？其它表示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）初中学过的初中学过的“坡度（比）坡度（比）”

4、是什么含义？是什么含义？ 坡度也能反映倾斜程度：坡度也能反映倾斜程度：坡度坡度倾斜角的正倾斜角的正切值即切值即xyxy直线的斜率直线的斜率 ：直线倾斜角的正切值知识探究二知识探究二思考：思考：(1)过原点如何作一条倾斜角为过原点如何作一条倾斜角为 的直线。的直线。(2)过原点、倾斜角为过原点、倾斜角为的直线的斜率如何求解？的直线的斜率如何求解？的直线斜率900) 1 (x0y)0 , 1 (Al), 1 ( kP)0(1tankkxy（k指指P点的纵坐标）点的纵坐标）观察左图：图中直线上的点观察左图：图中直线上的点O(0,0),P(1,k)当横坐标当横坐标x从从0到到1增加一个单位时，纵坐增加

5、一个单位时，纵坐标标y从从0变化到变化到k(k0),我们称我们称k为这条为这条直线直线的斜率的斜率.x0y)0 , 1 (Ql), 1 ( kPABxyC图中OPQABCkOQQPACCB直线斜率的定义一条直线的倾斜角的正切值叫做这条一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作直线的斜率，记作tank 实际上，斜率k就是这条直线倾斜角的正切值，即tank 1o60直线的斜率直线的斜率 知识探究二知识探究二思考：过原点、倾斜角为思考：过原点、倾斜角为的直线的斜率？的直线的斜率？的直线斜率18090)2(x0y)0 , 1 (A), 1 ( kP根据正切的定义：根据正切的定义：)0(1tank

6、kxy归纳求斜率的方法：定义法归纳求斜率的方法：定义法xytank?几何画板演示（3） 的直线斜率？的直线斜率？o90直线的斜率直线的斜率 知识探究二知识探究二问题问题1问题问题2对于不过原点且不与对于不过原点且不与x x轴垂直的直线，如何求斜率？轴垂直的直线，如何求斜率？x0yl1l平行，倾斜角相等与因为1ll的斜率来表示的斜率可以用直线所以直线1ll斜率刻画其倾斜程度不过原点的直线也可用对于不过原点倾斜角为对于不过原点倾斜角为9090o o的直线的直线, ,斜率如何？斜率如何？倾斜角为倾斜角为9090o o的直线的直线, ,即与即与x x轴垂直轴垂直, ,斜率不存在斜率不存在小结：小结：对

7、于任何对于任何倾斜角不为倾斜角不为9090o o的直线的直线, ,斜率为其倾斜角的正切值。斜率为其倾斜角的正切值。)90(tank知识探究三：知识探究三：两点间的斜率公式两点间的斜率公式确定一条直线位置的方法确定一条直线位置的方法：（1 1）已知直线上）已知直线上两点两点（2 2）已知直线上）已知直线上一点一点和直线的和直线的斜率（或倾斜角）斜率（或倾斜角）),(),(222111yxPyxP21xx 给定一条直线的两点给定一条直线的两点 ，并且，并且 ，能否计算直能否计算直线线 的斜率的斜率k k？),(),(222111yxPyxP21xx 21PPx0y) 1 (1P2Px0y1P2Px

8、0y1P2P)2()3(x0y1P2P)4(问题探究：两点间的斜率公式问题探究：两点间的斜率公式x0y) 1 (1P2Px0y1P2P)2(),(12yxQ),(11yx),(22yx),(11yx),(22yx),(12yxQ,为锐角时当1212tanxxyyxyk1212tanxxyyxyk当当 为钝角时为钝角时，问题探究：两点间的斜率公式问题探究：两点间的斜率公式x0y)3(2P1P),(21yxQ),(22yx),(11yxx0y2P1P)4(),(22yx),(11yx),(21yxQ12PP同理，当同理，当 的方向向上时，也有的方向向上时，也有2121tanxxyyk 对于所有情况

9、，对于所有情况， 直线上两点直线上两点 之间的之间的 斜率公式为斜率公式为)(211212xxxxyyk21222111),(),(xxyxPyxP?21211212tanxxyyxxyyxyk公式总结：公式总结：思考题思考题1.1.已知直线上两点已知直线上两点P P1 1（x x1 1,y,y1 1）,p,p2 2(x(x2 2,y,y2 2),),运用上述公式计算运用上述公式计算直线直线ABAB斜率时，与斜率时，与P P1 1P P2 2两点的坐标顺序有关吗？两点的坐标顺序有关吗？2.2.当直线与当直线与y y轴平行或重合时，上述公式还适用吗？为什么？轴平行或重合时，上述公式还适用吗？为什

10、么？不适用不适用无关无关x0y2P1P1l因为上述斜率公式要求因为上述斜率公式要求x x1 1xx2 2，当，当x x1 1=x=x2 2时，即直线时，即直线倾斜角为倾斜角为9090o o，直线斜率不存在，直线斜率不存在. .3.3.当直线当直线P P1 1P P2 2与与x x轴平行或重合时，上述式子轴平行或重合时，上述式子还成立吗？还成立吗？)(211212xxxxyyk成立成立1P2P01212xxyyk归纳：充分理解经过两点归纳：充分理解经过两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)( x)( x1 1xx2 2 ) ) 的直线斜率公式

11、：的直线斜率公式： 的适用条件的适用条件. .1212xxyyk 例例1 如图如图 ，已知，已知 ，求，求直线直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角是锐角还是钝角),2,3(A),1 , 4( B)1, 0( C解：直线解：直线AB的斜率的斜率;713421 ABk;2142)4(011 BCk直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率; 1333021 CAk 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 ABk0 CAk0BCk1212xx

12、yyk 例例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为别为1,-1,2及及-3的直线的直线 及及 321,lll4l,00111 xy即即.11yx 解：取解：取 上某一点为上某一点为 的的坐标是坐标是 ，根据斜率公式，根据斜率公式有有:1l),(11yx1A 设设 ，则，则 ，于是，于是 的坐标是的坐标是 过过原点及原点及 的直线即为的直线即为 11 x11 y1A)1 , 1()1 , 1(1A1lxy1A3A2A4A1l3l2l4l 是过原点及是过原点及 的直线，的直线， 是过原点及是过原点及 的直线，的直线， 是过原点及是过原点及 的直线的

13、直线2l),(222yxA),(333yxA),(444yxA3l4l知识小结知识小结1.1.明确了确定直线位置的几何要素明确了确定直线位置的几何要素2.2.理解了刻画倾斜程度的量理解了刻画倾斜程度的量)90(tank(2)(2)坐标法坐标法: :两点间的斜率公式：两点间的斜率公式：)(211212xxxxyyk)(,(),(21222111xxyxPyxP作业作业：P P6363 练习练习1,2,3,4,51,2,3,4,5(1)直线上任意两点直线上任意两点(2)直线上一点与其倾直线上一点与其倾斜程度斜程度知道了求斜率的两种方法知道了求斜率的两种方法: :(1)(1)定义法定义法3.3.经历了代数方法刻画斜率的过程，感受了数形结经历了代数方法刻画斜率的过程，感受了数形结合与分类讨论的数学思想合与分类讨论的数学思想. .（倾斜角与斜率倾斜角与斜率）童鞋们，这节课有何收获童鞋们，这节课有何收获？提高题提高题已知线段已知线段ABAB，