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1、第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用 由二重积分的几何解释可以知道：以曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的直曲顶柱体的体积为：.dd),(DyxyxfV特别当f(x,y)=1时，平面D的面积为：.ddDyxS 由二重积分的物理解释可以知道，密度为f(x,y)的平面薄板D的质量为：.dd),(Dyxyxfm 例1 求由抛物线x=y2和直线xy=2所围成图形的面积.解 所给曲线围成的平面图形如图，记其面积为S，则.ddDyxS先对x积分后对y积分, 2,2yxyx由. 2, 4 1, 1yxyx与得作平行于x轴的直线与y轴相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y2，出口曲线为x=2+y.因此,

2、22yxy区域D在y轴上的投影区间为1,2.故yyxyS2212dd.29d)2(212yyy例2 设平面x=1，x= 1，y=1和y= 1围成的柱体被坐标平面z=0和平面x+y+z=3所截，求截下部分立体的体积.解 由于所截得的形体是一个曲顶直柱体，其曲顶为z=3xy，而其底. 11, 11yxDyxyxVdd)3(1111d)3(dyyxx1111112d)3(2d21)3(xxyyyx.12)6(112xx因此，由二重积分的几何应用得到例3 设平面薄片D是由x+y=2，y=x和x轴所围成的区域，它的密度 ，求该薄片的质量.22),(yxyx解 平面薄片D如图.dd),(Dyxyxm先解方

3、程组, 2,yxyx得两曲线的交点为(1,1)，D可用不等式表示为. 10,2yyxyyyxyxym22210d)(d.43d372)2(3110323yyyyyxyxyyd3110223例4 设平面薄片所占Oxy平面上的区域D为 ，面密度为 ,求该薄片的质量m.0, 0, 4122yxyx22),(yxyx解 由二重积分的物理意义可知DDyxyxyxmdd)( d),(22.815dd20213rr例5 设平面薄片D为介于圆 之外，而在圆 内的区域，且D内点(x,y)处的密度 ,求该平面薄片质量.sin2rsin4ryyx1),(解 平面薄片D如图所示.dd1 dd),(DDyxyyxyxm极点在区域D的边界上.区域D为极坐标系下的不等式表达式为.sin4sin2, 0r注意到 ，则sincos

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